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【高数】2016同步课程_必修4_三角函数A级(共8讲)_第02讲_任意角的三角函数与诱导公式

【高数】2016同步课程_必修4_三角函数A级(共8讲)_第02讲_任意角的三角函数与诱导公式

任意角的三角函数与诱导公式

任意角的三角函数与诱导公式

知识点
一、任意角的三角函数与诱导公式

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任意角的三角函数与诱导公式

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任意角的三角函数与诱导公式

高考考纲
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任意角的三角函数与诱导公式

例题
一、 单选题 1、角 ? 的终边上有一点 P(a,a),a ? R, 且 a ? 0, 则 sin ? 的值是( ) A.

2 2
2 2 2 2

B. ? C. ? D. 1

【答案】 C 【解析】

r ? a 2 ? a 2 ? 2 a ,? sin ? ?

a a 2 ? ?? r 2 2a

2、 ? 是第二象限角,其终边上一点 P( x,5) 且 cos? ? A. B. C.
10 4 6 4 2 4 10 4

2 x ,则 sin? 的值为( ) 4

D. ?

【答案】
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任意角的三角函数与诱导公式

A 【解析】

r ? x2 ? 5, cos ? ?

x x ?5
2

?

2 x ? x ? ? 3 ,又 ? 是第二象限角,? x ? ? 3 4

? r ? 8 ? sin ? ?

5 5 10 ? ? r 4 8

3、点 A(sin 2013?, cos 2013?) 在直角坐标平面上位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 C 【解析】 2013? ? 360?? 5 ? (180? ? 33?),
?sin 2013? ? sin[360?? 5 ? (180? ? 33?)] ? ? sin 33? ? 0, cos 2013? ? cos[360?? 5 ? (180? ? 33?)] ? ? cos33? ? 0,
? 点 A 位于第三象限.

4、若 sin ? cos? ? 0 ,则角 ? 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第二或第四象限角

【答案】 D 【解析】 因为 sin ? cos? ? 0 ,所以 sin ? 与 cos? 异号, 所以 ? 是第二或第四象限角,故应选 D.
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任意角的三角函数与诱导公式

5、在 ? 0, 2? ? 内,使 sin ? ? cos ? 成立的 ? 的取值范围为( )
?? ?? A. ? , ? ?4 2? ?? ? B. ? , ? ? ?4 ? ? 5? ? ? ?, ? ? 4 ?

? ? 5? ? C. ? , ? ?4 4 ? ? ? ? ? 5? 3? ? D. ? , ? ? ? , ? ?4 ? ? 4 2 ?

【答案】 C 【解析】

? 2 2? ? 2 2? 当终边在直线 y ? x 上时,直线 y ? x 与单位圆的交点为 ? ? 2 , 2 ? ?,? ?? 2 ,? 2 ? ?, ? ? ? ?
此时, ? ?

? 5? 和 ,如图所示, 4 4
y

P

M O P M x

? ? 5? ? 当 ? ? ? , ? 时,恒有 MP ? OM , ?4 4 ? ? ? ? ? 5? ? 而当 ? ? ? 0, ? ? , 2? ? 时,则是 MP ? OM ,因此选 C. 4 4 ? ? ? ?

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任意角的三角函数与诱导公式

6、已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 ? 0, ?? ? 上是增函数.
2? ? 令 a ? f ? sin 7 ? A. b ? a ? c B. c ? b ? a C. b ? c ? a D. a ? b ? c 5? ? ? ? , b ? f ? cos 7 ? ? 5? ? ? ? , c ? f ? tan 7 ? ? ? ? ,则( ?

).

【答案】 A 【解析】
5? 2? 3? 2? 4? 3? ? ? 2? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? sin ? sin ? ? ? sin ,sin 7 7 14 7 14 14 ?2 7 ? 5? ? 3? ? 4? ? ? ? ? 3? ? ? ? b ? f ? cos ? ? f ? ? sin ? ? f ? sin ? ? f ? sin ? ? a ? f ?1? , 7 ? 14 ? 14 ? 14 ? ? ? ? ? cos 5? ? c ? f ? tan 7 ? ? ? ? f ?1? ?

?π ? 3 7、已知 sin ? ? x ? ? ,那么 sin 2 x 的值为( ) ?4 ? 5 3 A. 25

B. C. D.

7 25 9 25 18 25

【答案】 B 【解析】

? 3 ? ? 9 7 ∵已知 sin( ? x) ? ,∴ sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) ? 1 ? 2 ? ,故选 B. ? 4 5 2 4 25 25
8、若 A、B 是 锐 角 ?ABC 的 两 个 内 角 , 则 点 P(cos B ? sin A,sin B ? cos A) 在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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).

任意角的三角函数与诱导公式

【答案】 B 【解析】
?ABC 为锐角三角形,? A ? B ?

?
2

?A?

?
2

? B ,?B ?

?
2

? A,

?sin A ? cos B,sin B ? cos A?cos B ? sin A ? 0,sin B ? cos A ? 0
? P 在第二象限.

二、 填空题 9、已知角 ? 的终边落在直线 y ? 3x 上,则 sin? = ________

【答案】
? 3 10 10

【解析】 设终边上一点为 P ? a,3a ? a ? 0 ? sin ? ?
3a a 2 + ? 3a ?
2

?

3a 10 a

??

3 10 10

3 10、若 sin ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 cos ? ? ______. 5

【答案】
? 4 5

【解析】 利用同角三角函数的基本关系求解.
3 4 由 sin ? ? ? , tan ? ? 0 得 cos ? ? 0 ,所以 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? . 5 5

11、已知 cos(? ? x) ?

3 , x ? (? , 2? ) ,则 tan x ? _______________. 5

【答案】 4 3

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任意角的三角函数与诱导公式

【解析】
cos(? ? x) ? ? cos x ? 3 3 4 , ? cos x ? ? , 又 x ? (? , 2 ? ), ? sin x ? ? 1 ? cos2 x ? ? , 则 5 5 5

4 ? s i nx 4 4 t a nx ? ? 5 ? .故答案为: . c o sx ? 3 3 3 5
sin ? ? cos ? 的值为_____. sin ? ? cos ?

12、已知 tan ? ? 2 ,则

【答案】
1 3

【解析】 依题意得
sin ? ? cos ? tan ? ? 1 1 ? = . sin ? ? cos ? tan ? ? 1 3

三、 解答题 13、已知 sin ? ?
12 ,并且 ? 是第二象限角,求 cos ? , tan ? , cot ? . 13

【答案】
cos ? ? ? 5 12 5 、 tan ? ? ? 、 cot ? ? ? 13 5 12

【解析】
cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? c ? o ?s ? 5 ? 1 3 ,? ? 5 13









?

是 第




5











s? i n t a ? ?n ?c o s

1 2 ? ? ? ?, 5?

1 c o t t a n

1

2

1 14、 tan( π ? ? ) ? ? ,求 sin(? ? 7π)cos(? ? 5π) 的值. 2

【答案】 2 ? 5 【解析】 因 为
t π ?? a) 1 n? 2

,( ?



t

? ?? a

1 2

n,



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任意角的三角函数与诱导公式

sin(? ? 7 π) cos(? ? 5π) ? sin ? cos ? ?

sin ? cos ? tan ? 2 ? ?? sin 2 ? ? cos2 ? 1 ? tan 2 ? 5

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任意角的三角函数与诱导公式

随堂练习
1、使 lg(cos? ? tan?) 有意义的角 ? 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一、二象限角或终边在 y 轴上 【答案】 C 【解析】 有意义,则 cos? ? tan? ? 0 ,故 ? 在第一或第二象限 lg(cos? ? tan?)
? ?? 2、以下函数值 tan ? ?672?20?? , sin ? ? ? , cos 2 的符号分别为( ) ? 3?

A.正,负,正 B.负,负,正 C.正,负,负 D.负,正,负

【答案】 A 【解析】

?672?20? 为第一象限角,所以 tan ? ?672?20?? ? 0 ,
? ? ?? ? 为第四象限角,所以 sin ? ? ? ? 0 , 3 ? 3?
2 为第二象限角,所以 cos 2 ? 0 ,

1 ? 1 1 3、已知 a ? ln , b ? sin , c ? 2 2 ,则 a,b,c 的大小关系为( ) 2 2 A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c

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任意角的三角函数与诱导公式

D. b < c < a 【答案】 A 【解析】
a ? ln
1 ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ,所以 a < b < c . ? ln1 ? 0 , 0 ? b ? sin ? sin 30? ? , c ? 2 2 ? 2 2 2 2 4 2

4、已知

sin ? ? 3cos ? ? 5 则 sin 2 ? ? sin ? cos ? ? ________ 3cos ? ? sin ?

【答案】
2 5

【解析】
依题意得:
tan ? ? 3 ? 5 ? tan ? ? 2. 3 ? tan ?

?sin 2 ? ? sin ? cos ? ?

sin 2 ? ? sin ? cos ? tan 2 ? ? tan ? 4 ? 2 2 ? ? ? . sin 2 ? ? cos2 ? tan 2 ? ? 1 4 ?1 5

3 ? 3? ? 5、若 cos a ? ? ,且 a ? ? ?, ? ,则 tan a ? __________. 5 ? 2 ?

【答案】 4 3 【解析】
4 4 ? 3? ? 当 a ? ? ?, ? 时, sin a ? 0 ,则 sin a ? ? ,所以 tan a ? . 5 3 ? 2 ?

6、已知角 ? 的终边过 P(?3, 4) ,求 ? 的三种三角函数值.

【答案】

sin a ?

4 3 4 、 cos a ? ? 、 tan a ? ? 5 5 3

【解析】

r ? 32 ? 42 ? 5 ,所以 sin a ?

y 4 x 3 y 4 ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? r 5 r 5 x 3
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任意角的三角函数与诱导公式

课后作业
1、若角 ? 的终边过点 (?3, 则( ) ? 2), A. sin? ? tan? ? 0 B. cos? ? tan? ? 0 C. sin? ? cos? ? 0 D. sin? ? cot? ? 0 【答案】 C 【解析】 由题可知 ? 是第三象限角,根据三角函数的符号判断, sin ? ? 0,cos ? ? 0

?sin? ? cos? ? 0
2、若
? ? ? ? ? ,则下列各式中正确的是( ) 4 2

A. sin ? ? cos? ? tan ? B. cos? ? tan ? ? sin ? C. tan ? ? sin ? ? cos? D. cos? ? sin ? ? tan ? 【答案】 D 【解析】 ∵
? ? ?? ? , 4 2

∴ 0 ? cos? ? sin ? ? 1 , ∴ tan ? ?
sin ? ? sin ? , cos?

∴ cos? ? sin ? ? tan ? ,故选 D.

3、设 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 ,则 ? 是第__________象限角.

【答案】

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任意角的三角函数与诱导公式



【解析】 当 sin ? ? 0 时, ? 为第三,四象限角, 当 tan ? ? 0 时, ? 为第一,三象限角, 所以当 sin ? ? 0 , tan ? ? 0 时, ? 为第三象限角.
? ? 1 ? ? ? ,且 sin ? ? cos ? ? ,则 tan ? 的值为______. 2 2 5

4、已知 ?

【答案】

?

3 4

【解析】 ∵ sin ? ? cos ? ?
1 5 1 1 12 ,即 1 ? 2sin ? cos? ? ,整理得 sin ? cos ? ? ? . 25 25 25

∴ sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? 又 sin ? ? cos ? ?
1 5

1 12 ∴由韦达定理 sin ? , cos? 是方程 x 2 ? x ? ? 0 的两个根 5 25 3 4 解之,有该方程两根为 ? , 5 5

又?

π π ? ? ? ,即 cos? ? 0 2 2 4 3 , sin ? ? ? . 5 5 sin ? 3 ?? . cos ? 4

∴ cos ? ? ∴ tan ? ?

1 5、已知 ? 是第二象限角, tan? ? ? ,则 cos? ? ________. 2

【答案】
? 2 5 5

【解析】
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任意角的三角函数与诱导公式

由题意知 cos? ? 0,又sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , tan ? ?

2 5 sin ? 1 . ? ? .? cos? ? ? 5 cos ? 2

6、若 tan ? ? ?4 ,则

4sin ? ? 2cos ? ? ____________. 5cos ? ? 3sin ?

【答案】

18 7
【解析】

4sin ? ? 2cos ? 4 tan ? ? 2 ?16 ? 2 18 ? ? ? 5cos ? ? 3sin ? 5 ? 3tan ? 5 ? 12 7
7、已知 P(? 3,y) 为角 ? 的终边上一点,且 sin? ?
13 ,那么 y 的值等于________ 13

【答案】
1 2

【解析】
sin? ? y

?? 3?

2

= ? y2

13 1 ?y? 2 13

8、 sin

9? 7? _________ ? tan 4 3

【答案】
6 2

【解析】
sin 9? 7? ? ? 6 ? tan ? sin ? tan ? 4 3 4 3 2 sin(2? ? ? )cos(? ? ? ) cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin(?? ? ? )

9、

【答案】 1 ? sin ?

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任意角的三角函数与诱导公式

【解析】 sin(2? ? ? )cos(? ? ? ) (? sin ? )(? cos ? ) 1 ? ?? cos(? ? ? )sin(3? ? ? )sin(?? ? ? ) (? cos ? )sin ? sin ? sin ?

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