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2019-2020年高三数学 第10课时 第二章 函数 函数的值域专题复习教案

2019-2020年高三数学 第10课时 第二章 函数 函数的值域专题复习教案

2019-2020 年高三数学 第 10 课时 第二章 函数 函数的值域专题复习

教案

一.课题:函数的值域
二.教学目标:理解函数值域的意义;掌握常见题型求值域的方法,了解函数值域的一些应 用.
三.教学重点:求函数的值域. 四.教学过程: (一) 主要知识: 1.函数的值域的定义;2.确定函数的值域的原则;3.求函数的值域的方法. (二)主要方法(范例分析以后由学生归纳): 求函数的值域的方法常用的有:直接法,配方法,判别式法,基本不等式法,逆求法(反函 数法),换元法,图像法,利用函数的单调性、奇偶性求函数的 值域等. (三)例题 分析: 例 1.求下列函数的值域:

(1) y ? 3x2 ? x ? 2 ;

(2 ) y ? ?x2 ? 6x ? 5 ; (3) y ? 3x ?1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1? x ; (5) y ? x ? 1? x2 ; ( 6) y ?| x ?1| ? | x ? 4 | ;

(7)

y

?

2x2 ? x ? 2 x2 ? x ?1



(8) y ? 2x2 ? x ?1 (x ? 1) ; (9) y ? 1? sin x

2x ?1

2

2 ? cos x

解:(1)(一)公式法(略)

(二)(配方法) y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1)2 ? 23 ? 23 , 6 12 12

∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为[ 23 , ??) . 12
改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ?[1,3] 的值域.

解:(利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ?[1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 . ∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ?[1,3] 的值域为[4, 26] .

(2)求复合函数的值域:设 ? ? ?x2 ? 6x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 y ? ? .

又∵ ? ? ?x2 ? 6x ? 5 ? ?(x ? 3)2 ? 4 ? 4 ,∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ? ?[0, 2],

∴ y ? ?x2 ? 6x ? 5 的值域为[0, 2] .

(3)(法一)反函数法: y ? 3x ?1 的反函数为 y ? 2x ?1 ,其定义域为{x ? R | x ? 3},

x?2

x?3

∴原函数 y ? 3x ?1 的值域为{y ? R | y ? 3} . x?2

(法二)分离变量法: y ? 3x ?1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ,

x?2

x?2

x?2

∵ 7 ? 0 ,∴ 3 ? 7 ? 3 ,

x?2

x?2

∴函数 y ? 3x ?1 的值域为{y ? R | y ? 3} . x?2

(4)换元法(代数换元法):设 t ? 1? x ? 0 ,则 x ? 1? t2 ,

∴原函 数可化为 y ? 1? t2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,

∴原函数值域为 (??,5] .

说 明 : 总 结 y ? ax ? b ? cx ? d 型 值 域 , 变 形 : y ? ax2 ? b ? cx2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d

(5)三角换元法:∵1? x2 ? 0 ? ?1 ? x ? 1,∴设 x ? cos? ,? ?[0,? ] ,

则 y ? cos? ? sin? ? 2 sin(? ? ? ) 4

∵? ?[0,? ] ,∴? ? ? ?[? , 5? ] ,∴ sin(? ? ? ) ?[? 2 ,1] ,

4 44

4

2

∴ 2 sin(? ? ? ) ?[?1, 2] , 4

∴原函数的值域为[?1, 2] .

??2x ? 3 (x ? ?4)

(6)数形结合法: y ?| x ?1| ? | x ? 4 |? ??5

(?4 ? x ? 1) ,∴ y ? 5 ,

??2x ? 3 (x ? 1)

∴函数值域为[5, ??) .

(7)判别式法:∵ x2 ? x ?1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R .



y

?

2x2 ? x ? 2 x2 ? x ?1

得:

(

y

?

2) x 2

?

(

y

? 1) x

?

y

?

2

?

0



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R

②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2)x2 ? ( y ?1)x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,

∴ ? ( y ?1)2 ? 4? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 ,

∴原函数的值域为[1,5] .

1

(8) y ? 2x2 ? x ?1 ? x(2x ?1) ?1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? 2 ? 1 ,

2x ?1

2x ?1

2x ?1

2 x?1 2

2

1

1

∵ x ? 1 ,∴ x ? 1 ? 0 ,∴ x ? 1 ? 2 ? 2 (x ? 1) 2

2

2

2 x?1

2 (x ? 1)

2

2

1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 ? 2 时,
2 x?1 2

即 x ? 1? 2 时等号成立.∴ y ? 2 ? 1 ,∴原函数的值域为[ 2 ? 1 , ??) .

2

2

2

(9)(法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1? 2 y ,

∴ 1? y2 sin(x ??) ? 1? 2 y (其中 cos? ? 1 ,sin? ? y ),

1? y2

1? y2

∴ sin(x ??) ? 1? 2 y ?[?1,1],∴|1? 2 y |? 1? y2 ,∴ 3y2 ? 4 y ? 0 ,∴ 0 ? y ? 4 ,

1? y2

3

∴原函数的值域为[0, 4] . 3

(法二)数形结合法:可看作求点 (2,1) 与圆 x2 ? y2 ? 1上的点的连线的斜率的范围,解略.

例 2.若关于 x 的方程 (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 ? a 有实数根,求实数 a 的取值范围.

解:原方程可化为 a ? (2 ? 2?|x?3| )2 ? 3 ,

令 t ? 2?|x?3| ,则 0 ? t ? 1 , a ? f (t) ? (t ? 2)2 ? 3 ,又∵ a ? f (t) 在区间 (0,1] 上是减函数,

∴ f (1) ? f (t) ? f (0) ,即 ?2 ? f (t) ? 1, 故实数 a 的取值范围为: ?2 ? a ? 1.

例 3.(《高考 A 计划》考点 9,智能训练 16)某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额,拟 在 2003 年度进行一系列的促销活动.经过市场调查和测算,化妆品的年销量 x 万件与年促销

费用 t 万元 (t ? 0) 之间满足: 3 ? x 与 t ?1 成反比例;如果不搞促销活动,化妆品的年销量只

能是 1 万件. 已知 2003 年,生产化妆品的固定投入为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元.当 将每件化妆 品的售价定为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占促销费的一半”之 和,则当年产销量相等.
(1)将 2003 年的年利润 y 万元表示为年促销费 t 万元的函数;
(2)该企业 2003 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=收入-生产成本-促销费)

解:(1)由题设知: 3 ? x ? k ,且 t ? 0 时, x ? 1 ,∴ k ? 2 ,即 x ? 3 ? 2 ,

t ?1

t ?1

∴年生产成本为[32(3 ? 2 ) ? 3]万元,年收入为150%[32(3 ? 2 ) ? 3] ? 1 t .

t ?1

t ?1

2

∴年利润 y ? {150%[32(3 ? 2 ) ? 3] ? 1 t}?[32(3 ? 2 ) ? 3] ? t(t ? 0) ,

t ?1

2

t ?1

∴ y ? ?t2 ? 98t ? 35 (t ? 0) . 2(t ?1)

(2)由(1)得

y ? ?(t ?1)2 ?100(t ?1) ? 64 ? 50 ? (t ?1 ? 32 ) ? 50 ? 2 t ?1? 32 ? 42 ,

2(t ?1)

2 t ?1

2 t ?1

当且仅当 t ?1 ? 32 ,即 t ? 7 时, y 有最大值 42 . 2 t ?1
∴当促销费定为 7 万元时, 2003 年该化妆品企业获得最大利润.

(四)巩固练习:

1.函数

y

?

2x 2x ?1

的值域为

(0,1)



2.若函数 f (x) ? loga x 在[2, 4] 上的最大值与最小值之差为 2,则 a ?

2或 2

2.


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