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第3节 数学归纳法及其应用.pptx_图文

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数学 第3节 01 数学归纳法及其应用 诊断自测 02 考点一 利用数学归纳 法证明等式 例1 训 练1 03 考点二 利用数学归纳法 证明不等式(典 例2 训 例迁移) 练2 04 考点三 归纳、猜想、证 例3 训 明 练3 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证 n=1 时结论成立.( (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( ) ) ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n=k 到 n=k+1 时,项数 都增加了一项.( ) 解析 对于(1),有的证明问题第一步并不是验证 n=1 时结论成立,如证明凸 n 边形的内角和为(n-2)· 180° ,第一步要验证 n=3 时结论成立,所以(1)不正确; 对于(2),有些命题也可以直接证明;对于(3),数学归纳法必须用归纳假设;对 于(4),由 n=k 到 n=k+1,有可能增加不止一项. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 考点一 利用数学归纳法证明等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n + + +…+ = (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) 4(n+1) 证明 (1)当 n=1 时, 1 1 左边= =, 2×1×(2×1+2) 8 1 1 右边= =, 4(1+1) 8 左边=右边,所以等式成立. (2)假设 n=k(k∈N*)时等式成立, 1 1 1 1 即有 + + +…+ k(k+2)+1 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) = 4(k+1)(k+2) k = , 4(k+1) 则当 n=k+1 时, 1 1 1 1 + + +…+ 2×4 4×6 6×8 2k(2k+2) 1 + 2(k+1)[2(k+1)+2] k 1 = + 4(k+1) 4(k+1)(k+2) 考点一 利用数学归纳法证明等式 [例 1] 用数学归纳法证明: 1 1 1 1 n + + +…+ = (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n(2n+2) 4(n+1) (k+1)2 k+1 = = 4(k+1)(k+2) 4(k+2) k+1 = . 4(k+1+1) 所以当 n=k+1 时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对于一切 n∈N 等式都成立. * 考点一 利用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明等式应注意的两个问题 (1)要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,以及初始值 n0 的值. (2)由 n=k 到 n=k+1 时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的 式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 考点一 利用数学归纳法证明等式 1 1 1 [训练 1] 设 f(n)=1+ + +…+n(n∈N*).求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n) 2 3 -1](n≥2,n∈N*). 证明 (1)当 n=2 时,左边=f(1)=1, ? 1 ?? ? 右边=2?1+2-1?=1, ? ? 左边=右边,等式成立. =k[f(k)-1]+f(k) =(k+1)f(k)-k ? 1 ? ? ? f ( k + 1 )- =(k+1)· ? ?-k k + 1 ? ? (2)假设 n=k(k≥2,k∈N*)时,结论成立, =(k+1)f(k+1)-(k+1) 即 f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1], =(k+1)[f(k+1)-1], ∴当 n=k+1 时结论仍然成立. 那么,当 n=k+1 时, 由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+…+f(n-1) f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k) =n[f(n)-1](n≥2,n∈N*). 考点二 利用数学归纳法证明不等式(典例迁移) 2 * [例 2] (经典母题)已知数列{an},an≥0,a1=0,a2 n+1+an+1-1=an,求证:当 n∈N 时,an<an+1. 证明 (1)当 n=1 时, =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的正根, 所以 ak+2+ak+1+1>0, 5-1 所以 a2= ,即 a1<a2 成立. 2 所以 ak+1<ak+2, 即当 n=k+1 时, (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时, an<an+1 也成立. 0≤ak<ak+1, 2 2 所以 a2 k+1-ak=(ak+2+ak+2-1)- 又 ak+1>ak≥0, 综上,可知 an<an+1 对任何 n∈N*都 成立. (a2 k+1+ak+1-1) 考点二 利用数学归纳法证明不等式(典例迁移) [例 2] 【迁移探究 1】 在例 2 中把题设条件中的“an≥0”改为“当 n≥2 时, an<-1”,其余条件不变,求证:当 n∈N*时,an+1<an. 证明 (1)当 n=1 时, =(ak+2-ak+1)(ak+2+ak+1+1)>0, 因为 a2 是方程 a2 2+a2-1=0 的根, 又∵a2<-1, -1- 5 所以 a2= ,即 a2<a1 成立. 2 (2)假设当 n=k(k∈N*,k≥1)时, ak+1<ak<-1, 又 ak+2<-1,ak+1<-1, 所以 ak+2+ak+1+1<0, 所以 ak+2-ak+1<0,即 ak+2<ak+1, 即当 n=k+1 时,an<an+1 也成立. 综上可知 an<an+1 对任何 n∈N*都 成立 所以 2 2 a2 k+1 - a k = (a k+2 + ak + 2 - 1) - (a2 k+1+ak+1-1) 考点二 利用数学归纳法证明不等式(典例迁移) [例 2]

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