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2019最新人教A版高中数学必修五课件1.2解三角形的应用举例1优质课件_图文

2019最新人教A版高中数学必修五课件1.2解三角形的应用举例1优质课件_图文

高中数学课件
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1.2 解三角形应用举例 (1)
灵宝五高高一数学组

正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用:
(1)测量距离.
(2)测量高度.
(3)测量角度.

B
75o C 51o 55m A

解三角形公式、定理

正弦定理:a ? b ? c ? 2R sin A sin B sinC

余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A

cos A ? b2 ? c2 ? a2 , 2bc

b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B
c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC
三角形边与角的关系:

cos B ? c2 ? a2 ? b2 , 2ca
cos C ? a2 ? b2 ? c2 。 2ab

1、A ? B ? C ? 180?

2、大角对大边,小角对小边。

2.余弦定理的作用 (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两角; (3)判断三角形的形状。

推论:

在?ABC中,

若a2 ? b2 ? c2,则C为直角;

若a2 ? b2 ? c2,则C为锐角;
若a2 ? b2 ? c2,则C为钝角;

三角形的面积公式

S?

?

1 2

absin C

?

1 2

bc s in

A

?

1 2

ac sin

B

斜三角形的解法

已知条件 定理选用

一般解法

一边和两角 (ASA或AAS)

正弦定理

由A+B+C=180?,求出另一角,再 用正弦定理求出两边。

两边和夹角 (SAS)
三边(SSS)

用余弦定理求第三边,再用余弦
余弦定理 定理求出一角,再由

A+B+C=180?得出第三角。

余弦定理

用余弦定理求出两角,再由 A+B+C=180?得出第三角。

两边和其中一 边的对角(SSA)

正弦定理

用正弦定理求出另一对角,再由 A+B+C=180?,得出第三角,然 后用正弦定理求出第三边。

实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
(1)当视线在水平线上方时,视线与水平线所成角叫 仰角。
(2)当视线在水平线下方时,视线与水平线所成角叫 俯角。

(3)由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。(一般 这两条视线过被观察物的两端点)
视线

仰角 俯角

视线

水平线

2.方向角、方位角。
(1)方向角:指北或指南方向线与目标方向线所成 的小于900的水平角叫方向角。

(2)方位角:指北方向线顺时针旋转到目标方向线

所成的角叫方位角。

B 300 北

点A在北偏东600,方位角600.

A

600

点B在北偏西300,方位角3300. 西



点C在南偏西450,方位角2250. C 点D在南偏东200,方位角1600.

450 200 南D

3.水平距离、垂直距离、坡面距离。



坡面距离







α

水平距离

坡度(坡度比)i:垂直距离/水平距离

坡角α:tanα=垂直距离/水平距离

例1.设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测,在所在的河岸边选定一点C, 测出AC的距离是55cm,∠BAC=51o,∠ACB= 75o,求A、B两点间的距离(精确到0.1m)
分析:已知两角一边,可以用正弦定理解三角形
AB = AC sin C sin B

解:根据正弦定理,得

AB ? AC sin ?ACB sin ?ABC

AB ? AC sin ?ACB ? 55sin ?ACB sin ?ABC sin ?ABC

?

55sin 75

? 55sin 75 ? 65.7(m)

sin(180 ? 51 ? 75 ) sin 54

答:A,B两点间的距离为65.7米。

B

A

D

C

例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到

达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.

解:如图,测量者可

A

B

以在河岸边选定两点

C、D,设CD=a,

∠BCA=α,∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠ADB=δ

δ

α

γ

D

a

β C

分析:用例1的方法,可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离,再测出∠BCA的大小, 借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a,并

且在C、D两点分别测得

∠BCA=α,∠?ACD=β,∠? CDB=γ,∠BDA=δ.在ADC和BDC

中,应用正弦定理得

AC ?

a sin(? ? ? )

? a sin(? ? ? )

sin ??180 ? (? ? ? ? ? )?? sin(? ? ? ? ? )

BC ?

a sin ?

? a sin ?

sin ??180 ? (? ? ? ? ? )?? sin(? ? ? ? ? )

计算出AC和BC后,再在?ABC中,应用余弦定理计算
出AB两点间的距离
AB ? AC2 ? BC2 ? 2AC ? BC cos?

变式训练:若在河岸选取相距40米的C、D两
点,测得B?CA=,A6C0D? =?,CDB=30,? B?DA= 45? ? 60? 求A、B两点间距离.
注:阅读教材P12,了解基线的概念

练习1.一艘船以32.2nmile/h的速度向正北 航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方 向,30min后航行到B处,在B处看灯塔在 船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5nmile以外的海区为航行安全区域,这艘 船可以继续沿正北方向航行吗?

解:在?ASB中,?SBA=115?, ?S ? 45?,由正弦定理得

SB ? AB sin 20? ? 16.1sin 20? ? 7.787(n mile)

sin 45?

sin 45?

设点S到直线AB的距离为h, 则

h ? SB sin 65? ? 7.06(n mile) h ? 6.5n mile?此船可以继续沿正北方向航行
答:此船可以继续沿正北方向航行

变式练习:两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东30o,灯塔B 在观察站C南偏东60o,则A、B之间的距离为多 少?

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).

(1)什么是最大仰角?
(2)例题中涉及一个怎样的三角 形? 在△ABC中已知什么,要求什么?

最大角度

C
A B

练习2.自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度.已知车厢的最大仰角是60°,油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为 6°20’,AC长为1.40m,计算BC的长(精确到0.01m).

已知△ABC中AB=1.95m,AC=1.40m, 夹角∠CAB=66°20′,求BC. 解:由余弦定理,得

最大角度

BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2? AB ? AC ? cos A

? 1.952 ?1.402 ? 2?1.95?1.40? cos 66 20?

? 3.571

? BC ? 1.89(m)

C

答:顶杆BC约长1.89m。

A B

课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出 示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立 一个解斜三角形的数学模型
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意 义,从而得出实际问题的解

总结 实际问题
实际问题的解

抽象概括 示意图
还原说明

数学模型 推演 理算 数学模型的解

练习: P19习题1.2A组1、4、5
作业: 组卷网
P19习题1.2A组2、3


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