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湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2},则?U(A∪B)=( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4}

2.设 α 角属于第二象限,且|cos

|=﹣cos

,则

角属于(

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列各组中两个函数是同一函数的是( A.f(x)= 与 g(x)=( )4 ) B.f(x)=x 与 g(x)=

C.f(x)=lnex 与 g(x)=elnx D.f(x)=

与 g(x)=x﹣2

4.三个数 a=0.67,b=70.6,c=log0.76 的大小关系为( A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a

)

5.函数 A.[1,+∞)B.

的定义域是:( C. D.

)

6.下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是

(

)

A.①

,②y=x2,③

,④y=x﹣1 ,④y=x﹣1 ,④y=x﹣1

B.①y=x3,②y=x2,③ C.①y=x2,②y=x3,③ D.① ,②

,③y=x2,④y=x﹣1

7.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=2x2﹣2x+1,则 f(﹣1)=( A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2

)

-1-

8.下列函数中值域是(0,+∞)的是( A.y= B.y=x2+x+ C.y=

) D.y=2x+1

9.函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的大致区间是( A. (﹣ ,0)

)

B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )

10.若偶函数 f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,则不等式 f(﹣2)<f(lgx)的解集是( A. (0,100) C. ( B. ( ,100) )∪(100,+∞)

)

,+∞) D. (0,

11.若函数 f(x)=kax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函 数 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

12.已知函数 A.4 B.3 C.2 D.1

则函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数是(

)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知一个扇形的周长为 6cm,面积为 2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x,则函数 f(x) ,x∈R 的解析式为 f(x)=__________.

15.若角 α∈(﹣π,﹣

) ,则



=__________.

16.已知函数 f(x)= __________.

(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

-2-

17. (1)计算: (2) 已知角 α 顶点在原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边在函数 y=﹣3x (x≤0) 的图象上. 求 的值.

18.已知函数

的定义域为集合 Q,集合 P={x|a+1≤x≤2a+3}.

(1)若 a=3,求(?RP)∩Q; (2)若 P∪Q=Q,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(x)=x2+2mx+3m+4, (1)m 为何值时,f(x)有两个零点且均比﹣1 大; (2)求 f(x)在[0,2]上的最大值 g(m) . 20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) .

21.已知 f(x)=log2 (1)判断 f(x)奇偶性并证明; (2)判断 f(x)单调性并用单调性定义证明; (3)若 ,求实数 x 的取值范围.

22.已知函数 g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= .

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)不等式 f(2x)﹣k?2x≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.

-3-

2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高一(上)期中数 学试卷
一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2},则?U(A∪B)=( ) A.{1,3,4} B.{3,4} C.{3} D.{4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;集合. 【分析】根据已知中集合 U,A,B,结合集合的并集和补集运算的定义,可得答案. 【解答】解:∵集合 A={1,2},B={2}, ∴A∪B={1,2}, 又∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)={3,4}, 故选:B 【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题.

2.设 α 角属于第二象限,且|cos

|=﹣cos

,则

角属于(

)

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】三角函数值的符号. 【专题】计算题. 【分析】 由 α 是第二象限角, 知 <0,由此能判断出角 在第一象限或在第三象限, 再由|cos |=﹣cos , 知 cos

所在象限.

【解答】解:∵α 是第二象限角, ∴90°+k?360°<α<180°+k?360°,k ∴45°+k?180°< ∴ <90°+k?180° k∈Z

在第一象限或在第三象限, |=﹣cos <0 ,

∵|cos ∴cos ∴

角在第三象限.

故选;C.

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【点评】本题考查角所在象限的判断,是基础题,比较简单.解题时要认真审题,注意熟练 掌握基础的知识点. 3.下列各组中两个函数是同一函数的是( A.f(x)= 与 g(x)=( )4 ) B.f(x)=x 与 g(x)=

C.f(x)=lnex 与 g(x)=elnx D.f(x)=

与 g(x)=x﹣2

【考点】判断两个函数是否为同一函数. 【专题】应用题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,即可判断它们是同一函数. 【解答】解:对于 A,f(x)= 对于 B,函数 y(x)=x 与 g(x)= 与 g(x)=( )4 定义域不同,所以不是同一函数;

的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数;

对于 C,f(x)=lnex 与 g(x)=elnx 的对应关系不同,所以不是同一函数; 对于 D,函数(x)= 与 g(x)=x﹣2 的定义域不同,所以不是同一函数.

故选:B. 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题,是基础题目. 4.三个数 a=0.67,b=70.6,c=log0.76 的大小关系为( A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a )

【考点】对数值大小的比较. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵0<a=0.67<0,b=70.6>1,c=log0.76<0, ∴c<a<b, 故选:C. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

5.函数 A.[1,+∞)B.

的定义域是:( C. D.

)

【考点】对数函数的定义域;指数函数的定义、解析式、定义域和值域. 【专题】计算题;综合题. 【分析】无理式被开方数大于等于 0,对数的真数大于 0,解答即可. 【解答】解:要使函数有意义: ≥0,

-5-

即: 可得 0<3x﹣2≤1 解得 x∈ 故选 D. 【点评】本题考查对数函数的定义域,考查学生发现问题解决问题的能力,是基础题. 6.下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是

(

)

A.①

,②y=x2,③

,④y=x﹣1 ,④y=x﹣1 ,④y=x﹣1

B.①y=x3,②y=x2,③ C.①y=x2,②y=x3,③ D.① ,②

,③y=x2,④y=x﹣1

【考点】幂函数图象及其与指数的关系. 【专题】综合题. 【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数;①对应的幂指数大于 1,通 过排除法得到选项. 【解答】解:②的图象关于 y 轴对称,②应为偶函数,故排除选项 C,D ①由图象知,在第一象限内,图象下凸,递增的较快,所以幂函数的指数大于 1,故排除 A 故选 B 【点评】本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数. 7.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且 f(x)+g(x)=2x2﹣2x+1,则 f(﹣1)=( A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】分别将 x 赋值为 1 和﹣1,利用已知等式,集合函数得奇偶性,两式相加解得. 【解答】解:令 x=1,得 f(1)+g(1)=1, 令 x=﹣1,得 f(﹣1)+g(﹣1)=5, 又 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(﹣1)=f(1) ,g(﹣1)=﹣g(1) , 两式相加得:f(1)+f(﹣1)+g(1)+g(﹣1)=6, f(1)+f(1)+g(1)﹣g(1)=6,即 2f(1)=6, 所以 f(﹣1)=3; 故选 A. )

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【点评】本题考查了函数奇偶性得运用,利用方程得思想求得,属于基础题. 8.下列函数中值域是(0,+∞)的是( A.y= B.y=x2+x+ C.y= ) D.y=2x+1

【考点】函数的值域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用二次函数、一次函数、反比例函数的单调性即可得出. 【解答】解:A.∵x2+3x+2= B.∵ C.∵ ≥0,∴ ,∴函数的值域为 ,∴函数的值域为(0,+∞) . ,故其值域为[0,+∞) . .

D.∵y=2x+1∈R. 综上可知:只有 C 的函数值域是(0,+∞) . 故选 C. 【点评】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的单调性较强值域,属于基础题. 9.函数 f(x)=ex+4x﹣3 的零点所在的大致区间是( A. (﹣ ,0) )

B. (0, ) C. ( , ) D. ( , )

【考点】函数零点的判定定理. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】确定 f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= ﹣1>0,f( )= <0,

f(1)=e+4﹣3=e+1>0,根据零点存在定理,可得结论. 【解答】解:∵函数 f(x)=ex+4x﹣3 在 R 上是增函数, 求解:f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= =e+4﹣3=e+1>0, ∴根据零点存在定理,可得函数 f(x)=2x+3x﹣4 的零点所在的大致区间是( , ) 故选:C. 【点评】本题考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 10.若偶函数 f(x)在(﹣∞,0)内单调递减,则不等式 f(﹣2)<f(lgx)的解集是( A. (0,100) C. ( B. ( ,100) )∪(100,+∞) ) ﹣1>0,f( )= <0,f(1)

,+∞) D. (0,

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化即可.

-7-

【解答】解:若偶函数 f(x)在(﹣∞,0)内单调递减, 则函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增, 则不等式 f(﹣2)<f(lgx)等价为 f(2)<f(|lgx|) , 即|lgx|>2,即 lgx>2 或 lgx<﹣2, 即 x>100 或 0<x< ,

故选:D 【点评】本题主要考查不等式的求解,根据函数的奇偶性和单调性的关系将不等式进行等价 转化是解决本题的关键. 11.若函数 f(x)=kax﹣a﹣x(a>0 且 a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数又是增函数,则函 数 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上既是奇函数,又是增函数, 则由复合函数的性质,我们可得 k=1,a>1,由此不难判断函数的图象. 【解答】解:∵函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是奇函数 则 f(﹣x)+f(x)=0 即(k﹣1) (ax﹣a﹣x)=0 则 k=1 又∵函数 f(x)=kax﹣a﹣x, (a>0,a≠1)在(﹣∞,+∞)上是增函数 则 a>1 则 g(x)=loga(x+k)=loga(x+1) 函数图象必过原点,且为增函数 故选 C 【点评】若函数在其定义域为为奇函数,则 f(﹣x)+f(x)=0,若函数在其定义域为为偶函 数,则 f(﹣x)﹣f(x)=0,这是函数奇偶性定义的变形使用,另外函数单调性的性质,在公 共单调区间上:增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键.

12.已知函数 A.4 B.3 C.2 D.1

则函数 y=f[f(x)]+1 的零点个数是(

)

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由已知中函数 我们可以求出函数 y=f[f(x)]+1 的解

析式,令 y=0,我们可以分别求出方程 f[f(x)]+1=0 的根,进而得到其零点的个数

-8-

【解答】解:由函数

可得





故函数 y=f[f(x)]+1 共 4 个零点, 故选 A. 【点评】本题考查的知识点是函数的零点,与方程根的关系,其中根据已知中函数 Y=f(x) 的解析式,求出函数 y=f[f(x)]+1 的解析式,是解答本题的关键. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知一个扇形的周长为 6cm,面积为 2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是 4 或者 1. 【考点】扇形面积公式. 【专题】计算题. 【分析】根据题意设出扇形的弧长与半径,通过扇形的周长与面积,即可求出扇形的弧长与 半径,进而根据公式 求出扇形圆心角的弧度数.

【解答】解:设扇形的弧长为:l,半径为 r,所以 2r+l=6, 因为 S 扇形= ,

所以解得:r=1,l=4 或者 r=2,l=2 所以扇形的圆心角的弧度数是: ;

故答案为:4 或者 1. 【点评】本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用,以及考查学生的计算能力,此 题属于基础题型. 14.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x,则函数 f(x) ,x∈R 的解析式为 f(x)= .

【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用.

-9-

【分析】当 x>0 时,﹣x<0,结合已知中当 x≤0 时,f(x)=x2+2x,及 f(x)=﹣f(﹣x)可 得函数的解析式. 【解答】解:当 x>0 时,﹣x<0, ∴f(﹣x)=(﹣x)2+2(﹣x)=x2﹣2x, 又由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣x2+2x, 综上所述,f(x)= ,

故答案为: 【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,熟练掌握函数奇偶性的定义和性质,是解 答的关键.

15.若角 α∈(﹣π,﹣

) ,则



=﹣2tanα.

【考点】同角三角函数基本关系的运用. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、以及三角函数在各个象限中的符号,求得所 给式子的值. 【解答】解:∵角 α∈(﹣π,﹣ =﹣ ﹣(﹣ ) ,则 ﹣ =﹣2tanα, =| |﹣| |

)=﹣

故答案为:﹣2tanα. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用,以及三角函数在各个象限中的符号, 属于基础题. (x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范围是(﹣

16.已知函数 f(x)= 4,4].

【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】令 t(x)=x2﹣ax+3a 由题意可得 t(x)=x2﹣ax+3a 在[2,+∞)上是增函数,它的 对称轴 x= ≤2,且 t(2)=4﹣2a+3a>0,由此求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:令 t(x)=x2﹣ax+3a,由函数 f(x)= 数,可得 t(x)=x2﹣ax+3a 在[2,+∞)上是增函数, 故有对称轴 x= ≤2,且 t(2)=4﹣2a+3a>0. 解得﹣4<a≤4, 故答案为: (﹣4,4]. (x2﹣ax+3a)在[2,+∞)上是减函

- 10 -

【点评】本题主要考查复合函数的单调性,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于 中档题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (1)计算: (2) 已知角 α 顶点在原点, 始边与 x 轴非负半轴重合, 终边在函数 y=﹣3x (x≤0) 的图象上. 求 的值. 【考点】三角函数的化简求值;有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 【专题】计算题;转化思想;分析法;三角函数的求值. 【分析】 (1)根据有理数指数幂的化简求值及对数的运算性质即可计算求值. (2)利用三角函数的定义得 tanα 的值,由三角函数的基本关系式即可化简求值. 【解答】解: (1)原式= (2)由三角函数的定义得:tanα=﹣3,故原式= …. = ….

【点评】本题主要考查了有理数指数幂的化简求值及对数的运算性质,考查了三角函数的定 义,三角函数的基本关系式的应用,属于基础题.

18.已知函数

的定义域为集合 Q,集合 P={x|a+1≤x≤2a+3}.

(1)若 a=3,求(?RP)∩Q; (2)若 P∪Q=Q,求实数 a 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算;并集及其运算. 【专题】计算题;分类讨论;分类法;集合. 【分析】 (1)将 a=3 代入求出 P,令函数解析式有意义,求出 Q,结合集合的交集,补集运算 的定理,可得(?RP)∩Q; (2)若 P∪Q=Q,则 P?Q,分 P=?和 P≠?两种情况,分别求出满足条件的实数 a 的取值范围, 综合讨论结果,可得答案. 【解答】解: (1)由 得:Q=[﹣2,5].

若 a=3,则集合 P={x|a+1≤x≤2a+3}=[4,9]. ∴?RP=(﹣∞,4)∪(9,+∞) , ∴(?RP)∩Q=[﹣2,4) (2)P∪Q=Q?P?Q, 当 P=?时,即 2a+3<a+1,得 a<﹣2,此时有 P=??Q;….

当 P≠?时,由 P?Q 得:



解得﹣2≤a≤1… 综上有实数 a 的取值范围是 a≤1…

- 11 -

【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题. 19.已知函数 f(x)=x2+2mx+3m+4, (1)m 为何值时,f(x)有两个零点且均比﹣1 大; (2)求 f(x)在[0,2]上的最大值 g(m) . 【考点】二次函数的性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)有两个零点且均比﹣1 大,根据方程根与系数的关系,列出不等式,求出 m 的 范围; 2]上的最大值 g (2) 结合二次函数的图象和性质, 对 m 进行分类讨论, 可得 f (x) 在[0, (m) . 2 【解答】解: (1)∵f(x)=x +2mx+3m+4 的图象开口向上,对称轴为 x=﹣m, 若 f(x)有两个零点且均比﹣1 大.



,即

,解得﹣5<m<﹣1;

(2)f(x)=x2+2mx+3m+4 的图象开口向上,对称轴为 x=﹣m, 当﹣m≥1,即 m≤﹣1 时,g(m)=f(0)=3m+4, 当﹣m<1,即 m>﹣1 时,g(m)=f(2)=7m+8, ∴g(m)= 【点评】此题主要考查二次函数的性质及其对称轴的应用,是一道基础题; 20.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车 流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度 为 60 千米/小时,研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x?v(x)可以达到最大,并求出最大值. (精确到 1 辆/小时) . 【考点】函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 【专题】应用题. 【分析】 (Ⅰ)根据题意,函数 v(x)表达式为分段函数的形式,关键在于求函数 v(x)在 20≤x≤200 时的表达式,根据一次函数表达式的形式,用待定系数法可求得; (Ⅱ)先在区间(0,20]上,函数 f(x)为增函数,得最大值为 f=1200,然后在区间[20,200] 上用基本不等式求出函数 f(x)的最大值,用基本不等式取等号的条件求出相应的 x 值,两 个区间内较大的最大值即为函数在区间(0,200]上的最大值. 【解答】解: (Ⅰ) 由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20<x≤200 时,设 v(x)=ax+b

再由已知得

,解得

- 12 -

故函数 v(x)的表达式为



(Ⅱ)依题并由(Ⅰ)可得 当 0≤x<20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200 当 20≤x≤200 时, 当且仅当 x=200﹣x,即 x=100 时,等号成立. 所以,当 x=100 时,f(x)在区间在区间[0,200]上取得最大值为 ,

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 答: (Ⅰ) 函数 v(x)的表达式 (Ⅱ) 当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大值,最大值约为 3333 辆/小时. 【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力, 属于中等题.

21.已知 f(x)=log2 (1)判断 f(x)奇偶性并证明; (2)判断 f(x)单调性并用单调性定义证明; (3)若 ,求实数 x 的取值范围.

【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 【分析】转化(1)求解 (2)运用单调性证明则 = 号即可. (3)根据单调性转化 【解答】解: (1) 求解. ∴定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称 判断符 >0 即可.

∴f(x)为(﹣1,1)上的奇函数

- 13 -

设﹣1<x1<x2<1 则 =

又﹣1<x1<x2<1 ∴(1+x1) (1﹣x2)﹣(1﹣x1) (1+x2)=2(x1﹣x2)<0 即 0<(1+x1) (1﹣x2)<(1﹣x1) (1+x2) ∴

∴ ∴f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(﹣1,1)上单调递增, (3)∵f(x)为(﹣1,1)上的奇函数 ∴ 又 f(x)在(﹣1,1)上单调递增 ∴ ∴x<2 或 x>6,

【点评】本题综合考查了函数的性质,运用求解单调性,奇偶性,解不等式等问题. 22.已知函数 g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= .

(Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)不等式 f(2x)﹣k?2x≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.

【考点】函数与方程的综合运用;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)只需要利用好所给的在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,即可列出方程求的 两个未知数; (Ⅱ)要结合(Ⅰ)的结论将问题具体化,在通过游离参数化为求函数 ?(t)=t2﹣2t+1 最小 值问题即可获得问题的解答; (Ⅲ)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答. 【解答】解: (Ⅰ) (1)g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数 故 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数

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故 ∵b<1 ∴a=1,b=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)即 g(x)=x2﹣2x+1. 方程 f(2x)﹣k?2x≥0 化为 , 令 ,k≤t2﹣2t+1 记 ?(t)=t2﹣2t+1 .

∵x∈[﹣1,1]∴ ∴φ(t)min=0 ∴k≤0 (Ⅲ)方程

化为 |2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0 令|2x﹣1|=t,则方程化为 t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0) ∵方程 有三个不同的实数解,

∴由 t=|2x﹣1|的图象知, t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1 记 ?(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k)





∴k>0.

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【点评】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题.在解答的过 程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想.值得 同学们体会反思.

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