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2015-2016学年高中数学 1.3第1课时 二项式定理课件 新人教B版选修2-3

2015-2016学年高中数学 1.3第1课时 二项式定理课件 新人教B版选修2-3


第一章 计数原理

第一章
1.3 二项式定理 二项式定理

第1课时

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

牛顿善于在日常生活中思考,他取得了科学史上一个个重 要的发现.有一次,他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差, 他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理,他抓住姑娘的手指, 错误地把它当成通烟斗的通条,硬往烟斗里塞,痛得姑娘大 叫,离他而去. 那么,什么是二项式定理?二项式定理的无穷魅力在哪 里?

1.组合数公式及其性质

Am n! n m m A m m!?n-m?! (1)公式:Cn =________ =______________.
m n-m m m m-1 C C +1 n n (2)性质:Cn =________ ,Cn +Cn =________.

1 (3)规定:C0 n=________.

2.判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
m-n (1)Cm = C .( × ) n n

(2)m 个连接的自然数的乘积能被 m!整除.( √
6 6 (3)C5 11+C11=C11.( × )

)

一、二项式定理
n 1 n-1 r n-r r n (a+b)n=C0 a + C a b +?+ C b +?+Cn n n na nb (n∈N+),

这个公式所表示的规律叫做二项式定理. 对二项式定理的理解应注意以下几点: 1.适用范围 二项式定理只适用于两项和的正整数次幂,幂指数不能是 0 和负数.

2.公式特点 (1)它是一个恒等式,左边是二项式幂的形式,表示简单, 右边是二项式的展开式,表示虽然复杂,但很有规律.规律特 点为:①它有 n+1 项,是和的形式;②各项的次数都等于二项 式的幂的次数 n;③字母 a 按降幂排列,次数由 n 减到 0,字母 b 按升幂排列,次数由 0 增到 n;④各项的二项式系数依次为:
1 n C0 n,Cn,?,Cn.利用展开式解决问题时可以根据需要选择.

(2)二项式定理中,a,b 是任意的,于是我们可以根据需要 对 a,b 赋值,利用二项式定理来解决一些特殊问题.如令 a=
2 2 r r n n 1,b=x,则(1+x)n=1+C1 x + C x +?+ C x +?+ C n n n nx .这也

为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令
1 2 n n x=-1,则 C0 - C + C -?+ ( - 1) Cn=0,如果令 a,b 取一 n n n

些特殊的值还可以得到许多有用的结果. (3)二项式定理中,a,b 一般是不能交换的,即(a+b)n 与(b +a)n 是有区别的.

2 3 4 n n 1-2C1 + 4C - 8C + 16C +?+ ( - 2) Cn=( n n n n

)

A.1 C.(-1)n
[答案] C

B.-1 D.3n

[解析] 原式=(1-2)n=(-1)n.

故选C.

二、正确理解二项式系数与特定项的系数
r 二项展开式中,系数 Cn (r=0,1,2,?,n)叫做二项式系数,

它是一组仅与二项式的幂指数 n 有关的 n+1 个组合数, 而与 a, b 无关. 即展开式的第 r+1 项的二项式系数与第 r+1 项的系数
7- 是不同的概念.如在(1+2x)7 的展开式中,第四项是 T4=C3 1 7 3 3 3 · (2x)3.其二项式系数是 C3 ,而第 4 项的系数是 C 2 ,它们既有 7 7·

区别,又有联系.二项式系数的和是 2n,求二项展开式各项的 系数和一般用赋值法解决.

? 1 ?7 ?2x+ 2? 的展开式中倒数第三项的系数是( x? ?

)

A.C6 2 7·
2 C.C6 · 2 7

B.C6 26 7·
2 D.C5 · 2 7

[答案] D
[ 解析] 中第 6
? 1 ?7 ?2x+ 2? 的展开式共有 x? ? ? ?

8 项, 倒数第三项为展开式
2 C5 · 2 .故选 D. 7

5 2 1 5 ? 2? ,系数为 项,T6=C7(2x) ·

?x ?

三、二项展开式的通项公式
r n r r 展开式中的 Cn a b 项叫做二项展开式的通项,它是展开


r n-r r 式的第 r+1 项, 即 Tr+1=Cn a b (其中 0≤r≤n, r∈N, n∈N+),

我们把上面的公式叫做二项展开式的通项公式. 对于通项公式应理解以下几点: (1)它表示二项展开式中的任意项,只要 n 与 r 确定,该项 也随之确定.对于一个具体的二项式,它的展开式中的项 Tr+1 依赖于 r.

(2)通项公式表示的是第 r+1 项,而非第 r 项,r+1 是项 数. (3)公式中二项式的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠 倒,且它们的指数和一定为 n. (4)在通项公式中共含有 a,b,n,r,Tr+1 这 5 个元素,只 要知道其中的 4 个元素,便可求第 5 个元素的值.

(1+2x)5的展开式中,x2的系数等于(

)

A.80
C.20 [答案] B

B.40
D.10

[ 解析]

本题主要考查二项式定理及二项展开式的性质.

r r r r (1+2x)5 展开式中的第 r+1 项为 Tr+1=Cr (2 x ) = 2 C5x ,令 5

r=2 得 T3=40x2,∴x2 的系数为 40,故选 B.

四、函数与方程的思想 根据题意求二项展开式的有关问题,通常利用通项公式 Tr
+1

n r r =Cr a b 中的 a,b,n,r,Tr+1“知四求一”,解决问题的 n


常用方法是转化为函数问题或解方程解决.

在(1+x+mx2)10 的展开式中,求使 x4 的系数取最小值时 m 的值.
[ 解析] ∵(1+x+mx2)10=[1+(x+mx2)] 10,

由通项公式得
r Tr+1=C10 (x+mx2)r r r =C10 x (1+mx)r(r=0,1,2,?,10).

又(1+mx)r 的通项公式为(r≠0,否则不合题意)
p Cp r (mx) (p=0,1,2,?,r), r p r+p ∴Tr+1=C10 · Cp · m · x . r

而 r+p=4,且 0≤p≤r≤10,
2 2 3 1 4 0 2 ∴x4 项的系数为 C2 10C2m +C10C3m+C10C4=45m +360m+

21-=45(m+4)2-510, ∴当 m=-4 时,x4 项的系数最小,最小值为-510.

课堂典例探究

二项式系数与项的系数问题
? 已知二项式?3 ?

2 ?10 x-3x? . ?

(1)求展开式第四项的二项式系数; (2)求展开式第四项的系数; (3)求第四项.

[ 解析]
r

? ?3 ?

2 ?10 10 - x-3x? 的展开式的通项是 Tr+1=Cr (3 x ) 10 ?

? 2 ?r ?- ? (r=0,1,?,10). ? 3x ?

(1)展开式的第 4 项(r=3)的二项式系数为 C3 10=120. (2)展开式的第 4 项的系数为 23 3 7 ? C103 - ? =-77
? ? ?

3?

760.

1 (3)展开式的第 4 项为-77 760( x) · x3,
7

即-77 760 x.

[方法总结] 的差异.

要注意区分二项式系数与指定某一项的系数

二项式系数与项的系数是两个不同的概念,前者仅与二项 式的指数及项数有关,与二项式无关,后者与二项式、二项式 的指数及项数均有关.

1n 若(x+x ) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等, 1 则该展开式中x2的系数为__________.

[ 答案]
[ 解析 ]

56
本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运 18 n=8.∵(x+x ) 展开式中通项公式为

6 用.依题意,C2 n=Cn,解得

r 8-2r Tr+1=C8 x ,∴令 8-2r=-2,即 r=5,

∴ C5 8=56,即为所求.本题是常规题型,关键考查通项公 式求特定项.

求常数项问题
? 2 1 ? ? ?10 求二项式?x + ? 的展开式中的常数项. 2 x ? ?

[ 分析]

展开式中第 r+1 项为

r C10 (x2)10-r? ?

? ?2

1

? ?r ,要使得它 x? ?

是常数项,必须使“x”的指数为零,依据是 x0=1,x≠0.

[ 解析]

设第 r+1 项为常数项,则
?

? r Tr+1=C10 (x2)10-r· ?

1

?2

? 5 ?1?r ?r r ? ? (r=0,1,?,10). =C10x20-2r· ? x? ?2?

5 令 20-2r=0,得 r=8.
8 1 8 ? ? = ∴T9=C10·

? ? ?2?

45 256.

45 ∴第 9 项为常数项,其值为256. [方法总结] 二项式的展开式的某一项为常数项,就是指
这项不含“变元”,一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零 的方法求得常数项.

? ? 1 求式子?|x|+|x|-2?3 的展开式中的常数项. ? ?

[ 分析]

? 1 ? 1 ? ?2 |x|+|x|-2 可化为? |x|- ? 的形式,将三项转化 | x | ? ?

为两项,可得如下解法.

[ 解析]

? ? ? 1 3 ?|x|+ -2? =? ? |x| ? ? ?

1 ? ?6 |x|- . |x|? ?

设第 r+1 项是常数项,则
r Tr+1=C6 (

|x|)

6-r?

? ?- ?

1 ? ?r r r 3 -r = ( - 1) C6|x| . |x|? ?

令 3-r=0,得 r=3.故常数项为 T4=(-1)3C3 6=-20.

2 ? ? ? ? 已知?x x+ 3 ?n 展开式的前三项系数的和为 129,这个展 x? ? 开式中是否含有常数项?一次项?若没有, 请说明理由; 若有, 请求出来.

[ 解析]

? 2 ? ?r r n-r ? r r 9n-11r ∵Tr+1=Cn(x x) · 2· x 6 ,r=0、 ? 3 ? =Cn· ? x?

1、2、?、n,
0 1 1 2 2 ∴由题意 C0 · 2 + C · 2 + C 2 =129, n n n·

结合组合数公式,有 1+2n+2n(n-1)=129, ∵n∈N*,∴n=8.
r r 72-11r ∴Tr+1=C8· 2· x ,r=0、1、2、?、8.

6

72 * 若展开式中存在常数项,则 72-11r=0,则 r=11?N , ∴展开式中不存在常数项, 72-11r 若展开式中存在一次项,则 6 =1, ∴72-11r=6,∴r=6. ∴展开式中存在一次项,它是第 7 项,
6 T7=C6 · 2 · x=1 792x. 8

利用通项公式求二项展开式中的特定项

?3 1 ? ? ? 已知在? x- 3 ?n 的展开式中,第 6 项为常数 2 x? ? 项. (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

[ 分析]

(1)写出展开式的通项公式,根据第 6 项为常数项

求 n,由 n 值令 x 的指数为 2,求 r; (2)求出 x2 的项的系数,令 x 的指数为整数 k, 根据 0≤r≤n,r∈Z,求 k; (3)根据 k 的值求出展开式中的有理项.

[ 解析]

1 ? ? 3 ?r n-r ?- Tr+1=Cr · ( x ) · n 3 ? ? ? 2 x?
? ? ? ? ? ?

1 1r 1 r r n-2r r 1 n -r ?- · x- ? =?- ? · =Cn(x ) · Cn· x . 3 2 3? 2? 3 (1)∵第 6 项为常数项, n-2r ∴r=5 时有 3 =0,∴n=10. n-2r 1 (2)令 3 =2,得 r=2(n-6)=2, ∴所求的系数为 1 2 45 2 ? C10 - ? = .
? ? ?

2?

4

? ?10-2r∈Z ? 3 (3)根据通项公式,由题意得:? ?0≤r≤10 ? ?r∈ Z 10-2r 令 3 =k(k∈Z), 10-3k 3 则 10-2r=3k,即 r= 2 =5-2k.



∵r∈Z,∴k 应为偶函数,∴k 可取 2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项. 它们分别为 12 2 15 1 8 -2 2 5 8 ?- ? · C10· x ,C10?- ? ,C10?- ? · x .
? ? ? ? ? ? ? ? ?

2?

2?

2?

[方法总结]

(1)求展开式的特定项的关键是抓住其通项公

式,所谓二项展开式的特定项是指展开式中的某一项,如第n 项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值等的特殊项.求 解时,先准确写出通项公式,再把系数和字母分离开(应注意符

号),根据题目中所指定的字母的指数具有的特征,列出方程或
不等式求解即可. (2)求由多个二项式的和 (或差)组成的式子的展开式中某些 特定项的常用思路有两个:其一是先求各展开式中的特定项, 再求其和(或差);其二是先对其式子进行变形化简,再求其展

开式中的特定项.一般来说,若能化简式子,则应先化简,这
样解题较方便.

? 若? ?3 ?

1? n x- ? 的展开式中各项系数之和为 64, 则 x? ? ) B.-162 D.540

展开式的常数项为( A.-540 C.162

[ 错解]

D

[ 辨析]

(a-b)n=[ a+(-b)] n,

r n-r n-r r 则 Tr+1=Cn a (-b)r,而不是 Tr+1=Cr a b. n

[ 正解]
r

A

r 6 令 x = 1,2n = 64 ? n = 6. 由 Tr + 1 = C 6 · 3



6-r r r 6-r 3-r · x 2 · (-1) · x-2=(-1)rCr 3 x ,令 3-r=0?r=3.所以常 6

3 数项为-C3 3 6 =-20×27=-540.

?二项式定理的推导过程?理解? ? 二项式定理?二项展开式的通项?掌握? ?二项式系数与项的系数?理解? ?


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