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河北省磁县滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题有答案

河北省磁县滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题有答案

邯郸市滏滨中学 2017-2018 学年高二年级第二学期期末考试 理科数学
一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. 已知集合 A. 2. 设复数 z 满足 A. , B. ,则 B. C. ,则实数 a 的值为 D. 2 ,则 C. D.

3. 已知下表所示数据的回归直线方程为

x y

2

3

4 11

5

6 21 B. 18 C. 20 D. 22

3 7

a

A. 16 4. 方程 A. 5. 设等比数列 A. 4

表示双曲线的一个充分不必要条件是 B. 的前 n 项和为 ,且满足 B. 5 C. ,则 C. 8 D. 9 D.

6. 如图所示,一个几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个直径为 2 的圆,则这个

几何体的全面积是 A. 7. 在如图所示的计算 入 A. B. C. D. B. C. 的值的程序框图中, 判断框内应填 D.

8. 抛物线

上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是

1

A. 9. 函数

B. 的部分图象大致为

C.

D.

A.

B.

C.

D.

10. 如图,在三棱锥 , 大小为 ,

中,侧面

底面 BCD,



,直线 AC 与底面 BCD 所成角的

A. 11. 经过椭圆 等于 A. 12. 已知函数 ; 在区间

B. 的一个焦点作倾斜角为

C.

D.

的直线 l, 交椭圆于 M, N 两点, 设 O 为坐标原点, 则

B. ,给出下列四个说法: 函数 的周期为 ;

C.

D.

上单调递增;

的图象关于点

中心对称

其中正确说法的序号是 A. B. C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)
2

13. 已知向量 14. 15. 设 ,函数 f

,若



垂直,则 m 的值为______ .

的展开式中常数项为______ . 是偶函数,若曲线 的一条切线的斜率是 ,则切点的横坐标为

______ . 16. 若直线 l: 的弦长为 4,则 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B,被圆 为坐标原点 的最小值为______. 截得

三、解答题(本大题共 7 小题,共 84.0 分) 17. 的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 求 c 的值; Ⅱ求 的面积. , , .

18. 如图,斜三棱柱 腰直角三角形, 求证:直线 若直线 直线

中,侧面 , ;

为菱形,底面

是等

C.

与底面 ABC 成的角为

,求二面角

的余弦值.

19. 在某项娱乐活动的海选过程中评分人员需对同批次的选手进行考核并评分,并将其得分作为该选手的成 绩,成绩大于等于 60 分的选手定为合格选手,直接参加第二轮比赛,不超过 40 分的选手将直接被淘汰, 成绩在 内的选手可以参加复活赛,如果通过,也可以参加第二轮比赛.

3

Ⅰ 已知成绩合格的 200 名参赛选手成绩的频率分布直方图如图, 求 a 的值及估计这 200 名参赛选手的成 绩平均数;

Ⅱ 根据已有的经验,参加复活赛的选手能够进入第二轮比赛的概率为 ,假设每名选手能否通过复活赛 相互独立,现有 3 名选手进入复活赛,记这 3 名选手在复活赛中通过的人数为随机变量 X,求 X 的分布 列和数学期望.

20. 如图,已知椭圆 C: Ⅰ 求椭圆 C 的方程;

的离心率是 ,一个顶点是



Ⅱ 设 P,Q 是椭圆 C 上异于点 B 的任意两点,且

试问:直线 PQ 是否恒过一定点?若是,求出该

定点的坐标;若不是,说明理由.

21. 已知函数 Ⅰ当 Ⅱ若

. 时,求函数 在 的单调区间和极值; 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围.

4

22. 已知直线 l 的参数方程为

为参数 ,曲线 C 的极坐标方程为 ,

,直线 l 与曲线

C 交于 A,B 两点,点

求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; 求 的值.

23. 已知函数 当 时,解不等式

. ; ,求实数 a 的取值范围.

若存在 满足

5

答案和解析 【答案】 1. D 9. D 2. C 10. A 3. B 11. C 4. A 12. B 5. D 6. C 7. D 8. B

13.

14. 15 15. 16. 17. 本题满分为 12 分 解: , , , 在 可得 解得: Ⅱ在 故 分 中,由余弦定理 分 ,可得 , 中,由正弦定理 ,可得: , ,即: , ,

18. 侧面

证明:连接



为菱形, ,





相互垂直, 平面 ,又 , , , , 直线 平面





平面 平面 解:由

直线

; ,由 作 AB 的垂线,垂足为 D,则 平面 ABC,

知,平面

,得 D 为 AB 的中点, 过A作
6

的平行线,交

于 E 点,则

平面 ABC,

建立如图所示的空间直角坐标系,设 则 则 为平面 0, , 2, , , 的一个法向量,





设平面

的法向量



,取

,得





故二面角

的余弦值为 .

19. 解: Ⅰ 由题意: 估计这 200 名选手的成绩平均数为 Ⅱ 由题意知, X B 3 , 1 3

, . ,X 可能取值为 0,1,2,3,



所以 X 的分布列为



X 的数学期望为



20. 本小题满分 14 分 Ⅰ 解:设椭圆 C 的半焦距为 依题意,得 且 解得 分 分 分 , 分 , 分

所以,椭圆 C 的方程是

Ⅱ 证法一:易知,直线 PQ 的斜率存在,设其方程为 将直线 PQ 的方程代入
7



消去 y,整理得 设 则 因为 所以 因为 所以 将 将 解得 代入 代入 ,整理得 ,整理得 ,或 舍去 . 分 分 , , , , , 分



,且直线 BP,BQ 的斜率均存在, ,整理得 , 分



所以,直线 PQ 恒过定点

证法二:直线 BP,BQ 的斜率均存在,设直线 BP 的方程为 将直线 BP 的方程代入 解得 ,或 分 ,消去 y,得

分 分



,所以





所以





替换点 P 坐标中的 k,可得



从而,直线 PQ 的方程是



依题意,若直线 PQ 过定点,则定点必定在 y 轴上 在上述方程中,令 ,解得 分 , 函数 . 和 的值的变化情况如下表: .



所以,直线 PQ 恒过定点 21. 解: Ⅰ 当 时, 函数

的定义域为



当 x 变化时,
8

x

1 0
递减 极小值 递增 、单调递增区间是 . 在 上恒成立, 、极小值是 .

由上表可知,函数 Ⅱ由 若函数 即不等式 也即 令 在 ,则 为

的单调递减区间是 ,得 上的单调增函数,则 在 上恒成立.

上恒成立. .



时, 在 . 的取值范围为 .

, 上为减函数, .

22. 【解答】 解: 直线 l 的参数方程为 为参数 ,消去参数,可得直线 l 的普通方程 ,即 ,曲线 C 的直角坐标方程为 , ,

曲线 C 的极坐标方程为

直线的参数方程改写为



代入









. 23. 解: 当 当 当 当 时, , ,解得 ,即 ; ,即 ,即 . ;

时,不等式等价于 时,不等式等价于 时,不等式等价于 或

,解得 ,解得 . ,

综上所述,原不等式的解集为 由
9

,即

得 又

, , ,即 ,

解得



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