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2015-2016学年高二上学期第四次月考数学试卷A卷(理)

2015-2016学年高二上学期第四次月考数学试卷A卷(理)


2015—2016 学年度上学期第四次月考 高二年级数学试题(理)
考试时间 150 分钟 试题分数 120 分 一、选择题: (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.)
1 ? ? 2 1.集合 P ? ? x | x ? ? 2, x ? Z ? ,集合 Q ? x | x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 P ? C R Q ? x ? ?

?

?





A. ? -3 , 0 ? B. ? -3 , -2 , - 1?

C. ? -3 , -2 , - 1, 0? D. ? -3 , -2 , - 1, 1? )

2. "a ? 0" “是函数 f ( x ) ?| x (2 ? ax) | 在区间 (0,+?) 内单调递增”的(

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

?x ? 2 ? 0 ? 3.已知点 P ? x, y? 在不等式组 ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上运动 ,则 z ? x ? y 的取值 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
范围是( A. ? ?1, 2? ) B. ??2, ?1? C. ? ?2,1? D. ?1, 2? )

4.已知命题 p : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? 0 ,则( A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题
2 2

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题 )

5. 命题“若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 ”的逆否命题是(
2 2 2 2

A.若 a ? 0或b ? 0, 则a ? b ? 0 B.若 a ? b ? 0, 则a ? 0且b ? 0 C.若 a ? b ? 0, 则a ? 0或b ? 0 D.若则 a ? 0且b ? 0, 则a ? b ? 0
2 2 2 2

6.一个四面体的三视图如图所示, 则该四面体的表面积为( ) A. 3 4 B. 3 2 C. 3 D.2 3

7. 曲线 y ? 3ln x ? x ? 2 在点 P0 处的切线方程为 4 x ? y ? 1 ? 0 ,则点 P0 的坐标是(



A. (0,1)

B. (1, ?1)

C. (1,3)

D. (1, 0)

8.阅读如图所示的程序框图,若输入 a ? 则输出的 k 值是( )

9 , 19

开始 输入a k ? 1, S ? 0

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 9. 设函数 f ( x ) ,g ( x) 满足 f ?( x) ? g?( x) , 则当 a ? x ? b 时,有( ) A、 f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b) B、 f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) C、 f ( x) ? g ( x) D、 f ( x) ? g ( x)

S? S?

1 (2k ? 1)(2k ? 1)

k ? k ?1 S ? a?





? ? 10. 已 知 | a |? 2 | b |? 0 , 且 关 于 x 的 函 数 ? ? ? ? 1 1 ? f ( x) ? x3 ? | a | x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则向量 a, b 的夹角 3 2
范围是( A. [0, ) B. (

输出k

结束

?
6

)

?

? ? 2? , ? ] C. ( , ? ] D. ( , ) 6 3 3 3

x2 y 2 (x ? 3) 2 ? y 2 ? 8 相交于 M , N 两点 11.已知双曲线 2 ? ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线与圆 a 4
且 | MN |? 4 , 则此双曲线的离心率为( )

A. 5 B.

3 5 5 5 C. 5 3

D. 5

x2 x3 x4 x 2015 ? ? ??? 12.已知函数 f(x)= 1 ? x ? ,则下列结论正确的是( 2 3 4 2015
A. f(x)在(0,1)上恰有一个零点 C. f(x)在(0,1)上恰有两个零点 B. f(x)在(-1,0)上恰有一个零点 D. f(x)在(-1,0)上恰有两个零点



第Ⅱ卷(共 90 分) (每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 二、填空题:

13. 设 F 1 、 F2 分别是椭圆

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点. 若 P 是该椭圆上的一个动点,则 5 4
.

PF1 ? PF2 的最大值为
??

) 奇函数,则 14. 设 函 数 f ( x)? c o s ( x ?? 3 ( 0)? ? ? ? ) , 若 f ( x)? ?f ( x是


15.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一、 四象限 分别交于 A.B 两点,则

| AF | 的值等于 | BF |

.

16.已知函数 f ? x ? ? x 2 ? e x ?

1 ( x ? 0) 与 g ? x ? ? x 2 ? ln( x ? a ) 图象上存在关于 y 轴对称 2

的点,则 a 的取值范围是 . 三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 10 分) 在等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 中, a1 ? b1 ? 1 , b4 ? 8 , ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 55 。 (1)求 an 和 bn ; (2)设 ?an bn ?的前 n 和为 Tn ,求 Tn 。

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进行选拔测试(满分 150 分) , 若该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ)该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛,为了了解情况, 在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人, 求选取的两人的选拔成绩在频率分布直 方图中处于不同组的概率.

20. (本小题满分 12 分) 在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1, G 为 AD 中点. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有 直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求平面 BCE 与平面 ACD 所成锐二面角的大小.

E

B

A

G

D

C

21. (本小题满分 12 分) 椭圆的左、右焦点分别为 F1 (? 3,0) 和 F2 ( 3,0) ,且椭圆过点 (1,? (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 ( ?

3 ). 2

?MAN =

?
2

6 ,0) 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M , N 两点, A 为椭圆的左顶点,证明 5


22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x
2

(Ⅰ)当 a ? ?4 时,求函数 f ( x) 在 ?1, e? 上的最大值及相应的 x 值; (Ⅱ)当 x ? ?1, e? 时,讨论方程 f ?x ? ? 0 根的个数. (Ⅲ) 若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, e? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 范围. 河北冀州中学 2015—2016 学年度上学期第四次月考

( a 为实常数) .

1 1 ,求实数 a 的取值 ? x1 x2

高二年级数学答案(理) 一、选择题: A 卷: DCACA B 卷: BCADC 二、填空题:4

DCCBC BB ABCDD BC

? 6

3

(??, e )

三、解答题: 17.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,由题意得:

10 ? 9 d ? 55, b4 ? q 3 ? 8 ,解得: d ? 1, q ? 2 2 ? an ? n, bn ? 2n?1 -----------------------------------------------------5 分 S10 ? 10 ?
(2)由错位相减得: Tn ? ?n ? 1?2 n ? 1----------------------------------10 分 18.解: (1)由正弦定理得: sin A sin C ? sin A cos C ,因为 0 ? A ? ? 故 sin A ? 0 ; 从而 sin C ? cos C又cosC ? 0 ,所以 tan C ? 1 ,则 C ? (2)由(1)知 B ?

?
4

----------4 分

3? ? A ,于是 4

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6
-8 分

?

?

---------------------------------

?0 ? A ? 2 sin( A ?

?

? 3? ? ? 11? ? ? ,? ? A ? ? ,从而 A ? ? 即 A ? 时, 3 4 6 6 12 6 2
) 取最大值 2

6

综上所求, 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? ------------12 分 12

19.解析: (Ⅰ)设平均成绩的估计值为 X ,则: X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.013 ? 120 ? 0.002 ? 140 ? 0.001) ? 20 ? 80 .————————————————————————————6 分 (Ⅱ)该校学生的选拔测试分数在 [110,130) 有 4 人,分别记为 A,B,C,D,分数在 [130,150) 有 2 人,分别记为 a,b,在则 6 人中随机选取 2 人,总的事件有(A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C,b) , (D,a) , (D,b) , (a,b)共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事件有 8 个. 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于 8 不同组的概率为 P ? .————12 分 15 z 20.解: 以 D 点为原点建立如图所示的空间直角坐标系, E 使得 x 轴和 z 轴的正半轴分别经过点 A 和点 E,则各点 A (2, 0, 0) , E (0, 0, 2) , B (2, 0, 1) , 的坐标为 D (0, 0, 0) ,

C (1, 3, 0) , (1)点 F 应是线段 CE 的中点,下面证明:

B

F

x A

G

D

C

y

设 F 是线段 CE 的中点,则点 F 的坐标 ??? ? 1 3 3 3 F( , , 1) ,∴ BF ? ( ? , , 0) , 2 2 2 2 显然 BF 与平面 xOy 平行, 此即证得 BF∥平面 ACD; ???????6 分 (2)设平面 BCE 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 n ? CB ,且 n ? CE , 由 CB ? (1, ? 3,1) , CE ? (?1, ? 3, 2) , ∴?

??? ?

?

?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

? ?x ? 3y ? z ? 0 ? ?? x ? 3 y ? 2 z ? 0

,不妨设 y ? 3 ,则 ?

? ?x ? 1 ,即 n ? (1, 3,2) , ?z ? 2
??????6 分

? ? n ? (0,0,1) 2 ∴所求角 ? 满足 cos ? ? ,∴ ? ? . ? ? 4 2 |n|
x2 y2 21.解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由题可知: a b

?a 2 ? b 2 ? 3 ? ?1 3 ? 2 ? 2 ?1 4b ?a

,





2 ? ?a ? 4 ? 2 ? ?b ? 1

,















x2 ? y 2 ? 1 --------------------------4 分 4
(2)设直线 MN 的方程为 x ? ky ?

6 ,联立方程组可得 5

6 ? x ? ky ? ? ? 5 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4

,







:

(k 2 ? 4) y 2 ?

12 64 ky ? ?0 5 25

-------------------------------6 分 设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 y 2 ? ? 又 A(?2,0) ,则

64 12k , y1 ? y 2 ? , 2 25(k ? 4) 5(k 2 ? 4)

4 16 AM ? AN ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x 2 ? 2, y 2 ) ? (k 2 ? 1) y1 y 2 ? k ( y1 ? y 2 ) ? ? 0, 5 25

所以 AM ? AN , ?MAN =

?
2

。?????????12 分

2x 2 ? 4 ( x ? 0) , 当 x ? [1, 2 ) 时 , f ?( x) ? 0 . 当 x ? 2 , e 22. 解 :(1) f ?( x) ? x 时 , f ?( x) ? 0 , 又 f (e) ? f (1) ? ?4 ? e 2 ? 1 ? 0 ,故 f ( x) max ? f (e) ? e 2 ? 4 , 当 x ? e 时 ,
取等号 ---------4 分 (2)易知 x ? 1 ,故 x ? ?1, e? ,方程 f ?x ? ? 0 根的个数等价于 x ? ?1, e? 时,

?

?

1 x x x ? x(2 ln x ? 1) 方程 ? a ? 根的个数. 设 g ?x ? = , g ?( x) ? 2 ln x ln x ln x ln 2 x 当 x ? 1, e 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递减,当 x ? ( e , e? 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 递
2
2

2 x ln x ? x 2

?

?

增.又 g (e) ? e 2 , g ( e ) ? 2e ,作出 y ? g ( x) 与直线 y ? ?a 的图像,由图像知:
2 2 当 2e ? ?a ? e 时,即 ? e ? a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 2 个相异的根;

当 a ? ?e

2

a ? ?2e f ?x ? ? 0 当 时 , 方 程 有 0 -----------------------------------------------------8 分
(3) 当 a ? 0 时 , f ( x) 在 x ?[1, e] 时 是 增 函 数 , 又 函 数 y ?

或 a ? ?2e 时,方程 f ?x ? ? 0 有 1 个根;





;

1 是减函数,不妨设 x

1 1 1 1 等价于 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? x1 x2 x1 x2 1 1 1 即 f ( x2 ) ? ? f ( x1 ) ? ,故原题等价于函数 h? x ? ? f ( x) ? 在 x ?[1, e] 时是减函 x x2 x1
1 ? x1 ? x2 ? e ,则 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ?
数,

? h?( x) ?
?y? 1 ? 2x 2 x

a 1 1 ? 2 x ? 2 ? 0 恒成立,即 a ? ? 2 x 2 在 x ?[1, e] 时恒成立. x x x


x ?[1, e]











?a ?

1 ? 2e 2 e

-------------------------------------12 分


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