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成都六校高二

成都六校高二


成都市六校协作高 2012 级第四学期期中考试 数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考 试时间 120 分钟。
注意事项: 1.请将第Ⅰ卷选择题答案涂在机读卡上对应栏内。 2.请将第Ⅱ卷非选择题答案写在答题卡相应的位置内。 3.交卷时只交机读卡和答题卡。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
7 7 6 1、若 C x ,则 x 的值分别是 ? C11 ? C11

( D. x ? 10 ( D.



A. x ? 13 B. x ? 12 C. x ? 11 2、掷一个骰子向上的点数为 3 的倍数的概率是 A.



1 4

B.

1 2

C.

3 4

1 3

3、如果三棱锥 S-ABC 的底面是不等边三角形,侧棱与底面所成的线面角都相等,且顶点在 底面上的射影 O 在△ABC 内,那么 O 是△ABC 的 ( ) A. 垂心 B. 重心 C. 外心 D. 内心 4、四名同学报名参加乒乓球、篮球、足球运动队,每人限报一项,不同的报名方法的种数是 ( ) A. 64 B. 81 C.24 D. 12 5、下列命题中,a、b、c 表示不同的直线, ? , ? 表示不同的平面,其真命题有( ①若 a ? b, b ? ? ,则 a // ? ②若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b )

③a 是 ? 的斜线,b 是 a 在 ? 上的射影, c ? ? , a ? c ,则 b ? c ④若 a ? ? , b ? ? , c ? a, c ? b, 则 c ? ? A.②④ B.②③ C.①② D.③④

6、 若 ( x ? 1) 5 ? a5 x 5 ? a4 x 4 ? a3 x 3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 , 则 (a5 ? a3 ? a1 ) 2 ? (a4 ? a2 ? a0 ) 2 的值等于 ( ) A.0 B.-32 C.32 D.-1 7、以 A、B、C、D 为顶点的正四面体的棱长是 1,点 P 是棱 AB 中点,点 Q 是 CD 中点,则 P, Q 之间的距离是 ( ) A.

1 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

3 2

8、某校高二年级共有六个班级,现从外地转入 4 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班 安排 2 名,则不同的安排方案种数有 ( )

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2 2 2 2 A. C4 C2 种 B. A4 A2 种

2 2 2 C. C4 C2 A6 种

D.

2 C4 A62 种 2 A2

9、相交成 60°的两条直线与一个平面 α 所成的角都是 45°,那么这两条直线在平面 α 内 的射影所成的角是 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 1 → → → 10、如图,空间四边形 OABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,点 M 在 OA 上,且 OM= MA,N 为 BC 2 → 中点,则MN 等于 ( ) 1 1 1 1 2 1 A.- a+ b+ c B. a- b+ c 3 2 2 2 3 2 1 1 2 2 2 1 C. a+ b- c D. a+ b- c 2 2 3 3 3 2 11 、 设 椭 圆

x2 y2 ? ?1 的 焦 点 在 y 轴 上 , m 2 n2

m ? ?1,2,3,4, 5?, n ? ?1,2,3,4,5,6,7? ,
这样的椭圆共有 A.20 个 B.21 个 C.30 个 ( D.35 个 )

12、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,在正方体表面上与点 A 距离是 条曲线,这条曲线的长度是 ( ) P A6
1

2 3 的点形成一 3
C P B
1
1 1

3 A. ? 3
C. 3?

3 B. ? 2 5 3 D. ? 6

D
1

P
5

P
2

D

P4 P B
3

C

A

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
注意事项: 请用黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13、二项式 (2 x ?

1 x

) 6 展开式中含 x 2 项的系数是



14、将一个各个面上涂有颜色的正方体锯成 27 个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任 取一个,其中恰有 3 面涂有颜色的概率是 。 15、在四面体 A ? BCD 中,共顶点 A 的三条棱两两互相垂直,且 AB ? AC ? 1, AD ?
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2 ,,

若四面体的四个顶点在一个球面上,则 A,B 的球面距离为_____ _____。 16、下面是关于三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥. ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥. ④侧棱与底面所成的角相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是 (写出所有真命题的编号) P 三:解答题(本大题共 6 小题,共 76 分,写出必要的文字说明和解答 过程) 17、 (12 分)如图,已知矩形 ABCD 所在平面外一点 P,PA⊥平面 ABCD, E、F 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; B 18、 (12 分) 学校有个社团小组由高一, 高二, 高三的共 10 名学生组成, 若从中任选 1 人,选出的是高一学生的概率是 二的学生的概率是 A E C F D

2 ,若从中任选 2 人,至少有 1 个人是高 5

7 ,求: 9
D1 A1 C1 B1

(1)从中任选 2 人,这 2 人都是高一学生的概率 (2)这个社团中高二学生的人数 19、 (12 分)如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 CC1、AA1 的中点.AA1=2. (1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (2)求点 F 到平面 ABC1D1 的距离;

E

F

D C A B

20、已知圆的方程 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r ? 0) ,从 0,3,4,5,6,7,8,9,10 这九个 数中选出 3 个不同的数,分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径。问 (1)可以作多少个不同的圆? (2)经过原点的圆有多少个? (3)圆心在直线上 x ? y ? 10 ? 0 的圆有多少个?

21、 (12 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE//AB,△ACD 是正三角形,DE =2AB=2,且 F 是 CD 的中点。 (1)求证:平面 ABF⊥平面 CDE; (2)设 AC ? 2m ,当 m 为何值时?使得平面 BCE 与平面 ACD 所成的 二面角的大小为 45 ? 。

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22、 (14 分)已知 S n

n 1 2 3 4 n ? a1Cn ? a2Cn ? a3Cn ? a4Cn ? ?? anCn , bn ? n ? 2

(1)若 ?an ? 是等差数列,且首项是 ( x ? 各项系数和

2 6 1 ) 展开式的常数项的 ,公差为二项式展开式的 x 60

①求 S 2 , S3 , S 4 , ②找出 S n 与 bn 的关系,并说明理由。 (2)若 a n ?

bn ,试判断 S n 与bn 的大小关系,不需证明。 2n

成都市六校协作高 2012 级第四学期期中考试 文科数学参考答案
一、选择题答题卡 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 C 8 D 9 D 10 A 11 B 12 D

二、填空题 13. ? 192 三、解答题 17 解:(1)取 PD 的中点 M ,连结 FM , AM ,则 1 1 FM CD ,又 AE CD ,? AE FM 2 2 四边形 EFMA 为平行四边形,则 EF ∥ AM 又 P
M

14.

8 27

15.

? 3

16.①④

EF ? 面PAD,AM ? 面PAD

A E B

F D

? EF∥平面 PAD
(2)
PA ? 面ABCD

????????6 分

C

? PA ? AD

又由矩形 ABCD 知 CD ? AD
? AM ? CD

? 面PAD ? CD

由(1)问证明知 EF ∥ AM ? CD ? EF ??????12 分 (向量法可参考给分)

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18、解:由题意知高一学生的人数为 10 ?

2 ? 4人 5 (1) 记“任选 2 人都是高一学生为事件 A”

?????? 2 分

? P( A) ?

2 C4 2 ? 2 C10 15

?????? 6 分

(2) 设高二学生的人数为 x,记 “任选 2 人,至少有一人为高二学生” 为事件 B, 则
2 1 Cx ? C1 7 x C10 ? x P( B ) ? ? 2 9 C10

?????? 8 分

x( x ? 1) ? x(10 ? x) 7 ? 2 ? 45 9
? x ? 5或x ? 14(舍去)
?高二学生的人数为 5人

??????10 分 ?????? 11 分 ??????12 分

19、解:以D为原点建立空间直角坐标系则 D(0,0,0) ,A(2,0,0)B(2,2,0) ,C(0,2,0) E(0,2,1) ,F(2,0,1) , C1 (0,2,2), D1 (0,0,2) ??????2分 (1)? AE ? (?2,2,1), BF ? (0,?2,1) ????????????3分 设AE与BF所成的角为

? , 则 cos? ? cos ? AE, BF ? ?

AE ? BF AE . BF

?

3 3. 5

?

5 5

?? ? arccos

5 ????????????6分 5

(2) AB ? (0,2,0), AD1 ? (?2,0, ,2), AF ? (0,0,1) ????????8分

设面ABC1D1的法向量为 n ? ( x, y, z)

? ? AB ? n ? 0 ?2 y ? 0 ?? 令x ? 1得n ? (1,0,1) ?????? 即? ? ? 2 x ? 2 z ? 0 ? AD ? n ? 0 ? ? 1
10分

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? F到面ABC1D1的距离d ?

AF ? n n

?

2 ????????12分 2

1 20、解: (1)可分两步完成:第一步,先选 r 有 A8 中选法,第二步再选 a,b 有 A82 1 所以由分步计数原理可得有 A8 . A82 =448 个不同的圆

?????? 4

分 (2)圆经过原点满足 a 2 ? b 2 ? r 2 ,?满足题意的 a, b, r共有3, 4, 5与6, 8, 10两组 2 所以符合题意的圆有 2 A2 ? 4 ??????8 分 (3) 圆心在直线 x ? y ? 10 ? 0 上,所以圆心 ( a, b) 有三组:0,10;3,7;4;6。 2 1 2 1 所 以 满 足 题 意 的 圆 共 有 A2 ?????? .A7 ? 2 A2 A6 ? 38 个 12 分 21 解: (I)∵△ACD 为正三角形,∴AF⊥CD。 ∵AB⊥平面 ACD,DE//AB, ∴DE⊥平面 ACD,又 AF ? 平面 ACD,??????2 分 ∴DE⊥AF。又 AF⊥CD,CD∩DE=D, ∴AF⊥平面 CDE。 ????4 分 又∵AF ? 平面 ABF, ∴平面 ABF⊥平面 CDE。 ????6 分 (II)由(II) ,以 F 为坐标原点,FA,FD,FP 所在的直线分别为 x,y,z 轴(如 图) ,建立空间直角坐标系 F—xyz.已知 AC=2 m(m ? 0) , 则 C(0, ? m ,0) , B(? 3m,0,1), E, (0, m,2). ??????8 分

设n ? ( x, y, z )为平面BCE的法向量, 则CB ? ( ? 3m, m,1), CE ? (0,2m,2)
???? ?? 3m x ? m y ? z ? 0, 1 则n ? CB ? 0, n ? CE ? 0,即? 令z ? 1, 则n ? (0,? ,1). m ?2m y ? 2 z ? 0. ??9 分 显然, p ? (0,0,1) 为平面 ACD 的法向量。 ????10 分 设 平 面 BCE 与 平 面 ACD 所 成 的 二 面 角 为
45?, 则 cos 45? ? | p?n | | p |?| n| ? 2 . 2

0 ? 0 ? (?

1 ) ? 1?1 2 m ? , 解得:m ? 1 2 1 1? ?1 m2

所以,当 m ? 1 时,平面 BCE 与平面 ACD 所成的二面角为 45°????12 分
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2 r 22、解: (1)设 ( x ? ) 6 的常数项为Tr ?1 ? C6 x x
?令

6? r 2

r (?2 x ?1 ) r ? C6 (?2) r

6 ?3 r 2

6 - 3r ? 0得r ? 2,? T3 ? 60,? a1 ? 1 ??????????? 2 分 2 2 又公差 d= ( 1 ? ) 6 ? 1,? a n ? n ???????????.3 分 1

① S 2 ? 4, S3 ? 12, S 4 ? 32

??????????? 由此可知 S n ?
bn 2

5分

? b2 ? 8, b3 ? 24, b4 ? 64
下面给出证明

??????????6 分

1 2 3 n?1 n S n ? Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? (n ? 1)Cn ? nCn
n n?1 1 Sn ? nCn ? (n ?1)Cn ? ??? Cn

① ②

①+ ②得
n n ?1 n?2 1 0 1 n ?1 n 0 2S n ? nCn ? nCn ? nCn ? ? ? nCn ? nCn (C n ? Cn , Cn ? Cn ) n n ?1 n?2 0 2S n ? n(C n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? n2 n

?????9 分

? Sn ?

b n2 n ? n2 n ?1 ? n 2 2

1 2 2 3 3 4 n?1 n (2)由题意知 Sn ? Cn ? 2Cn ? 2 Cn ? 2 Cn ? ?? 2 Cn
0 1 2 n ? 2S n ? C n ? 2C n ? 2 2 Cn ? ?? ? 2 n C n ?1

? (1 ? 2) n ? 1 ? 3 n ? 1 ? Sn ? 3n ? 1 2
??????14 分

??????12 分

? n ? 6时,S n ? bn 当n ? 7时,S n ? bn

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