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河北省清河县清河中学高三数学课时作业 56直线与圆锥曲线的位置关系

河北省清河县清河中学高三数学课时作业 56直线与圆锥曲线的位置关系

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课时作业 56 直线与圆锥曲线的位置关系

时间:45 分钟

分值:100 分

一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

1.(2010·上海春招)已知抛物线 C:y2=x 与直线 l:y=kx+1.“k≠0”是“直线 l 与

抛物线 C 有两个不同的交点”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:由题易知,直线 l 过定点(0,1),点(0,1)在抛物线 C 的外侧,所以 k≠0 时直线 l

与抛物线 C 可能有两个交点,也可能有一个交点,可能没有交点,故“k≠0”不能推出“直

线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点”,反之,“直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点”可

以推得“k≠0”,所以“k≠0”是“直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点”的必要不充分

条件.

答案:B

2.(2010·西城模拟)设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C:x42+y22=1 相交于不同的两点 A、B,

则使|AB|为整数的直线 l 共有( )

A.4 条

B.5 条

C.6 条

D.7 条

解析:设直线 AB 的方程为 y=x+b,代入椭圆 C:x42+y22=1,可得 3x2+4bx+2b2-4

=0,

由 Δ=16b2-12(2b2-4)>0,可得 b2<6,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 2 × ?x1+x2?2-4x1x2= 2× ?-43b?2-4×2b23-4=43 6-b2,分别取 b2=145,8176,1156时, 可分别得|AB|=2,1,3,此时对应的直线 l 有 6 条.
答案:C 3.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 作两条弦 AB 和 CD,且 AB⊥x 轴,|CD|=2|AB|,则弦 CD 所在直线的方程是( ) A.x-y-1=0 B.x-y-1=0 或 x+y-1=0

C.y= 2(x-1)

D.y= 2(x-1)或 y=- 2(x-1)

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解析:依题意知 AB 为抛物线的通径,|AB|=2p=4,|CD|=2|AB|=8,显然满足条件

的直线 CD 有两条,验证选项 B,由???yy2==x4-x,1 得:x2-6x+1=0,x1+x2=6,此时|CD|

=x1+x2+p=8,符合题意.同理,x+y-1=0 也符合题意. 答案:B

4.(2011·广东茂名一模)已知两点 A(1,-2),B(-4,-2)及下列四条曲线:

①4x+3y=3 ②x2+y2=3

③x2+2y2=3 ④x2-2y2=3

其中存在点 P,使|PA|=|PB|的曲线有( )

A.①③

B.②④

C.①②③

D.②③④

解析:易知线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 x=-32,画图知与直线 l 有公共点的曲

线有①②③,故选 C.

答案:C 5.(2010·重庆一诊)已知椭圆x42+y22=1 的左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F1 且倾斜

角为 45°的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,对以下结论:①△ABF2 的周长为 8;②原点 O 到 直线 l 的距离为 1;③|AB|=83.其中正确结论的个数为( )

A.3

B.2

C.1

D.0

解析:依题意得|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1| +|BF2|)=8,即△ABF2 的周长是 8.易知点 F1(- 2,0),故直线 l 的方程是 y=x+ 2,即

x-y+ 2=0,则原点 O 到直线 l 的距离是 22=1;联立?????yx4= 2+xy+ 22=12 得 3x2+4 2x=0,

解得 x1=0,x2=-4 3 2,故|AB|= ?1+12?×?0+4 3 2?2=83.

答案:A

6.(2010·武汉调研)已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于点

M、N,交 y 轴于点 P,若P→M=λM→E,P→N=μN→E,则 λ+μ=( )

A.1

B.-12

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C.-1

D.-2

解析:依题意,将点 E 特殊化为抛物线的焦点,易知 λμ<0,不妨设 λ>0,μ<0,作

MM1⊥y 轴于 M1,NN1⊥y 轴于 N1,则有||OOMN11||=||MENE||=|M|OME1| |=|P|PMO1||,则||OPMM11||=||OPNO1||,λ +μ=||PM→ →ME||-||PN→→NE||=||OPMM11||-||OPNN11||=||OPMM11||-|PO||O+N|O1| N1|=||OPMM11||-||OPNO1||-1=-1,选 C.
答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.已知直线 l 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点,且 l 经过抛物线的焦点 F,A 点的坐 标为(8,8),则线段 AB 的中点到准线的距离是________. 解析:由 y2=8x 知 2p=8,p=4. 设 B 点坐标为(xB,yB),由 AB 直线过焦点 F, ∴直线 AB 方程为 y=43(x-2), 把点 B(xB,yB)代入上式得: yB=43(xB-2)=43 (y8B2-2),

解得 yB=-2,∴xB=12,

∴线段 AB 的中点到准线的距离为8+2 21+2=245.

答案:245 8.已知双曲线ax22-by22=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 30°的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是________.

解析:依题意得,ba= c2a-a2= e2-1≥tan30°,

∴e≥2

3

3 .

答案:[23 3,+∞) 9.(2010·福建质检一)已知曲线xa2-yb2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 P、Q 两点,且

O→P·O→Q=0(O 为原点),则1a-1b的值为________. 解析:设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),

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由题意得???xa2-yb2=1

,则(b-a)x2+2ax-a-ab=0.

??x+y-1=0

所以 x1+x2=-b2-aa,x1x2=-ba--aab,

y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2, 根据O→P·O→Q=0,得 x1x2+y1y2=0,即 1-(x1+x2)+2x1x2=0, 因此 1+b2-aa+2×-ba--aab=0, 化简得ba-ba=2,即1a-1b=2. 答案:2 三、解答题(共 55 分) 10.(15 分)已知椭圆ax22+by22=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),且它的离心率与双曲线x32 -y2=1 的离心率互为倒数. (1)求椭圆的方程; (2)过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,点 M 在椭圆上,且满足O→M=

12O→A+ 23O→B,求 k 的值. 解:(1)∵双曲线x32-y2=1 的离心率为2 3 3,

∴椭圆的离心率为

3 2.

又∵b=1,∴a=2.

∴椭圆的方程为x42+y2=1.

(2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).

??y=kx+1, 由???x42+y2=1,

得(1+4k2)x2+8kx=0,

∴x1+x2=-1+8k4k2,x1·x2=0.

∵O→M=12O→A+ 23O→B,

∴m=12(x1+ 3x2),n=12(y1+ 3y2),

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∵点 M 在椭圆上,∴m2+4n2=4, ∴14(x1+ 3x2)2+(y1+ 3y2)2 =14[(x12+4y12)+3(x22+4y22)+2 3x1x2+8 3y1y2] =14[4+12+8 3y1y2]=4. ∴y1y2=0, ∴(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1 =k·(-1+8k4k2)+1=0,

即 k2=14,∴k=±12. 此时 Δ=(8k)2-4(1+4k2)×0=64k2=16>0 ∴k 的值为±12. 11.(20 分)过椭圆 C:x62+y22=1 的右焦点 F 作斜率为 k(k>0)的直线 l 与椭圆交于 A、

B

两点,且坐标原点

O

到直线

l

的距离

d

满足:0<d<2

3

3 .

(1)证明:点 A 和点 B 分别在第一、三象限;

(2)若O→A·O→B>-43,求 k 的取值范围.

解:(1)由已知,a= 6,b= 2,则 c=2,F(2,0),直线 l 的方程为 y=k(x-2),



2 0<d<

3

3及

k>0,得

0<

2k 2 1+k2<

3

3,

解这个不等式,得

0<k<

2 2.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由???x62+y22=1 ??y=k?x-2?

消去 y,得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,

则 x1+x2=11+2k32k2,x1x2=112+k23-k26, y1y2=k(x1-2)×k(x2-2)=k2[x1x2-2(x1+x2)+4] =k2(112+k23-k26-2×11+2k32k2+4)=-1+2k32k2<0, ∵0<k< 22,∴112+k23-k26<0,即 x1x2<0,

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不妨设 x1<0,则 x2>0,此时 y1=k(x1-2)<0,于是 y2>0,A、B 分别在第一、三象限. (2)由O→A·O→B=x1x2+y1y2=112+k23-k26-1+2k32k2=110+k23-k26>-43,

注意到

k>0,解得

k>

3 3.

所以 k 的取值范围是( 33, 22).

——探究提升—— 12.(20 分)(2011·皖南八校联考)

如右图,在直角坐标系 xOy 中有一直角梯形 ABCD,AB 的中点为 O,AD⊥AB,AD∥BC,

AB=4,BC=3,AD=1,以 A、B 为焦点的椭圆经过点 C. (1)求椭圆的标准方程;

(2)若点 E(0,1),问是否存在直线 l 与椭圆交于 M,N 两点且|ME|=|NE|,若存在,求 出直线 l 斜率的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)连接 AC,依题意设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),在 Rt△ABC 中,AB

=4,BC=3,∴AC=5. ∴CA+CB=5+3=2a,a=4.

又 2c=4,∴c=2,从而 b= a2-c2=2 3, ∴椭圆的标准方程为1x62 +1y22 =1.

(2)由题意知,当 l 与 x 轴垂直时,不满足|ME|=|NE|, 当 l 与 x 轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时 k=0.

设直线 l 的方程为 y=kx+m(k≠0),

??y=kx+m 由???1x62 +1y22 =1

,消去 y 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-48=0,

∵Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-48)>0,∴16k2+12>m2,① 令 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 的中点为 F(x0,y0), 则 x0=x1+2 x2=3-+44kmk2,y0=kx0+m=3+3m4k2,

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3+3m4k2-1 ∵|ME|=|NE|,∴EF⊥MN,∴kEF×k=-1,即 -4km ×k=-1,
3+4k2 化简得 m=-(4k2+3), 结合①得 16k2+12>(4k2+3)2,即 16k4+8k2-3<0, 解得-12<k<12(k≠0). 综上所述,存在满足条件的直线 l,且其斜率 k 的取值范围为(-12,12).
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