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23 等差数列的前n项和(导学案)

23 等差数列的前n项和(导学案)


2.3

等差数列的前 n 项和(导学案) (集美中学 杨正国)

一、学习目标
1、知识与技能: 掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路;会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 2、经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法, 学会观察、归纳、反思

二、本节重点
等差数列前 n 项和公式的理解、推导及应用.

三、本节难点
灵活运用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题

四、知识储备
1、 复习:等差数列的概念、通项公式、等差中项,等差数列的性质 2、 (1)一般形式: a1 , a2 ,?, an (2)通项公式: an ? f (n) (3)前 n 项和: Sn

? a1 ? a2 ? ?an
(n ? 1), ?S1 ?? * ?S n ? S n ?1 (n ? 1, n ? N ).

(4)用 Sn 表示 an : a n 3、等差数列

(1)定义: an ? an?1 ? d (n ? 2) ? {an }成等差数列 (2)通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? An ? B 推广: an ? am ? (n ? m)d (3)性质: ① a与b的的等差中项 A ? A ?

a?b 2

② 若m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq 特别地: 若m ? n ? 2 p, 则am ? an ? 2a p

③ 奇数项 a1 , a3 , a5 ,?成等差数列,公差为 2d 偶数项 a2 , a4 , a6 ,?成等差数列,公差为 2d

五、通过预习掌握的知识点

1、

Sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d = na1 ? 2 2
2)推导思想: 倒序相加

公式说明: 1) S n 的特征,形象理解。 2、 前 n 项和公式 S n 与 n 的关系:

S n ? na1 ?

d d n(n ? 1) d ? n 2 ? (a1 ? )n 2 2 2

可知:

Sn 是关于 n 的二次函数,故点 (n, Sn ) 落在函数 y ?
六、知识运用

d 2 d x ? (a1 ? ) x 上的点. 2 2

1.一个等差数列前 4 项的和是 24,前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27,求这个等差数列的通项公式。 2.差数列{ an }中, a4 =-15, 公差 d=3, 求数列{ an }的前 n 项和 S n 的最小值。

3.根据下列各题的条件,求相应等差数列的未知数.
1) a1 2) a2 3) d

? 3 , an ? 2n ? 1, Sn ? 195 ? a6 ? 16 , S6 ? 39 求 d , an
? 3, a2 ? 7 , n ? 12 ,求 a1 , Sn

求 d, n

七、重点概念总结
1、等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
n(n ? 1)d 2

2、等差数列的前 n 项和公式2: S n ? na1 ?

3、对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 an : 当 an >0,d<0,前n项和有最大值 可由 an ≥0,且 an?1 ≤0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

当 an <0,d>0,前n项和有最小值 可由 an ≤0,且 an?1 ≥0,求得n的值
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

(2) 利用 S n : 由 Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2


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