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竞赛中的三角函数问题

竞赛中的三角函数问题


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4 4  

数 学通 讯 ( 2 0 0 8年 第 1 2期 )  

? 课 外 园地 ?  

竞赛 中 的三 角函数 问题 
吴祥成  
( 湖北 省 沙 市 中学 ,4 3 4 0 0 0 )  

三角 函数试题通常 出现在全国高中数 学联赛 的 


C  s l n— 2 —;  
. 

试中。 涉 及 的知 识 点 主 要 有 : 三 角 函 数 的 定 义 域 和 
④C O S 。 A+C O S 。 B+C O S 。 C一1 —2 c o s Ac os Bc o s C;  

值域 , 三 角 函数 的 奇 偶 性 、 单调性 、 周期 性 、 对称性 、   三 角 恒 等 变换 与 三 角不 等 式 .   求 解 竞 赛 中的 三 角 函数 问题 的常 用 技 巧有 : ( 1 )  
切割化弦 ; ( 2 ) 倍 角和角 化为基本 角 ; ( 3 ) 角 的代换 ;  
t a“ 

⑤c o t A ?c o t B+c o t B ?c o t C +e o t C?c o t A:1 ;  

⑥ t a n   A ? t a n 导 + t a n 导? t a n 导 + t a n 导?  



( 4 ) “ 1 ” 的化 换 ; ( 5 ) 公 式 的 变形 用 与逆 用 ; ( 6 ) 借 助 辅  助角 ; ( 7 ) 升幂 与 降幂 ; ( 8 ) 利 用 万 能公 式 转 化 为 代 数  问题 I ( 9 ) 积化和差与和差化积; ( 1 0 ) 裂项求 和; ( 1 1 )  
三 角 代换 .  

1 .  

例 1   已知 s i n ( x +2 0 。 ) 一C O S (  + 1 0 。 ) +c o s ( x  


1 0 。 ) , 求 t a n x.  

分析

通过三角变换 , 解出 t a n x .  

应 注 意熟 悉 以下 常 用 结 论 :  


讲 解  已知 条 件 可 化 为 s i n x c o s 2 0 。 +c o s x s i n 2 0 。  
2 c o s xc o s l 0 。 , 即 
s i n x c o s 2 0 。 一c o s   ?( 2 c o s l 0 。 一s i n 2 0 。 ) ,  

( 1 ) 当 O <  <- y时 ,   s i n x  ̄x  ̄t a n x;  

( 2 ) 函数  一 

在( o 。   ) 上单调递减 ;  

所以t a 吡 一 
一 — — — — — —

C O  


SZU 

( 3 ) 函 数   — t a   n x i : E  ̄ ( 0 , 号 ) 上 是 增 函 数 ;  
( 4 ) s i n 。 口 一s i n 。 卢 一s i n ( 口 +卢 ) s i n ( a -卢 ) ;   ( 5 ) os c 。 口 一s i n 。 卢 一c o s ( a +  C O S ( a -卢 ) ;  
。 。

2c os 3 0。 c os 2 0。 J _2 s i n3 0。 s i n2 0 。 一s i n2 0。  
— — — — — — — — —



O — S   Z   U  r————————————一  

2c os 3 0。 c os 2 0。  
一 —   一

/ 5 -  

一 V 

( 6 ) s i n a + s i n ( a + 警 ) + s i n ( a 一 警 ) 一 o ;   ( 7 ) S i r l z a + s i n z ( a + 警 ) + s i n z ( a 一 警 ) = 号 ;  
( 8 ) s i n 3 0 =4 s i n 0 s i n ( 6 0 。 -O ) s i n ( 6 0 。 + ) ;   ( 9 ) c o s 3 0 =4 c o s 0 c o s ( 6 0 。 一0 ) c o s ( 6 0 。 +  );   ( 1 O ) t a n 3 0 =t a n &a n ( 6 0 。 -O ) t a n ( 6 0 。 +  ;  

评注

1 O 。 , 2 O 。 都 不 是 特殊 角  但 1 O 。 +2 0 。 一3 0  

产生 了特殊角, 然 后 再 进 行 角 的代 换 . 要 善 于 观 察 角  之间的特殊关系 。 如 2 a =( a +卢 ) +( a —   。 2 / 3 =( a + 


( a 一卢 ) ? 2 a +B =( a +卢 ) +卢 .   例 2 ( 2 0 0 6年 湖 南 省 预 赛 题 ) 在 △ AB C中, 已 

知   s i n A   ?   C O S z 导 +   s i n C   ?  。 C O S 。     A 一   下 3     s i R n B 。 求  
C O S   一 2 s i n 导的 值 .  
分析 先利 用二倍 角公式 降次 . 再 进 一 步 进 行 
三角变换.  
讲 解  由 已 知 得 s i n A .— 1 +  c o s C+ s i n C .  
1 +  c o s A


( 1 1 ) t a n a - t a n 号 : t a n 号 s e ∞ ;  
( 1 2 ) c o t   一c o t 口 一c s c 口 ;   ( 1 3 ) c o t a -t a n a =2 c o t 2 a ;  

( 1 4 ) 在 △AB C中,  
①t a m 4 +t a r L B +t a n C —t a n A? t a n B? t a n C   a  
3  
一  

s i n B, 则 

② s i n A + s i n B + s i n C = 4 c 。 s  c 。 s 导 c 。 s 导 ;   @ c o  + c 。 s B + c 。 s c 一 1 + 4 s i n  s i n 导?  

s i n A+s i n C+ s i n Ac o s C+ c o s As i n C= 3 s i n . B,  

从而 s i n A+ s i n C+ s i n ( A+ C) 一3 s i n B,  
即 s i n A+s i n C= 2 s i R B.  

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?

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数学通讯 ( 2 0 0 8年 第 1 2期 )  

4 5  

故z s i n A+ C 丁 丁

c o s  

i  c o s 导 。   .  

- . 直 线z = 手是厂 ( z ) 的 一 条 对 称 轴 , 故 只 需 在  

o 。 手 ] 上 求厂 ( z ) 的 最 值 .   n (   ) 一 c 。 s 导 。 所以   E c 。 s   = 2 s i n 导 棚c 。 s   i n 虿 B = o .   而 当 z e [ o 。 詈 ] 时 。 s i n x + C O S X 一  I n ( z + { )  
评注
例 3 t a n a?t a I 讽 

又 s i n   A + C 

本 题 属 于 给 值 求 值 问题 。 此 类 问 题 往 往 
 ̄ . n   s i n z ) " 1 一— t a n( a f 1 )


把 条 件式 、 待求式进行变换 , 实现其沟通.  



单 调 递 增 。 s i n 4   2 x 在 [ o 。 { ] 上 也 单 调 递 增 , 因 此 。  

S l n 。a 

..

t an a 



求证 : t a n 2 y — 

厂 ( z ) 在 [ o 。 { ] 上 单 调 递 增 。 故 [ 厂 ( z ) ] 一 一 厂 ( o ) 一 1 。   [ 厂 ( z ) ] ~一 厂 ( 手 ) 一 1 + 厄 
评注 本 题 充 分 利 用 了三 角 函 数 的 周 期 性 、 对 

分 析  因 为 t a n z y =   出s i n 。 y 。 再代人化简.   讲解 由 已知 条 件 可 得 

, 可 由 已 知 条 件 解 

称 性 和单 调 性 。 从 而 简捷地 求 出了 , ( z ) 的最 值 . 本 
题 也 可利 用 换 元 法 求 解 , 令£ 一I   s i n xI +I   C O S X } ( 1 ≤t  
≤  ) .  

s i n 2 y —s i n 2 a E 1 一— t a n ( a — -f 1 )  ̄ I   n 2 口 [ 1 一  
si na
:: .
. . . . . .

例5 ( 2 0 0 4年 中 国 东 南 地 区数 学 奥 林 匹 克 试 
os   a ?c  ̄   s l n



. . . .

si na c os a
. . .

















( ) co sa si n ( a 1 f c o s ( a -§ )  
- -
. . . . . . . .



)   f 1 ]
. . . . . —

题 ) 已 知 不 等 式   ( 2 n + 3 ) c 。 s (   一 { ) + 五   }  
















 





































 

2 s i n 2 0 <3 口 + 6对 于  ∈E o ,   ] 恒 成立 , 求 口的取 

n a si nf si l
一 ——
— — — — — —









c o s ( a -  ’  
_ 一  

.  

值 范 围.  
s i n a s   i n 3    

则t a n 。 y _丽 一 s i n z ) "
一  

分 析注 意 到 左 边 的c 。 s ( 0 - 手) 。 s i n 2 0 , 想 到  
换元. 求 a的 取 值 范 围 可用 分 离 参数 法.  

c o s a c o s  ̄ 一t   a n a t a n 1 f .  


评注

对于三角 条件 恒等式 的证 明 。 要 充 分 利 

解 设s i n 0 +c 。 s   一z , 贝 4   c 。 s ( 0 -   4   " =   2 至 z
s i n 2 0 =x 。 一1 , x E   E 1 。 √  .  

,  

用所给的条件.   例4 ( 2 0 0 6年 湖 北 省 荆 州 市 预 赛 题 ) 求 函 数  , (  ) =J   s i n x   J +s i n ‘ 2 x +J   C O S X   J 的最 大 值 与最 小 值 .  

原不等式 可化为( 2 口 +3 ) z +旦 一2 (   一1 ) < 
3 a +6 , 即 2 x( x+ 三 一口 ) 一3 ( z+ 三 - a ) > O, 即 
X  X 
— . 

分析

该 题 的关 键 是 如 何 去 掉 绝 对 值 符 号 化 简 

,  

9  

函数 关 系式 , 直接讨 论较 繁, 若 利用 函数 的周期 性 。   也可去掉绝对值符号 , 化简函数关系式.  

( 2 x一 3 ) ( z+ 三 9   一口 ) >o .  

讲 解因 为 厂   + 号 ) 一 I   s i n ( z + 号 ) I +  
  I s i  I = 厂 ( z ) 。 所 以 号是 该 函 数 的 周 期 。 故只 需 讨  

由x E   E 1 , √  。 得2 z 一3 <o , 从 而上述 不等式恒 

立 , 等 价 于 z + 喜 一 n < o ( z ∈ [ 1 。 √   ) 恒 成 立 .   s i n 4 ( 2 x + 7 c ) + l   c o s ( z + 号 ) l 一 } c 0 s x l + s i   2 z +  成
从 而只要 n >( z +  )  ( z ∈[ 1 。 √  ) .  
n 

论 厂 ( z ) 在 [ o ? 号 ] 上 的 最 值 .  
当 x E [ O , 号 ] 时 。 厂 ( z ) 一 s i n x + s i n 4   2 x + c 。 s z .  

又易 证厂 ( z ) 一z +÷在[ 1 , 侗 上递减, 所以( z  
+  )   一3 ( z∈[ 1 , 侗 ) , 从 而 n的取 值范围是 ( 3 。  
+o 。) .  

‘   厂 ( { + z ) 一 s I n ( z + { ) + s i n ‘ ( 2 x + 号 ) +   c 。 s ( z + 詈 ) = c o s ( 4一 z ) + s i n 4 ( 2 — 2 z ) + s i n ( {   一 z ) 一 厂 ( { 一  

评注

在处 理不 等式恒 成立 问题 时, 可 将 所 考 

察的某个变量 n分离 出来 , 变形为形如 n <厂 ( z ) ( 或 
n > 厂( z) ) 恒 成 立 的 问 题. 由此。 将 问 题 转 化 为 求 


厂 ( z ) 的最值 。 只 需 a小 于 厂 ( X ) 的最小 值( 或 口大 于 

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数学通讯( 2 0 0 8年 第 l 2期 )  

?课 外 园地 ?  

【  ) 的最大僵) 即 司.  

( c)   一 
b 

.  

( D)  一 Ⅱ .  

例6 ( 1 9 9 9 年 越 南数 学奥 林 匹 克 ) 设a , b , C是  正实数 , 且n 6 c +口 +c =6 , 试 确 定 P一   一   2  

3 . ( 2 0 0 6年 湖 南 省 预 赛 题 )  

t a n 7 0 。 ? c o s l 0 。 ?( √ 虱a n 2 0 。 一1 ) 一  

(  

)  

+ 南 的 最 大 值 ?  
分析 +  一  把已知条 ̄ t - 变形为 6 =   l— , 联想 t a n ( a   af 

( A) 1 .  

( B) 2 .  

( C) 一1 .   ( D) 一2 .  

4 . ( 2 0 0 7年 全 国联 赛题 ) 设函数 , (  ) =3 s i n x +  2 c o s x +1 , 若实数 n , 6 , C 使得a f( x ) +6 ,(  — c ) 一1   对 任意 实 数  恒 成 立 , 则  !   的 值 为  (   )  

, 由此想 到三 角代 换. 另外 . 结 论 
(   一  1


中 出现 了 n 。 +1 , 也 可想 到 三 角代 换 .  
解 由条 件 有 n +c 一( 1 一a c ) b , 显然 1 一口 c ≠O ,  
nC 

( B ) ÷ .( C ) - I .( D ) 1 .  
.  
— —

5 . ( 2 0 0 5年 全 国联 赛 试 题 ) 设口 ,  , y满 足 0 <a   <f l <Y <2 x . 若对任意 x E   R, c o s ( x +a ) +c o s ( z + 
+c o s (  + y ) 一O , 则 y 一口 一

放6 一  1一

.  

令n - - t a n a , b —t a n p , c —t a n ) ' , 口 ,  , y ∈[ o ,   ] ,  
则t a r   一t a n ( a + ”.  
一 

6 . ( 2 0 0 7年 陕 西 省 预 赛 题 ) 实 数  , Y满 足 t a 吡 
a n   =  ,且  ≠  一 

又口 +y ∈[ O , Ⅱ ] , 所以  一口 +  从 而 

一 —

的值 为

.  
— —

2   2   3   l + —t L a n Z a 一‘ l +t a n Z l f   4   l +t a n Z Y  

7 . ( 2 0 0 5年 四 川 省 预 赛 题 ) 函数 , (  ) =s i n 2  +  P   的 最 大 值 与 最 小 值 之 差 等 于  .  



2 c o s 。 口 一2 c o s 。 ( 口 +y ) +3 c o s 。 y  

8 . ( 2 0 0 7年 陕 西 省预 赛题 ) 设函数 , (  ) 一c o s 2 x  

=c o s 2 a +1 一[ c o s ( 2 a +2 y ) +1 ] +3 os c 。 y  
:2 s i n Y?s i n ( 2 a +y ) +3 os c 。 y  

+2 √ _ s i n x? c o s x ( x ̄R) 的最 大值 为 M, 最小 正周 
期为 T .  

≤2 s i n Y +3 os c 。 y  

( 1 ) 求 M, T 的值 , 并 写 出 函数 , (  ) 的 单 调 递 增 
区间.  

= 了 1 0 — 3 ( s i n y 一 ÷ ) 。 ≤ 萼 ,  
且 在 2 a + y 一 号 , s j n y 一 ÷ , 即 。 一  , b = 4 5  
=  

( 2 ) 若 l O个 互 不相 等 的 正数  (   =1 . 2 , …, 1 0 )  

满足 f ( x f ) =M , 且 f <l O , c , 求  1 + 2 + … + 1 o .   9 . ( 2 0 0 1 年 中国西部 数 学奥 林 匹克试 题) 求 所 

时, 上式 取 等 号 , 放P ~一   。  
评 注  ( 1 ) 本 题 根 据 式 子结 构 特 征 , 进 行 三 角 代 

有的实数  ∈[ o , 罢] , 使得( 2 一s i n 2   ) ? s i n (   +  

换, 把 代 数 同题 转 化 为 三 角 问题 . ( 2 ) 三 角 多 元 最 值  问题 , 通常通过有界性转化为一元最值问题.  
练 习题 

{) 一 l , 并 证 明 你 的 结 论 .  
1 0 . ( 1 9 9 7年 全 国联 赛 题 ) 设  ≥  ≥z ≥  , 且 

1 . ( 2 0 0 5年 福 建 省 预 赛 题 ) 若 s i 吡 +s i n   一  ,  

+  +z :   . 求乘积 C O S X ?s i n y?C O S 2 : 的 最 大 值 和 
最小值.  

c o s  + c o s y= -

 ̄- 6


贝   s i n (  + ) 等 于 
( c)   ( D) 1 .  

(  

)  

参 考 答 案 和提 示  1 . B .   把 两个 式子 分 别 平方 相加 得 
( s i n 。  + C O S 。  ) +( s i n 。  + C O S 。  ) +2 ( c o s xc o s y  

( A)  

( B)  

2 . ( 2 0 0 6年 吉林 省 预 赛 题 ) 已知函数 y -  ̄s -i 毗 +   ̄ C O S X的 图 象 关 于 直 线  一   对称, 则 函 数  =  a s i n x +c o s x的 图 象 的 一 条对 称轴 为  (   )  

+s i n xs i n y) 一2 . 即 C O S ( Z- - ) 一0 .  

把两 个 式 子 相 乘 , 得( s i n x c o s y +s i n y c o s x) + 
( s i   zc o s  + s i   c o s  ) 一  ,  

( A )   一 号 .  

( 跏一 警 .  

所以 s i n (  + ) +s i n ( z +y ) C O S ( z—  ) 一  ,  

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数 学通 讯 ( 2 0 0 8 年第 1 2期 )  

4 7  



从而 S i n (  

一  .  

卢 一 擎 , - . . y — a 一 等 .  

2 . C. 令 f【  )一 S l n X十 a C O S X' g   L  J— a S l r l  ̄十 

6 . 。 . 由 题 设 得 — s i n   ( x   + y ) 一 箸  
粤 兰 ±  一∞  。 。  .  
S l n X  I  s my   C O S X  C OS Y 

一  

C O S X . 由 题设 有 , (  ) 一八 . . 了 l O x —z )



又 , (   ) 一 g ( 号  



 

, (  一   ) 一 g ( 号 一 丁 l O , r +  故 g ( 号一   )  

一 g ( 号一  +   ) 。 所以 , g (   ) 的 一条 对 称 轴为  一  

同 理 可 得  故 
7 . 1 +  .  

一c 。  c 。 s  。   一  一。  

÷ c 号 + 号 一   : 一  .  
又g (  ) 的周 期 为 2 7 c 。 相 邻 两 对 称 轴 之 间 的 距 离 
为  . 故 其 另 一 条 对 称 轴 为  一 一  +3   一 
s l O ̄ q  ̄ s i n 2 0 3 . c . 原 式一 — c o s   2 0  ̄   c o

?  ̄


.  

, (  ) =s i n 2 x+ e 1 ‘ 一 十 ~1 一一c o s ( 2  + - 5 -   ) + 

os 2 0 ̄ c
。 =  

(   + 三 )   = 2 s i n 。 (   + ÷ ) 一 1 +   ‘   { .   令 t 一  f   s i n (   + 手 ) f   e   E o  ̄] , . . - , (   ) 一 g ( t )  
一t   一1 +e   , 易知 g ( Z ) 在L O . √ 2 J 上单调递增 ,   - . . , (  ) 一 一, (  )   m ' —g ( 2 ) -g ( O ) 一1 +  .  

c。s2 O

c o s l O 。?2 s i n ( 2 0 。 一3 0 。 1  

— ——— 五函  — 一

:     一 一 !   Q 挚 口    : 一 一1 ‘ . ●  
s i   n 20

4 . C .   由题设可得 , (  ) 一 ̄ / , 西s i n (  + ) +1 ,  

, ( x -c ) 一 ̄ / 厂 西s i n (   +9 -c ) +1 , 其中o <   <要,  
且t a n  ̄ =÷. 于是o f ( x ) + b f ( x - c ) 一1 可化为  
 ̄ / I  s i n ( x +9 ) +~ / I _ 6 s i n (  +9 一c ) +口 +6 —1 ,  
即  ( a +b c o s c ) s i n (  + 9 ) 一  6 s i n c c o s (  

8 . ( 1 ) 注 意 鳓, (   ) 一 2 s i n ( 2   + 詈 ) (   ∈ R ) , l ¥ 1  
M = 2。 丁一  一 瓦 

又 2 k 7 c 一 号 ≤ 2   + 詈 ≤ 2 志 7 c + 2( k E Z ) ? 则 函   数 , (   ) 的 单 调 递 增 区 间 为 [   一 号 ? k   + 詈 ] ( 志 ∈  
Z) .  

+9 ) +( 口+ 6 —1 ) 一0 .  

由已知条件 , 上 式 对 任 意  ∈R恒 成 立 , 故 必 有  r 口 +6 c o s c 一0
b s i n c =0   【 口 +6 —1 —0  

( D  
②  ③ 

( 2 ) 由 , ( 而 ) 一 2 s i n ( 2 墨 + 詈 ) 一 2 , 得2 霸 + 詈  


若 6 —0 , 则 式①与式③矛盾 . 故b e : 0 , 由式 ② 知 
s i n c = 0 .  

2 k n + 罢( ‘   志 ∈ z ) , 即露 一 k n + 罢( O   志 ∈ z ) .  
因为 O <露 < l O , r , 所以k =O , 1 。 …, 9 。 故  l + 2  

当C O S  ̄ 1 时, 则 ① ③ 两式 矛盾 。 故C O S  ̄ 一1 .   由式 ① 、 ③知 口 =6 一  1 所 以 丝  一 一 1

.  

+. . . +如 一 ( o +1 + . . . +9 ) 7 c +l O X 6 = 

.  

n 

5 . 竽.  c o s (   + 口 ) + c o s (   +  + c o s (   + y ) 一  
( c o s a +c o s B +C O S y ) c o s  一 ( s i n a +s i t , e +s i n T ) s i n x .  

9 . 令s i n (   + ÷ ) 一 t , 即 s i n x + c 。   一  , 于 是  
1 +s i n 2 x =2 t 。 。 即 s i n 2 x= 2 t 。 一1 , 从 而有 t ( 3 -2 t 。 )  
:1 , 即 2 t 。 一3 t +1 —0 .  

依 。   题 设 。 可 得 l   。 o s a -  ̄ - c o  。 。 s y = o  
s i n a +s i t , e +s i n ) ' -0  

注意 到 t 一1 是上述方 程的解 , 故 
② 

( t -1 ) ( 2 t 。 +2 t -1 ) 一O  

① 

由① ② 可 得 ( c o s a -  ̄ - c o s D。 +( s i n a +s i r d ) 。 一1 ,  

即c o s ( 卢 一a ) :一÷ .  

由 于 o ≤   ≤ 号, 所 以  ≤ t ≤ 1 。 从 而 2   + 2 t 一  

同理可得 c o s ( 7 -   —c o s ( 7 -a ) =一妻 .  
’ - . 0 < 口 <卢 < y < 2 7 c , . . . 卢 一口 。 y 一口 , y 一  ∈  

1 ≥ 2 × ÷ + 2 ×  一 1 > 1 , 从 而 方 程 ① 有 唯 一 解 t 一  
1 , 故原方程有唯一解 x =-  ̄ -   .  
( 下转 第 4 3页)  

{ 警 , 警 ) , 又 J 9 一 a < 7 - a 。 y —  y — a . 只 有 J 9 一 a — y  

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?

复 习参 考 ?  

数学通讯( 2 0 0 8年 第 1 2期 )  

4 3  

有 4 A{ A; + A: 一9 6个 .  

2 1 . ( 1 ) 用 直 尺度 量 折 后 的 AB 长 , 若 AB=4 , 则 
二面角 A - C D - B 为直二面角.   证明如下 : . . . △ AB C是 等 腰 直 角 三 角 形 , I . . AD 


( 4 ) 符合 条件 的数 是 : ①形 如 5 ×× ×× ×和 4  
×× ×× × 的数 有 2 A i 个 ; ②形如 3 5 ×× × ×和 3 4  

×× × × 的数 有 2   个; ③形 如 3 2 5 × × × 的 数 有  A ; 个; ④形 如 3 2 4 5 × × 的 数 有 Ai 个; ⑤3 2 4 1 5 0满  足条件. 故 可 以组 成 2 A} +2   +2 A; + A{ +i =2 9 7   个大于 3 2 4 1 0 5的六 位 数 .   2 0 ? (   +  1 )  的展 开 式 的通 项 为 丁   一 
(   ) , rr.(   ) r =  。  1

D B— C D : 2√   c m. 又  . . AD 上 DC 。 B D 上 DC.  

. . . /ADB 是 二 面 角 A — C D- B 的 平 面 角.- . . AD= DB  


2√  c m.当 AB一 4 c m 时, 有 AD z+ DB  = 
( 2 ) 取 △ AB C 的 中 心 P, 连 接 DP. 则 即  DP 满 足 
,,●●●●, 、● ●【  

A  .  .   A DB 一 9 0 o.  

条 件.  
?

。 z 

.  

证 明如下 : . . . AAB C为正 三角形 。 且 AD— D B  


由 已知 条 件 知 c o   1 -  2?  

一2 c  ?  1


DC. .  三 棱 锥 D- ABC 为 正 三 棱 锥 .由 P 为 

一 H  一 H  

解 得 

A AB C的 中心 知 。 DP上 平 面 AB C . . . . DP 与 平 面    一 AB C 内任 意 一 条直 线 都 垂 直 .  
解  ( 3 ) 当小球半径最大时 。 此 小 球 与三 棱 锥 的 4个 



8 或, z —l ( 舍去) , 所以  + 。 一c ; ?   ?   一 孚.  

令4 一 莩一 1 , 得r 一 4 , 所以 展开 式中 含z 的 一  

面都相切 . 设 小 球 球 心 为 0, 半径为 r . 连接 O A, 0 B,  
0 c, 0D. 三 棱 锥 被 分 为 4个 小 棱 锥 。 且 每 个 小 棱 锥 

次 幂 的 项 为 T s — C : ?  ?   一 萼 z .  
( 2 ) 令4 ~ 莩∈ z ( r ≤8 ) , 则只 有当r 一 0 , 4 , 8  
时。 对应的项才为有理项, 有理项分 别为 T 1 一  , 丁 5  
35  
一  

中 有 一 个 面 上 的 高为 r . 故 有 
VA 一 肋 一 Vo — A D C + Vo 一   + V0 - 仙D + V0 - ^ B c,  

即 ÷? ÷ ( 2 √   。 ? 2   - - } ? r [ ÷? ( 2 √   ) 。  


— 
’  一

1   2 56 — xz ‘  


3 +1

.  

. 4 z ] .  

( 3 ) 记第 r项 的 系 数 为 口, , 则 口 , 一 C; 一 1?2 1 ~.  

即÷( O  2 4 +8 √  r 一 ÷( O   2 √  , 。  
所 以 一  .  

设 第 k项 的 系 数 最 大 , 则 有  ≥  + 1 , 且  ≥  即  ? 2   ≥C {  
?

2   ≥C {   ( 收稿 日期 : 2 O O 8 ~O 4 —1 O l  

得3 ≤  ≤4 , 所 以系数最大 的为第 三项 丁 3 —7 x 睾和 

第 四项 T 4 —7 x  ̄.  

( 上接 第 4 7页)  


1 0 . 由 已 知 条 件 得   一 号 一 (   +   ) ≤ 号一 ( 蠢  
C OS X ?s i n y .c 。s  一 百 1  

又 c 。 s   ?s i n   ?c 。 s  一  1  

c 。 s  ?[ s i n (  + ) 一 

+  ) 一 号 . 又s i n (   —   ) ≥ o . s i n ( y -   ) ≥ o , 于 是  
‘   ‘  o  一  C O S X ̄ Xt s i n (  + 。 2 ) +s +  i n ( y  

s i n ( x m y ) ] ≤ ÷ c 。 s   . S i n ( z +   ) =   1   c o s 一  ̄ < T  
C O S z 西 n =   1 ( 1 + c 。 s 詈 ) =  
且 当  —  一   .  一  时 等 号 成 立 .   所以 C O S  ̄"s i   ? c 。 s  的最 大 值 为 



 

) ] ≥ ÷ c 。 s   ? s i n (   +   ) 一 ÷ c 。 s 2   ≥ ÷ c 。 s 。 詈  
1   8‘  

且 当   一 詈 ?   —   一 磊 时 等 号 成 立 .  

所 以 c 。 s   ? s i n   ? c 。 s   的 最 小 值 为 丢 .  

( 收 稿 日期 : 2 O O 8 ~O 3 —1 6 }  


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