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【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第4讲 数列求和课件 理 新人教A版

【创新设计】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 第4讲 数列求和课件 理 新人教A版


第4讲
考试要求

数列求和

1.等差、等比数列的前n项和公式,C级要求;2.非等

差、等比数列求和的几种常见方法,C级要求.

知识梳理 1.求数列的前n项和的方法
(1)公式法 ①等差数列的前 n 项和公式

n(a1+an) n(n-1) na1+ d 2 2 Sn= = .
②等比数列的前 n 项和公式 (ⅰ)当 q=1 时,Sn= na1 ;

a1(1-qn) 1-q (ⅱ)当 q≠1 时,Sn= =

a1-anq 1-q

.

(2)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项,使其转化为几个等差、等
比数列,再求解. (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和,正负相消剩下首尾若干项. (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加,即等差数列求和公式的 推导过程的推广. (5)错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数
列的求和,即等比数列求和公式的推导过程的推广.

(6)并项求和法 一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求

和.形如an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99)+ (98+97)+?+(2+1)=5 050. 2.常见的裂项公式 1 1 1 (1) =n- . n(n+1) n+1
1 ? 1 1? ? 1 (2) =2?2n-1-2n+1? ?. (2n-1)(2n+1) ? ? (3) 1 n+ n+1 = n+1- n.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)如果已知等差数列的通项公式,则在求其前 n 项和时使 n(a1+an) 用公式 Sn= 较为合理. ( √ ) 2 (2)如果数列{an}为等比数列,且公比不等于 1,则其前 n a1-an+1 项和 Sn= .( √ ) 1-q 1 1 1 1 (3)当 n≥2 时, 2 = ( - ).( √ ) n -1 2 n-1 n+1

(4)求 Sn=a+2a2+3a3+?+nan 时只要把上式等号两 边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得.( × ) (5)若数列 a1,a2-a1,?,an-an-1 是首项为 1,公比 为 3 的等比数列,则数列 {an} 的通项公式是 an = 3n-1 .( √ ) 2

2.若数列 {an}的通项公式为 an =2n +2n - 1,则数列 {an} 的前 n 项和为________.

2(1-2n) n(1+2n-1) n+1 2 解析 Sn= + = 2 - 2 + n . 2 1-2
答案 2n+1-2+n2

3.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+?+(-1)n-1· n, 则S17=________. 解析 S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3) +(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+

1+?+1=9.
答案 9

4.(2015· 江苏卷 ) 设数列 {an} 满足 a1 = 1 ,且 an + 1 - an = n + ?1? * 1(n∈N ),则数列?a ?前 10 项的和为________. ? n?
解析 ∵a1=1, an+1-an=n+1, ∴a2-a1=2, a3-a2=3, ?, an-an-1=n, 将以上 n-1 个式子相加得 an-a1=2+3+?+ (2+n)(n-1) n(n+1) n= ,即 an= , 2 2 ?1 1 ? 1 2 ? 令 bn=a ,故 bn= =2?n-n+1? ?, n ( n + 1 ) ? ? n 故 S10=b1+b2+?+b10 ? 1 1 1 1 1 ? 20 =2?1-2+2-3+?+10-11?=11. ? ? 20 答案 11

5.( 苏 教 版 必 修 5P62T63 改 编 )1 + 2x + 3x2 + ? + nxn - 1 =

________(x≠0且x≠1).
解析 设 Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1,① 则 xSn=x+2x2+3x3+?+nxn,② ①-②得:(1-x)Sn=1+x+x2+?+xn 1-nxn


n 1-xn 1 - x nxn n = -nx ,∴Sn= . 2- 1-x (1-x) 1-x

1-xn nxn 答案 - (1-x)2 1-x

考点一 分组转化法求和
n2+n 【例 1】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式;

(2)设bn= 2 an +(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和.

解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n (n-1)2+(n-1) 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= 2 - 2 =n.经检验 a1=1 也符合 an=n, 故数列{an}的通项公式为 an=n.

(2)由(1)知,an=n,故 bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-? +2n).记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3+4-?+2n, 2(1-22n) 则 A= =22n+1-2,B=(-1+2)+(-3+4)+? 1-2 +[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n+1+n-2.

规律方法

(1)若数列{cn}的通项公式为 cn=an±bn, 且{an}, {bn}

为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前 n 项和. (2)若数列{cn}的通项公式为
? ?an,n为奇数, cn=? 其中数列{an}, ? ?bn,n为偶数,

{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和.

1 1 1 1 1 【训练 1】 (1)数列 12,34,58,716,?,(2n-1)+2n,? 的前 n 项和 Sn 的值等于________.

(2)(2016· 南京、盐城模拟)数列{an}中,an+1+(-1)nan=2n -1,则数列{an}的前12项和等于________.

1 解析 (1)该数列的通项公式为 an=(2n-1)+2n, ?1 1 1? 2 1 ? ? 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+ 2+22+?+2n =n +1- n. 2 ? ? (2)由已知 an+1+(-1)nan=2n-1,① 得 an+2+(-1)n+1an+1=2n+1,② 由①②得 an+2+an=(-1)n·(2n-1)+(2n+1), 取 n=1,5,9 及 n=2,6,10, 结果相加可得 S12=a1+a2+a3+a4+?+a11+a12=78.
答案 1 (1)n +1- n 2
2

(2)78

考点二 裂项相消法求和 【例2】 (2016· 洛阳统考)已知等比数列{an}的各项均为正数, 2 a3 且2a1+3a2=1, =9a2a6.

(1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=-log

? ? 1 ? ? ? ?的前 3an,求数列 ? ?bnbn+1? ?

n 项和 Tn.

(1)设数列{an}的公比为 q,由 a2 3=9a2a6, 1 2 2 2 得 a3=9a4,∴q = .∵数列{an}是各项均为正数的等比数列, 9 1 1 ∴q>0,q= .∵2a1+3a2=1,∴2a1+3a1q=1,∴a1= . 3 3 1 ∴数列{an}的通项公式为 an=3n.

1 1 (2)∵an=3n,∴bn=-log 33n=2n, 1 ? 1 1 1? ?1 从而 = =4?n-n+1? , ? bnbn+1 4n(n+1) ? ? ?1 ? 1 ? 1? ?1 1? 1? ?? ? ? ∴Tn=4??1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?? ? ? ? ? ?? ? ?? 1 ? 1? n ? ? 1 - =4? = . n+1? ? ? 4(n+1)

规律方法

利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定

只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩

两项,再就是将通项公式裂项后,有时候需要调整前面的系
数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

【训练2】 (2016· 杭州模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知 S3=a7,a8-2a3=3.

(1)求 an; 1 (2)设 bn=S ,求数列{bn}的前 n 项和为 Tn. n
解 (1)设数列{an}的公差为 d,
? ?3a1+3d=a1+6d, 由题意得? ? ?(a1+7d)-2(a1+2d)=3,

解得 a1=3,d=2, ∴an=a1+(n-1)d=2n+1.

n(n-1) (2)由(1)得 Sn=na1+ d=n(n+2), 2 1 ? 1 1? ?1 ∴bn= = ?n-n+2? ?. n(n+2) 2? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn-1+bn 1??? 1?? ??1 1?? 1 ? ?1 1 ?? ? 1 - ?+? - ?? =2? ?1- ?+? - ?+?+? 3? ?2 4? ?? ?n-1 n+1? ?n n+2?? 1 1 1 ? 1? ? = ?1+2-n+1-n+2? ? 2? ? 1 ? 3 1? ? 1 =4-2?n+1+n+2? ?. ? ?

考点三 错位相减法求和 【例 3 】 (2015· 天津卷 ) 已知数列 {an} 满足 an + 2 = qan(q 为实数,
且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成 等差数列.
(1)求 q 的值和{an}的通项公式; log2a2n (2)设 bn= ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和. a2n-1



(1)由已知,

有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即 a4-a2=a5-a3, 所以 a2(q-1)=a3(q-1),又因为 q≠1, 故 a3=a2=2,由 a3=a1q,得 q=2. 由递推公式得 当 n=2k-1(k∈N )时,an=a2k-1=2
* k n * k-1

=2

n ?1 2



当 n=2k(k∈N )时,an=a2k=2 =22. ? ?2 2 ,n为奇数, 所以,{an}的通项公式为 an=? n ?22,n为偶数. ?
n-1

log2a2n n (2)由(1)得 bn= = .设{bn}的前 n 项和为 Sn, a2n-1 2n-1 1 1 1 1 1 则 Sn=1×20+2×21+3×22+?+(n-1)× n-2+n× n-1, 2 2 1 1 1 1 1 1 2Sn=1×21+2×22+3×23+?+(n-1)×2n-1+n×2n. 1 1-2n 1 1 1 1 n n 上述两式相减得:2Sn=1+2+22+?+ n-1-2n= 1 -2n 2 1-2 n+2 2 n =2-2n-2n,整理得,Sn=4- n-1 ,n∈N*. 2 n+2 所以,数列{bn}的前 n 项和为 4- n-1 ,n∈N*. 2

规律方法

(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比

数列,求数列{an ·bn}的前 n项和时,可采用错位相减法求和,
一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解; (2) 在写出“Sn ” 与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “错项 对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.

【训练 3】 (2015· 山东卷)已知数列{an}是首项为正数的等差数 ? 1 ? ? ? n ? ? 列,数列 a ·a 的前 n 项和为 . ? ? 2n+1 ? n n+1?

(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(an+1)· 2 an ,求数列{bn}的前n项和Tn.

1 1 解 (1)设数列{an}的公差为 d,令 n=1,得a a =3, 1 2 1 1 2 所以 a1a2=3.令 n=2,得a a +a a =5, 1 2 2 3 所以 a2a3=15.解得 a1=1,d=2, 所以 an=2n-1.

(2)由(1)知 bn=2n· 22n 1=n· 4n,


所以 Tn=1· 41+2· 42+?+n· 4n, 所以 4Tn=1· 42+2· 43+?+n· 4n 1,


两式相减,得-3Tn=41+42+?+4n-n· 4n+1 4(1-4n) 1-3n 4 n+1 n+1 = -n· 4 = 3 ×4 -3. 1-4
n 1 3n-1 4 +( 3 n - 1 ) 4 4 所以 Tn= ×4n+1+ = . 9 9 9


[思想方法] 非等差、等比数列的一般数列求和,主要有两种思想 (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或等比数列,这

一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成;
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、 错位相减法、倒序相加法等来求和.

[易错防范] 1.直接应用公式求和时,要注意公式的应用范围,如当等比数 列公比为参数(字母)时,应对其公比是否为1进行讨论. 2.在应用错位相减法时,要注意观察未合并项的正负号.

3.在应用裂项相消法时,要注意消项的规律具有对称性,即前
剩多少项则后剩多少项.


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