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高一数学知识点必修1,4,5,2

高一数学知识点必修1,4,5,2


高中数学必修 1 函数知识点总结 2010.8.20
班级 姓名 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如:集合A ? ?x | y ? lg x? B ? ?y | y ? lg x? C ? ?( x, y) | y ? lg x? A、B、C , , ,
中元素各表示什么? A 表示 ,B 表示 ,而 C 表示

2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质:

( )集合?a1,a2, ?,an ? 1 ? 的所有子集的个数是
要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在或者不在) 。同样, 对于元素 a2, a3,??an,都有 2 种选择,所以,总共有 2 种选择, 即集合 A 有 子集。 故真子集个数为 ,非空真子集个数为
n



(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:

CU ? A ? B ? ? CU ? A ? B ? ?
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 ? 0的解集为M,若3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

1

注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过; 如告诉你函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,就应该马上知道函数对称轴 是 x=1. 4. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?

相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) 5 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

函数定义域求法: ? 分式中的分母不为零; ? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ? 指数式的底数大于零且不等于一; 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ? 正切函数 y ? tan x

? ? ? ? x ? R,且x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围, 再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定
义域是_____________。 复合函数定义域的求法:已知 y ? f (x) 的定义域为 ?m, n? ,求 y ? f ?g (x)? 的定义域,可由

?

?

m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g (x)? 的定义域。
例 若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? ,2? ,则 f (log 2 x) 的定义域为 2

?1 ? ? ?



11、函数值域的求法 1、直接观察法 例 求函数 y=

对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

1 的值域 x

2

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数 y= x 2 -2x+5,x ? [-1,2]的值域。

3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用 其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x 2 x ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y ? 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y ? ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

4.图像法

例 求函数 y=

3x ? 4 值域。 5x ? 6

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单 调性,最常用的就是三角函数的单调性。

ex ?1 例 求函数 y= x , e ?1

y?

2sin ? ? 1 , 1 ? sin ?

y?

2sin ? ? 1 的值域。 1 ? cos ?

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
3

例求函数 y=

2

x ?5

?

log

3

x ? 1 (2≤x≤10)的值域

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ x ? 1 的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例:已知点 P(x.y)在圆 x +y =1 上,
2 2

y 的取值范围 x?2 (2)y-2x的取值范围 (1) 解:(1)令 y ? k , 则y ? k ( x ? 2), 是一条过(-2,0)的直线. x?2

d ? R (d 为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x ? b, 即y ? 2 x ? b ? 0, 也是直线d d ? R

例求函数 y=

( x ?2)

2

+

( x ?8)

2

的值域。

例求函数 y=

x

2

? 6 x ? 13 +

x

2

? 4x ? 5 的值域

4

9 、不等式法 利用基本不等式 a+b≥2 ab ,a+b+c≥3 3 abc (a,b,c∈

R

?

) ,求函数的最值,其题

型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、 添项和两边平方等技巧。

x2 ?

2 ( x ? 0) x 1 1 1 1 ? ? 3 3 x2 ? ? ? 3 x x x x

=x2 ?

(应用公式a+b+c ? 3 3 abc时,注意使3者的乘积变成常数)

例:

x2(3-2x)(0<x<1.5) =x ? x ?(3-2x) ? ( x ? x+3-2x 3 ) ?1 3 a?b?c 3 (应用公式abc ? ( ) 时,应注意使3者之和变成常数) 3

10.倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数 y=

x?2 的值域 x?3

多种方法综合运用 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当 的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方 法。

12. 求一个函数的解析式,注明函数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f ( x).

?

5

15 . 如何用定义证明函数的单调性? 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的 单调性; (特例:奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称, 则函数 f(x)在关于点(a, 0)的对称区间里具有相 反的单调性。 (特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<0 时,它们是反向 变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函 数 f1(2)与 f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

在 f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数 u=φ (x), x[α , ]与函数 y=F(u), β u∈[φ (α ), (β )]或 u∈[φ (β ),φ (α )] φ 同向变化,则在[α ,β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递增的;若函数 u=φ (x),x[α ,β ] 与函数 y=F(u),u∈[φ (α ),φ (β )]或 u∈[φ (β ),φ (α )]反向变化,则在[α ,β ] 上复合函数 y=F[φ (x)]是递减的。 (同增异减)

f(g)

g(x)

f[g(x)]

f(x)+g(x)

增 增 减 减

增 减 增 减

增 减 减 增

增 / / 减

f(x)*g(x) 都是正 数 增 / / 减

6

如:求y ? log 1 ? x2 ? 2x 的单调区间
2

?

?

16. 如何利用导数判断函数的单调性?

在区间?a,b?内,若总有f '( x) ? 0则f ( x) 为增函数。(在个别点上导数等于

零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '( x) ? 0呢?
如:已知a ? 0,函数f ( x) ? x 3 ? ax在?1, ? ??上是单调增函数,则a的最大
值是( A. 0 )

? a ?? a? ( 令 ' ( x) ? 3x 2 ? a ? 3? x ? f ??x ? ? ?0 3?? 3? ?

则x ? ?

a 或x ? 3

a 3 a ? 1,即a ? 3 3

由已知f ( x) 在[1, ? ?) 上为增函数,则
∴a 的最大值为 3)

17. 函数 f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f ( ? x) ? ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f ( ? x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数 与奇函数的乘积是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则
如:若f ( x) ? a?2 x ? a ? 2 为奇函数,则实数a ? 2x ? 1

7

又如:f ( x) 为定义在 ( ?1,1) 上的奇函数,当x ? (0,1) 时,f ( x) ?

2x , 4x ? 1

求f ( x) 在??1,1?上的解析式。

判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若 函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.

二、

奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,然后根据函数的奇偶性的定义判断 其奇偶性.

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x)
三、 复合函数奇偶性

奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x) 奇 非奇非 偶 非奇非 偶 偶

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. 你熟悉周期函数的定义吗?

(若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期
函数,T 是一个周期。 )

如:若f ?x ? a ? ? ? f ( x) ,则

8

我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时 说这个函数周期 2t. 推导:

同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函 数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如,f(x)=f(2a-x),或 者 说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。如:

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f ( x)与f (? x)的图象关于 f ( x)与 ? f ( x)的图象关于 f ( x)与 ? f (? x)的 图 象 关 于 f ( x)与f (2a ? x)的图象关于 f ( x)与 ? f (2a ? x)的图象关于

对称 联想点(x,y),(-x,y) 对称
联想点(x,y),(x,-y)

对 称 联想点(x,y),(-x,-y) 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) 对称
联想点(x,y),(2a-x,0)

左移a(a?0)个单位 将y ? f ( x)图象 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 右移a(a?0)个 单 位 上移b(b?0)个单位 ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 下移b(b?0)个单位
对于这种题目,还可以用这样的办法。你要判断函数 y-b=f(x+a)怎么由 y=f(x)得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 )

9

注意如下“翻折”变换:

f ( x)? ? | f ( x把 |轴下方的图像翻到上面 ? ) x f ( x)? ? f ( | x | )轴右方的图像翻到上面 ? 把 y

如:f ( x) ? log 2 ?x ? 1?

作出y ? log 2 ? x ? 1? 及y ? log 2 x ? 1 的图象

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?

(k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

(2 )反比例函数:y ?
的双曲线。

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O'(a,b) x x?a

b? 4ac ? b 2 ? ( 3)二次函数y ? ax 2 ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

顶点坐标为 __________ ,对称轴 _ _ _ _ _ _ ________ _ ___
开口方向:a ? 0,向上,函数y min ? 4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?
根的关系:x ? ?b ? ? 2a

4ac ? b 2 4a

b c ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ,| x1 ? x2 |? a a |a|

10

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(一般式) f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)
应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1 、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。

b ) f m a x? f (m ) , f m i n f n( ) ? 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f m a x? f (n ) , f m i n f m ) ? ( 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ? m) 2a 4 ac ? b 2 f m i n? f, m a x mfa m ( f ( n ) , ( ) ) ? x 4a 也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n ? ? (只讨论a ? 0的情况)
③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? _ _ _ _ _ _ ________ _

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0
?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? f ( n) ? 0 ? 在区间(m,n)内有1根 ? f ( m) f ( n) ? 0

(4 )指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1?

11

(5)对数函数y ? log a x?a ? 0,a ? 1?

(6)“对勾函数” y ? x ?

k ?k ? 0? x

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?(均值不等式一定要注意 等号成立的条件)

20. 你在基本运算上常出现错误吗?

指数运算:a 0 ? 1 (a ? 0) ,a ? p ?

1 (a ? 0) ap

a ? a (a ? 0),a
n m

m n

?

m n

? _ _ _ _ _ _ _______ ? 0) (a

对数运算: a ( M ? N ) ? log a M ? log a N ? M ? 0,N ? 0 ? log
M 1 ? l o g M ? l o g N, l o g n M ? l o g M a a a a N n

log a

对数恒等式: __________ _____

12

对数换底公式: a b ? log log a x ? 1 log x a

log c b n ? log am b n ? log a b log c a m

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。

(2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
( 3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ? x 2 ? x 1 ? ? x 2 ? ??

?

?

(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 2. 3. 幂函数型的抽象函数 f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f( 4. 指数函数型的抽象函数 f(x)=ax------------------- f(x+y)=f(x)f(y) ;f(x-y)= 5. 对数函数型的抽象函数

x f ( x) )= y f ( y)

f ( x) f ( y)

f(x)=logax(a>0 且 a≠1)-----f(x?y)=f(x)+f(y) ;f(

x )= f(x)-f(y) y

13

6.

三角函数型的抽象函数 f(x)=tgx-------------------------- f(x+y)=

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>0, f(-1)= -2 求 f(x)在区间[-2,1]上的值域. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(注意到 f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1) +f(x1);再根据区间求其值域. )

例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>2, 2 f(3)= 5,求不等式 f(a -2a-2)<3 的解. 分析:先证明函数 f(x)在 R 上是增函数(仿例 1) ;再求出 f(1)=3;最后脱去函数符号.

例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ,且 f(-1)=1,f(27) =9,当 0≤x<1 时,f(x)∈[0,1]. (1) 判断 f(x)的奇偶性; (2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1)≠f (x2) ;对任何 x 和 y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) f(0) ; (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号. 例 5 是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b) , a、b∈N;③f(2)=4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 分析:先猜出 f(x)=2x;再用数学归纳法证明.

14

例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x?y)=f(x)+f(y) ,f(3) =1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围.

例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a)+f(b) ,那么 g(a+b) =g(a) ?g(b)是否正确,试说明理由. 分析:设 f(a)=m,f(b)=n,则 g(m)=a,g(n)=b, 进而 m+n=f(a)+f(b)= f(ab)=f [g(m)g(n)]?.

例 8 已知函数 f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: ① ② ③ x1、x2 是定义域中的数时,有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) f ( x 2 ) ? 1 ; f ( x 2 ) ? f ( x1 )

f(a)= -1(a>0,a 是定义域中的一个数) ; 当 0<x<2a 时,f(x)<0. 试问: (1) f(x)的奇偶性如何?说明理由; (2) 在(0,4a)上,f(x)的单调性如何?说明理由. 分析: (1)利用 f [-(x1-x2)]= -f [(x1-x2)],判定 f(x)是奇函数; (3) 先证明 f(x)在(0,2a)上是增函数,再证明其在(2a,4a)上也是增函数.

对于抽象函数的解答题,虽然不可用特殊模型代替求解,但可用特殊模型理解题意.有些抽象 函数问题,对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此,针对不同的函数要进行适当变 通,去寻求特殊模型,从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , (1) 求证:f(1)=f(-1)=0; (2) 求证:f(x)为偶函数;

15

(3)

若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x-

1 )≤0. 2

例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) ?f(y) ,且当 x <0 时,f(x)>1,求证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数.

练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( ) (A)f(0)=0 (B)f(0)=1 (C)f(0)=0 或 1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误的是( (A)f(1)=0 (B)f(



1 )= f(x) x

(C)f(

x )= f(x)-f(y) y

(D)f(xn)=nf(x) (n∈N)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y) ,且当 x<0 时,f (x)>1,则当 x>0 时,f(x)的取值范围是( ) (A) (1,+∞) (B) (-∞,1) (C) (0,1) (D) (-1,+∞) 4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f(x)为( 1 ? f ( x1 ) f ( x 2 )



(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)], 则函数 f(x)是( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数

16

高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限 角. 第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ?

?

? ? ? ?
?

第二象限角的集合为 ? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?
? ? ? ?

?

第三象限角的集合为 ? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?
? ? ?

?

第四象限角的集合为 ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?
? ? ? ?

?

终边在 x 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 , k ? ?
?

?

? ? ?
? 终边所落在 n

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?
? ?

?

终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90 , k ? ?
?

?

?

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ?
?

?

4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半 n
*

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域.

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.

6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l . r

? 180 ? ? 57.3? . 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? ? 180 ? ?
?

?

?

?

8、若扇形的圆心角为 ? ? 为弧度制 ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l ? r ? ,

?

?

17

1 1 C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2
9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是

r r ? x 2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限余 弦为正.

11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . y 12、同角三角函数的基本关系: ?1? sin ? ? cos ? ? 1
2 2

P T v O M A x

sin ? sin ? ? 1 ? cos ? , cos ? ? 1 ? sin ? ? ; ? 2 ? cos? ? tan ? ?
2 2 2 2

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos ? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ? ? ? . ? 2 ? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ? 3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos ? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4 ? sin ?? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos ? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

? 6 ? sin ? ?

? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?

?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

18

14、函数 y ? sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函 ?

数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. ? 倍(横坐标不变) 函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 ?

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ?

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ?
倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0 ? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? . ? ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值为 ymax ,则

??

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域 最值

? ?1,1?
当 x ? 2 k? ?

? ?1,1?
当 x ? 2k? ? k ? ? ? 时,

R
既无最大值也无最小值

?
2

? k ? ? ? 时,

19

ymax ? 1;当 x ? 2k? ?

?
2

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
周期性 奇偶性 在 ? 2 k? ?

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .
2?
偶函数

2?
奇函数

?
奇函数

? ?

?
2

, 2 k? ?

??
2? ?
在 ? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上是 增函数;在 ? 2k? , 2k? ? ? ? 在 ? k? ?

? k ? ? ? 上是增函数;在
单调性

? ?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? ? 2 k? ? 2 , 2 k? ? 2 ? ? ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k? , 0 ?? k ? ? ? 对称性 对称轴 x ? k? ? 对称中心 ? k? ?

?
2

? k ? ??

? ?

?

? , 0 ? ? k ? ?? 2 ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x ? k? ? k ? ? ?

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b .

?

?

?

?

?

?

20

⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? .

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

C

? a
18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? . 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , ? 则 ??

?

? b

?

?

?

?

?

?? ? ? ? ?? ? a ? ??C? ??? b ?

C

?? ? ?

? ? x1

x2 y1 y2 ,?

?.

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ; ②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时,

?

?

?

?

?

?

?a ? 0 .
⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? a ? b ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x, y ? ,则 ? a ? ? ? x, y ? ? ? ? x, ? y ? .

?

?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

?

?

20、向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 时,向量 a 、 b b ? 0 共线.

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

?

21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向 量 a ,有且只有一对实数 ?1 、 ?2 ,使 a ? ?1e1 ? ?2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量 的一组基底)

??

?? ?

?

?

??

?? ?

??

?? ?

? ? 22、 分点坐标公式: 设点 ? 是线段 ?1? 2 上的一点, 1 、 2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? , x2 , y2 ? , ?1? ? ? ?? 2 当 ?

??? ?

????

21

时,点 ? 的坐标是 ?

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? , ?. 1? ? ? ? 1? ?

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b cos ? a ? 0, b ? 0, 0 ? ? ? 180
?

? ?

? ?

??

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时,a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时, a ? b ? ? a b ; a ? a ? a ? a 或 a ?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?2

?2

?

? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b . ?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ;③ a ? b ? c ? a ? c ? b ? c .

? ?

? ?

?

?

?? ?
?

?

? ?

?

?? ?

? ?

? ?

? ?

⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 .
2 2 若 a ? ? x, y ? ,则 a ? x ? y ,或 a ?

?

? ?

?

?2

?

x2 ? y2 .

设 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 , a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , ? 是 a 与 b 的 夹 角 , 则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? ? . 2 2 2 a b x1 ? y12 x2 ? y2
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ; 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? ( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) . 1 ? tan ? tan ?

⑹ tan ?? ? ? ? ?

22

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2? ? 2sin ? cos ? . ⑵ cos 2? ? cos
2

? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ? ( cos2 ? ?

cos 2? ? 1 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ) . 2 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ? 2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ? ?

26、 ? sin ? ? ? cos ? ?

? . ?

数学必修 5 解三角形第一周
23

1.正弦定理内容: 2. .余弦定理内容:形式一 形式二

3.三角形 ABC 中 ,对应三边分别是 a, b, c ①A>B ? ② sin(A ? B) ?

?
, cos(A ? B) ? , , tan(A ? B) ? 。

sin(

A? B )? 2

A? B cos( )? 2

③.若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A ? B > 若 ?ABC 为钝角 ? ,则 若 ?ABC 为锐角 ? ,则 A ? B >

? ? 2
B+C >

?

? , 2

? , 2

A+C >

? ; 2
b2

a 2 ? b2

c 2 , b2 ? c 2

a2 , a2 + c2

④S ?

=

=

1 ah a ( h a 表示 a 边上的高) 2

4.(1)若给出 a,b, A 那么解的个数为:(A 为锐角),几何作图时,存在多种情况.如已知 a、b 及 A, 求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数. 已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况: (1)A 为锐角

a=bsin A
解的情况分别是:

bsin A<a<b

a?b

(2)当 A≥90

?

若 a>b,则三角形解的个数是

若 a≤b,则三角形解的个数是

注:除了用几何作图确定解的个数,也可以用余弦定理来确定

高一数学必修 5 第二周

24

1、已知三角形内切圆半径为 r , 1 则 S ?ABC ? (a ? b ? c) ? r 2
B

A

O? C D

2、求三角形外接圆半径,可考虑用正弦定理

a ? 2R sin A

3、用正弦定理证明三角形平分线定理, AB BD 已知 AD 是 ?BAC 的平分线,则 。 ? AC DC
B

A

C

4、用余弦定理可证明:平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

5、三边 3、5、7,7 对应 120 0 ;三边 5、7、8,7 对应 60 0 6、仰角,水平线向上看;俯角,水平线向下看;方位角,北方向顺时针旋转到目标方向线 的角 7、 b 2 ? ac ? sin 2 B ? sin A ? sin C 8、 cos2 A ? cos2 B ? cos2 C ? 1 ,则 ?ABC 是直角三角形 9、判断三角形解的个数,除了用作图法,也可以用余弦定理来判断。
10、数列的通项公式:

25

11、数列 {an}的前 n 项之和为 S n =

12、若记数列 {an}的前 n 项之和为 S n ,则 a n =

(用 S n 表示).

高一数学必修 5 数列第三周
1、数列{ a n }的前 n 项和 S n 与通项 a n 的关系: an

(n ? 1) ? S1 ?? ? S n ? S n ?1 (n ≥ 2)

2、等差数列文字定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差是同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫等差数列的公差。

3、等差数列符号定义: an ?1 ? an ? d

an ?

an ?1 ? an ?1 2

4、等差数列分类:递增数列: d ? 0 递减数列: d ? 0 常数数列: d ? 0

5、等差数列通项

an ? a1 ? (n ? 1 d ? pn ? q ? am ? n ? m d)其中 p ? d , q ? a1 ? d ) (

6、等差数列前 n 项和

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1)d d d ? na1 ? ? pn2 ? qn 其中 p ? , q ? a1 ? 2 2 2 2

7、等差数列中项

a, b, c成等差的充要条件:2b ? a ? c

8、等差数列主要性质 等和性:等差数列 ? an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq

26

推论:若 m ? n ? 2 p 则 am ? an ? 2a p

an? k ? a ? ? 2 a n k

n

a1 ? an ? a2 ? an ?1 ? a3 ? an ?2 ? ???
即:首尾颠倒相加,则和相等 9、其它性质 (1)等差数列中连续 m 项的和,组成的新数列是等差数列。即:

sm , s2 m ? sm , s3m ? s2 m , ??? 等差,公差为 m 2 d 则有 s3m ? 3( s2 m ? sm )
(2)从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列)

(3) ?an ? , ?bn ? 等差,则 ?a2n ? , ?a2 n ?1? , ?kan ? b? , ? pan ? qbn ? 也等差。 (4)等差数列 ? an ? 的通项公式是 n 的一次函数,即: an ? dn ? c ( d ? 0 ) 等差数列 ? an ? 的前 n 项和公式是一个没有常数项的 n 的二次函数, 即: Sn ? An ? Bn ( d ? 0 )
2

(5) 项数为奇数 2n ? 1的等差数列有:

s奇 s偶

?

n n ?1



s奇 ? s偶 ? a ? a、 s2 n?1 ? (2n ? 1)an n 中

项数为偶数 2n 的等差数列有:

s奇 s偶
(6)

?

an an ?1



s偶 ? s ? n d、 奇

s2 n ? n(an ? an ?1 )

an ? m, am ? n , 则 am ? n ? 0

sn ? m, sm ? n ,
sn ? sm

则 sm? n ? ?(m ? n)

则 sm? n ? 0(n ? m)

9、证明方法 证明一个数列为等差数列的方法: (1) 定义法: an ?1 ? an ? d (常数) (2) 中项法: an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) 10、设元技巧:

27

三数等差: a ? d , a, a ? d 四数等差: a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

高一数学必修 5 数列第四周
1:等比数列定义:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比是同一个常数,那么 这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。 符号定义:

an ?1 ? q(q ? 0) an

an 2 ? an ?1 ? an ?1 (an ? 0)

2:等比数列单调性

0 递增数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0,? q ? 1 0 递减数列: a1 ? 0,q ? 1或a1 ? 0,? q ? 1
摆动数列: q ? 0 常数数列: q ? 1 3:通项公式

an ? a1q n?1 ? am q n?m ( q ? 0 )
? a1 (1 ? q n ) ( q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q ? na (q ? 1) ? 1
2 2

求和公式

4: a, b, c 成等比数列 ? b ? ac ,而 b ? ac 不能推得 a, b, c 一定成等比数列 5:等积性: 等比数列 ? an ? 若 m ? n ? p ? q 则 am ? an ? a p ? aq 则 am ? an ? ( a p ) ,
2

推论:若 m ? n ? 2 p

an ? k ? an ?k ? (an ) 2

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??? 即:首尾颠倒相乘,则积相等
6:等比数列性质
28

(1) 等比数列中连续项的和, 组成的新数列是等比数列。 即:sm , s2 m ? sm , s3m ? s2 m , ??? 等比, 公比为 q 。
m

(2)从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。 如: a1 , a4 , a7 , a10 , ??? (下标成等差数列) (3) ?an ? , ?bn ? 等比,则 ?a2n ? , ?a2 n ?1? , ?kan ? 也等比。其中 k ? 0 (4)等比数列的通项公式类似于 n 的指数函数,即: an ? cq ,其中 c ?
n

a1 q
n

(5) 等比数列的前 n 项和公式是一个平移加振幅的 n 的指数函数,即: sn ? cq ? c(q ? 1) (6)等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。 7:证明一个数列为等比数列的方法: (1)定义法:

an ?1 ? q(常数) an
2

( (2)中项法: an ?1 ? an ?1 ? an)(n ? 2, an ? 0)
8:三数等比:

a , a, aq或a, aq, aq 2 q
2 3

四数等比: a, aq, aq , aq

高一数学必修 5 数列第五周
数列求和
一、利用常用求和公式求和 1、等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q 1? q ?
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an? 前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 例 1: 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5 x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n ?1

bn}的

……………………

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与
29

原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 例 2:求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比 或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 例 3:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然 后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项) 如: (1) a n ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1) ? ? tan n ? ? ? cos n cos(n ? 1)

(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

( 2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)( 2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)( n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2)

an ?

n?2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

例 4:求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

六、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将 这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 5:求 cos1°+ cos2°+ cos3°+??+ cos178°+ cos179°的值. ? 七、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律 来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 6:求 1 ? 11 ? 111 ? ? ? ? ? 111 ? ? 之和.解 ??? ?1
n个1

数列通项
题型 1、利用 an ? ?

(n ? 1) ? S1 求通项. ? Sn ? S n ?1 (n ? 2)

1 设数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列 {a n } 的通项公式;

30

题型 2、 an ?1 ? an ? f ? n ? 方法:利用叠加法,

a2 ? a1 ? f ?1? , a3 ? a2 ? f ? 2 ? ,? , an ? an ?1 ? f ? n ? 1? , an ? a1 ? ? f ? k ? .
k ?1

n ?1

题型2、an ?1 ? an f ? n ? 方法:利用迭代法 a2 ? a1 f ?1? , a3 ? a2 f ? 2 ? ,? , an ? an ?1 f ? n ? 1? , an ? a1 ? f ? k ?.
k ?1 n ?1

方法:待定系数法,构造一个公比为p的等比数列,令an ?1 ? ? ? p ? an ? ? ?

题型3、an ?1 ? pan ? q, 其中p, q为常数,且p ? 1,q ? 0 q p ?1

? p ? 1? ? ? q, ? ?

? q ? 从而 ?an ? ? 是一个公比为p的等比数列。 p ? 1? ?
题型 4、形如 an ?1 ?

? an 的数列求通项问题,一般用取倒数的方法求解 ? ? ? an

高一数学必修 5 不等式第六周
(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c

(3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d

(4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ; a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd

31

(5)倒数法则: a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? a b
n

(6)乘方法则: a ? b ? 0 ? a ? b (n ? N * 且n ? 1)
n

(7)开方法则: a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N * 且n ? 1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小; 作差法 作商法(仅限于两数均为正数)

(二)一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2

设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则不等式
2

2

的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

二次函数

y ? ax 2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

一元二次方程

有两相异实根

ax ? bx ? c ? 0
2

?a ? 0?的根
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
ax 2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

x1 , x2 ( x1 ? x2 )
? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?

无实根

R

?x x

1

? x ?x2?

(三) 分式不等式基本方法:移项、通分、合并同类项、因式分解
32

(四)高次不等式: 序轴标根法 从右向左,自上而下,奇穿偶回

高一数学必修 2 直线第七、八周
1. 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直 ... 线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α= 0°. 2. 倾斜角 α的取值范围是什么? 3. 叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就 是k = ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 4.给定两点 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y 2 ) , x1 ? x2 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1 ? x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α= 90, 直线与 x 轴垂直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能 交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1 ? y 2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α=0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 5.求直线的方程,其实就是研究直线上任意一点 P( x, y ) 的 6.直线 l 经过点 P ( x1 , y1 ) , 1 当直线斜率不存在时,直线方程为 ; 当斜率为 k 时, 直线方程为 7.方程 叫做直线的斜截式方程,其中 ,该方程叫做直线的点斜式方程. 叫做直线在 上的纵截距。 . 上的截距, b 称为直线在 之间的关系. ,如何用两点的坐标来表示直线 P1 P2

2 8.经过两点, P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 ) 的直线的两点式方程为

9. 直 线 的 截 距 式 方 程 上的截距.

x y ? ? 1 (ab ? 0) 中 , a 称 为 直 线 在 a b

10.直线方程的一般式 Ax ? By ? C ? 0 中, A, B 满足条件 程表示垂直于 的直线,当 B ? 0 , A ? 0 时,方程表示垂直于
33

,当 A ? 0 , B ? 0 时,方 的直线.

直线方程 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式

不能表示的直线

11. 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序实数对(x,y) , 所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序实数对就可 以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的 集合。 12.线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条件都是关于 x、y 的 ,故又称线性约束条件. ②线性目标函数:关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到 所涉及的变量 x、y 的解析式, 叫线性目标函数. ③线性规划问题:一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的 的问题,统称为线性 规划问题. ④可行域和最优解:可行域: 叫做可行域. 最优解: 叫线性规划问题的最优解.

高一数学必修 5 基本不等式第九周
1.重要不等式: 如果 a, b ? R, 那么a ? b ? 2ab(当且仅当a ? b时取" ?"号)
2 2

34

2.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 ? ??我们称

a?b ? ab (当且仅当a ? b时取" ?"号). 2

a?b 为a, b 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数? 2 a?b ? ab 成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 2

4. a 2 ? b 2 ? 2ab和 都是正数。

5.已知 x ? 0, y ? 0 ,如果积 xy 是定值 P,那么当 x=y 时,和 x+y 有最小值 2 P ;

1 6.已知 x ? 0, y ? 0 ,如果和 x+y 是定值 S,那么当 x=y 时,积 xy 有最大值 S2 4

必修 2 直线位置关系第十、十一周
1.两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的 果它们的斜率相等,那么它们 ,即 ;反之,如

注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论并不成立. 即 ........ 如果 k 1 = k 2 , 那么一定有 l1 ∥ l 2 ; 反之则不一定. 2.两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率 ........ 斜率互为负倒数,那么它们 ,即 若两条直线 l1 , l2 中的一条斜率不存在,则另一条斜率为________时, l1 ? l2 . 3.直线 l1 和 l 2 的方程分别是 A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 和 A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,其中 A1 , B1 不全为 0, A2 , B2 也 不全为 0,试探究: (1)当 l1 // l2 时,直线方程中的系数应满足什么关系? ;反之,如果它们的

(2)当 l1 ? l2 时,直线方程中的系数应满足什么关系? 4 . 求 直 线 方 程 时 , 与 y ? kx ? b 或 Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 可 分 别 设 为 y ? kx ? b1 或

Ax ? By ? C1 ? 0 (其中 b1 , C1 为待定系数) ;与 y ? kx ? b 或 Ax ? By ? C ? 0 垂直的直线可分别设为

35

1 . y ? ? x ? b1 ? k ? 0 ? 或 Bx ? Ay ? C1 ? 0 (其中 b1 , C1 为待定系数) k
5.在解有关两直线平行或垂直问题时,应注意它们的斜率是否存在,否则需分类讨论.

6.
方程组 ?

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 的解 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0

一组

无数组

无解

两直线 l1 , l 2 的公共点的个数 两直线 l1 , l 2 的位置关系

7.判断 直 线 过 定 点 的 方法:

高一数学必修 2 直线与圆第十二周
1.对称是平面几何的基本变换,有关对称的一些结论 ① 点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称点分别是(a,-b)(-a,b)(-a, , , -b)(b,a) , ② 如何求点 A (a,b)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点 A? ?

?k AA ' ?k l ? ?1 ? AA? ⊥ l 点A、A? 关于直线l 对称 ? ? ?? 上 ? AA 中点在 l ?AA ' 中点坐标满足 l 方程
点关于直线 y ? ? x ? b 的对称点是什么?

③ 直线 Ax+By+C=0 关于x轴、y轴、原点、直线 y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b) 对称的直线方程又是什么?你能用哪些方法来求一条直线关于另一条直线的对称直线? ④ 如何处理与光的入射与反射问题?

2、圆的方程: ⑴圆的标准方程: ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 。
2 2 2

⑵圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0(D2+E 2-4F ? 0) , 特别提醒: 只有当 D +E -4F ? 0 时, 方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 才表示圆心为 (?
2 2
2 2

D E ,? ) , 2 2

1 2 2 (二元二次方程 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆 2 2 2 什么? ( A ? C ? 0, 且 B ? 0 且 D ? E ? 4 AF ? 0 ); )
半径为

36

在圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r (r ? 0) 中有三个参数 a, b, r ;在圆的一般方程
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 中,也有三个参数 D, E , F 。所以说三个互相独立的条件确定一个圆。在平
面几何中也是熟悉的事实:不共线的三点唯一地确定一个圆。 确定一个圆,包括确定圆的位置和大小两个方面。圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。又称圆 心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。 ⑶圆的参数方程:

?xy ? a ? rr cos?? ? b ? sin

( ? 为参数) ,其中圆心为 (a, b) ,半径为 r 。

⑷ A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 为直径端点的圆方程 ? x ? x1 ?? x ? x2 ? ? ? y ? y1 ?? y ? y2 ? ? 0

3、点与圆的位置关系:已知点 M ? x0 , y0 ? 及圆 C: ? x-a ? ? ? y ? b ? ? r
2 2

2

(1)点 M 在圆 C ? r ? 0? ,

外 ? CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r ; (2)点 M 在圆 C 内 ?
2 2 2

CM ? r ? ? x0 ? a ? ? ? y0 ? b ? ? r 2 ; (3)点 M 在圆 C 上 ? CM ? r ? ? x0 ? a ?
2 2

2

? ? y0 ? b ? ? r 2 。如点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) 2 +y2=1 的内部,则 a 的取值范围是______(答:
2

| a |?

1 ) 13
2 2 2

4、直线与圆的位置关系:直线 l : Ax ? By ? C ? 0 和圆 C:x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ?

(1)代数方法(判断直线与圆方程联 ? r ? 0 ? 有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断: 立所得方程组的解的情况) ? ? 0 ? 相交; ? ? 0 ? 相离; ? ? 0 ? 相切; : (2)几何方法(比较圆 心到直线的距离与半径的大小) 设圆心到直线的距离为 d , d ? r ? 相交;d ? r ? 相离;d ? r ? : 则 相切。 提醒:判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 如 (1)圆 2 x ? 2 y ? 1 与直线 x sin ? ? y ? 1 ? 0(? ? R, ? ?
2 2

?
2

? k? , k ? z ) 的位置关系为____(答:

相离) ;

(2)若直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 切于点 P(?1, 2) ,则 ab 的值____(答:2) ;
2 2

(3)直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ?15 ? 0 所截得的弦长等于
2 2
2 2

(答: 4 5 ) ; (答:4) ;

(4)一束光线从点 A(-1,1)出发经 x 轴反射到圆 C:(x-2) +(y-3) =1 上的最短路程是

(5)已知 M ( a, b)(ab? 0)是圆 O : x ? y ? r 内一点,现有以 M 为中点的弦所在直线 m 和直线
2 2 2

l : ax ? by ? r 2 ,则 A. m // l ,且 l 与圆相交

B. l ? m ,且 l 与圆相交
37

C. m // l ,且 l 与圆相



D.l ? m , l 与圆相离 且 (答: ; C) (6) 已知圆 C:x ? ( y ? 1) ? 5 , 直线 L:mx ? y ? 1 ? m ? 0 。
2 2

①求证:对 m ? R ,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点;②设 L 与圆 C 交于 A、B 两点,若 AB ? 17 , 求 L 的倾斜角;③求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. (答:② 60 或 120 长: y ? 1,最短: x ? 1 )
? ?

③最

高一数学必修 2 圆 第十三周
1、圆的切线与弦长: (1) 切 线 : ① 过 圆 x 2 ? y 2 ? R 2 上 一 点 P( x0 , y0 ) 圆 的 切 线 方 程 是 : xx0 ? yy0 ? R 2 , 过 圆 一般地, ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R 2 上一点 P( x0 , y0 ) 圆的切线方程是:( x ? a)( x0 ? a) ? ( y ? a)( y0 ? a) ? R 2 , 如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径) ; ②从圆外一点引圆的切线一定有两条,可先设切线方程,再根据相切的条件,运用几 何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求;③过两切点的直线(即“切点弦” )方程的求法: 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆,该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程;

③切线长:过圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? R 2 )外一点 P( x0 , y0 ) 所引圆的切
2 2
2 2 线的长为 x0 ? y0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ( ( x0 ? a ) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? R 2 ) ;

如设 A 为圆 ( x ? 1) ? y ? 1 上动点, 是圆的切线, PA 且|PA|=1, P 点的轨迹方程为__________ 则 (答:
2 2

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2 ) ;

(2)弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距 d ,弦长一半
2 2

1 a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来 2

解 : r ? d ? ( a) ; ② 过 两 圆 C1 : f ( x, y ) ? 0 、 C2 : g ( x, y ) ? 0 交 点 的 圆 ( 公 共 弦 ) 系 为
2

f ( x, y? ? g ( x, ? ) ,当 ? ? ?1 时,方程 f ( x, y) ? ? g ( x, y) ? 0 为两圆公共弦所在直线方程.。 ) y 0

1 2

2.解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构 成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)! 圆心在过切点垂直于切线的直线上 垂径定理:弦的垂直平分线过圆心(弦的中点与圆心的连线垂直弦所在的直线)

38

弦心距的 d、半径 r、弦长 l 的关系是什么?

3.圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 (04 年全国卷三. 文 16) P 为圆 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值 设 为 . 点评:通过参数法,将几何问题转化为三角值域研究. 也可设切线 3x ? 4 y ? C ? 0 ,由 d ? r 求出 C,最 后由两平行线间距离公式 d ? 求出最小值. A2 ? B 2 注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解 4.过两圆交点的圆系方程 设圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 ,
2 2

| C1 ? C2 |

圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 有 公 共 点 , 则 经 过 圆 C1 和 圆 C 2 的 公 共 点 的 圆 系 方 程 为 :
2 2

( x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ) ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 (其中 ? 为参数, ? ? R, ? ? ?1 ,方程不包括圆 C 2 。 )在有些问
题中需检验圆 C 2 是否也为所求;当 ? ? ?1 时,该方程是一条直线的方程,此直线就是两圆的公共弦所 在直线。 5. 过直线与圆的交点的圆系方程 设 直 线 l : Ax ? By ? C ? 0 与 圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 有 公 共 点 , 则 过 其 交 点 的 圆 系 方 程 为
2 2

( x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ) ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 。

6.圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断) :已知两圆的圆心分别为

O1,O 2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则(1)当 |O1O 2 ?? r1 ? r2 时,两圆外离; (2)当 |O1O 2 ?? r ? r2 1
时,两圆外切; (3)当 r1 ? r2 <|O1O2 ?? r ? r2 时,两圆相交; (4)当 |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两 1 圆内切; (5)当 0 ? |O1O2 ??? r1 ? r2 | 时,两圆内含。 (04 年上海卷.文理 8)圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0, ?4), B(0, ?2) , 则圆 C 的方程为 .
2 2

两 圆 相 交 弦 所 在 直 线 方 程 的 求 法 : 圆 C1 的 方 程 为 : x +y +D1x+E1y+C1=0. 圆 C2 的 方 程 为 : 2 2 x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0 注意:两圆相切要区分内切还是外切.

39

高一数学必修 2 立体几何第十三周
三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱: 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行 于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与 高的比的平方。 (3)棱台: 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形

③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)

'

S 直棱柱侧面积 ? ch
S正棱台侧面积 ? 1 (c1 ? c2 )h' 2

1 S圆柱侧 ? 2?rh S正棱锥侧面积 ? ch' 2
S圆 台 侧 面 积 (r ? R)?l ?

S圆锥侧面积 ? ?rl

S圆柱表 ? 2?r ?r ? l ?

S圆锥表 ? ?r ?r ? l ?

S圆台表 ? ? r 2 ? rl ? Rl ? R 2

?

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

40

V柱 ? Sh

V圆柱 ? S h ? 2r h V锥 ? 1 S h ?
3

1 V圆锥 ? ?r 2 h 3

1 V台 ? (S ' ? S ' S ? S )h 3

1 1 ' V圆台 ? (S ' ? S S ? S )h ? ? (r 2? rR ? R )2 h 3 3

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 = 4 ? R3
3

; S 球面 = 4? R 2

4、空间点、直线、平面的位置关系 公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用: 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ?? , B ?? ? l ? ?

公理 2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面 α和 β 相交,交线是 a,记作 α∩ β =a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 2 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 3 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据

公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成角的范围 是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 求异面直线所成角步骤: A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的
41

位置上。

B、证明作出的角即为所求角

C、利用三角形来求角

(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:a ? α

a∩ α=A

a∥ α

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点; α∥ β 相交——有一条公共直线。 α∩ β =b

5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形) 是直二面角(平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

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②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ?, 两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角
?
?

b? ,形成

①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条 直线和这个平面所成的角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线 的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条 .. ... 射线所成的角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那 么所成的二面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平 面角

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