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指数函数对数函数幂函数单元测试题(有答案)精品资料

指数函数对数函数幂函数单元测试题(有答案)精品资料


成都七中数学单元测试

指数函数、对数函数、幂函数测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的) l.设指数函数 C1:y=ax,C2:y=bx,C3:y=cx 的图象如图,则( ) A.0<c<1<b<a B.0<a<1<b<c C.c<b<a D.0<c<1<a<b

2.函数 y=ax-1(a>0,a≠1)过定点,则这个定点是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (-1,0.5) D. (1,1) -x 3.若函数 y=f(x)的图象与 y=2 的图象关于 y 轴对称,则 f(3)=( ) 1 1 A.8 B.4 C. D. 8 4 x 4.若指数函数 y=a 经过点(-1,3) ,则 a 等于( ) 1 1 A.3 B. C.2 D. 3 2 5.函数 y=f(x)的图象与 y=21-x 的图象关于直线 x=1 对称,则 f(x)为( ) x-1 x+1 x-2 2-x A.y=2 B.y=2 C.y=2 D.y=2 6.对于 ? x1,x2∈R(注:? 表示“任意” ) ,恒有 f(x1) 〃f(x2)=f(x1+x2)成立,且 f(1)= 2 , 则 f(6)=( A.2 2 ) B.4 C. 2 D.8 )

7.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=( A.
1 4

B.

1 2

C.

2 2

D.

2 4

8.在同一坐标系中,函数 y=2-x 与 y=log2x 的图象是(



?2 ? x ? 1( x ? 0), ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是( 2 ? ? x ( x ? 0).



A. (-1,1) B. (-≦,-2)∪(0,+≦) C. (-1,+≦) D. (-≦,-1)∪(1,+≦) 10.已知 0<m<n<1,则 a=logm(m+1)与 b=logn(n+1)的大小关系是( A.a>b B.a=bf C.a<b D.不能确定
1



成都七中数学单元测试

11.设函数 F(x)=f(x)-

1 ,其中 x-log2f(x)=0,则函数 F(x)是( f ( x)



A.奇函数且在(-≦,+≦)上是增函数 C.偶函数且在(-≦,+≦)上是增函数

B.奇函数且在(-≦,+≦)上是减函数 D.偶函数且在(-≦,+≦)上是减函数 f(x) 12.已知函数 f(x)=x2-2ax+a 在区间(-≦,1)上有最小值,则函数 在区间(1,+≦)上 x A.有两个零点 B.有一个零点 C.无零点 D.无法确定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.已知对数函数 C1:y=logax,C2:y=logbx,如图所示,则 a、b 的大小是__________.

14.函数 y ? log0.5 (4 x ? 3) 的定义域是__________. 15.(1)计算:log2.56.25+lg (2).0.027
? 1 3

1 +ln e + 21?log2 3 = 100
3



1 -(- )-2+256 4 -3-1+(2-1)0=________. 7

16.已知 f(ex)=x,则 f(5)等于_________________

log8 9 的值是__________________________ log2 3

三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.已知二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? 1 ,及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x . (1)求 f ( x) 的解析式;
? 1? (2)若 g ( x) ? f (loga x)(a ? 0且a ? 1) , x ? ? a, ? ,试求 g ( x) 的值域. ? a?

18.当某种药品注射到人体内,它在血液中的残留量成指数型函数衰减. (1)药品 A 在血液中的残留量可以用以下指数型函数描述:y=5e-0.2t,其中,t 是注射一剂药 A 后的时间(单位:h) ,y 是药品 A 在人体内的残留量(单位:mg) .描出这个函数图象,求出 y 的初始值,当 t=20 时,y 值是多少? (2)另一种药品 B 在人体中的残留量可以表示成 y=5e-0.5t.与药品 A 相比,它在人体内衰减得 慢还是快?
2

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19.已知函数 f(x)=loga

1 ? mx (a>0,a≠1)是奇函数. x ?1

(1)求 m 的值; (2)判断 f(x)在区间(1,+≦)上的单调性.

21.设函数 f ( x) 对于 x、y∈R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 x<0 时, f ( x) <0, f (?1) ? ?2 . (1)求证:函数 f ( x) 是奇函数; (2)试问 f ( x) 在 x ?[?4, 4] 上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由. 1 1 (3)解关于 x 的不等式 f (bx 2 ) ? f ( x) ? f (b 2 x) ? f (b) ( b ? 0 ). 2 2

21.设函数 f ( x) ? a ?

2 .(1)证明:不论 a 为何实数函数 f ( x) 总为增函数; 2 ?1
x

(2)当 f ( x) 为奇函数时,求函数 f ( x) 的值域。

22.已知函数 f ( x) ? 8a ? 4x?1 ? 2x ?1 (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 x ?? ?3,0? 的最值及取最值时对应的 x 取值; (2)当 a ? 1 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 有解,求 a 的取值范围。

0) 23.已知函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) , B( ? 1, ,且函数 h( x) ? 2 p x (p>0)与

函数 f ( x) ? m x ? n 的图像只有一个交点. (1)求函数 f ( x) 与 h( x) 的解析式; (2)设函数 F(x) ? f (x) ? h(x) ,求 F( x ) 的最小值与单调区间; (3)设 a ? R ,解关于 x 的方程 log4 [f (x ? 1) ? 1] ? log2 h(a ? x) ? log2 h(4 ? x) .

3

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答案: 1.A 2.D 13.a>b>1 三、解答题

3.A

4.B 5.A 3 14.{x| <x≤} 4

6.D

7.D

8.A

9.D 16.3

10.A

11.A

12.C

15.9n(n∈Z)

17.解: (1)设 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1
? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2ax ? a ? b ? 2 x

?2a ? 2 ?? ? a ? 1, b ? ?1 ?a ? b ? 0
(2) Q f ( x) ? x2 ? x ? 1

? f ( x) ? x2 ? x ? 1

? 1? ? g ( x) ? f (loga x) ? (loga x)2 ? loga x ?1, x ? ? a, ? ? a?

令 t ? loga x ,原函数化为 y ? t 2 ? t ? 1 ,
Qa? x?
1 1 又a ? 0且a ? 1? a ? 即0 ? a ? 1 , a a

1? ? t ? loga x 在 ? ? a, ? 上单减,??1 ? t ? 1 , ? a?

又对称轴 t ?

1 2

1 3 ? t ? 时,ymin ? ,?t ? ?1时,ymax ? 3 ,? g ( x) 的值域为 ? 3 ,3? 。 ? 2 4 ?4 ? ?
18.(1)当 t=0 时,y=5;当 t=20 时,y=5e-4≈0.091 6 (2)y15e-0.2t,y2=5e-0.5t,?

y1 ? e 0.3t ? 1 ?y1>y2,则药品 B 在人体内衰减得快 y2

1 ? mx 1 ? mx =-loga (对 ? x∈R 恒成立) ? m=-1 ? x ?1 x ?1 x ?1 2 (2)≧f(x)=loga (x<-1 或 x>1) ,?f(x)=loga(1+ ) ,?(i)当 0<a<1 时,f x ?1 x ?1 (x)在(1,+≦)上是增函数; (ii)当 a>1 时,f(x)在(1,+≦)上是减函数

19.(1)≧f(x)为奇函数, ?loga

? 2x ,0 ? x ? 1, ?? x 1 ? 4 ? ? 20.(1) f ( x) ? ?0, x ? 0, ? 2x ? ,?1 ? x ? 0 ? ?4x ?1
( 2 )设 -1<x1<x2<0 ,则 f ( x1 ) -f ( x2 ) =

(2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? 2 x1 ) , ≧ x1<x2<0 ,? 2 x1 ? x2 ? 1 ? 0 , x1 x2 (4 ? 1)(4 ? 1)
4

成都七中数学单元测试

2 x2 ? 2 x1 ? 0 ,?f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) ,所以,f(x)在(-1,0)上是增函数

x ? x2 191)≧对 ? x1,x2∈(-1,1)时,f(x1)+f(x2)= f ( 1 ) 都成立, ?令 x1=x2=0,得 f(0) 1 ? x1 x2
=0,?对于 ? x∈(-1,1) ,f(x)+f(-x)= f ( =-f(x) ,所以 f(x)在(-1,1)上是奇函数
x-x ) =0,所以对于 ? x∈(-1,1) ,有 f(-x) 1? x2

x ? x2 x ? x2 (2) 设 0<x1<x2<1, f (x1) -f (x2) = f( 1 因 0<x1<x2<1, ?x1-x2<0, 1-x1x2>0, ?-1< 1 ), 1 ? x1 x2 1 ? x1 x 2
<0,则 f(x1)>f(x2) ,?f(x)在(0,1)上是减函数 21.解: (1)证明:令 x=y=0,则 f (0) ? f (0) ? f (0) ,从而 f (0) ? 0 令 y ? ? x ,则 f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 0 , 从而 f (? x) ? ? f ( x) ,即 f ( x) 是奇函数. …… 4 分

(2)设 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ? x2 ) ? 0 , 又 f ( x1 ? x2 ) ? f [ x1 ? (? x2 )] ? f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ?函数 f ( x) 为 R 上的增函数, ?当 x ?[?4, 4] 时, f ( x) 必为增函数. 又由 f (?1) ? ?2 ,得 ? f (1) ? ?2 ,? f (1) ? 2 ?当 x ? ?4 时, f ( x)min ? f (?4) ? ? f (4) ? ?4 f (1) ? ?8 ; 当 x ? 4 时, f ( x)max ? f (4) ? 4 f (1) ? 8 . (3)由已知得 [ f (bx2 ) ? f (b2 x)] ? f ( x) ? f (b) . ?
1 f (bx 2 ? b 2 x) ? f ( x ? b) . 2
1 2

…… 9 分

? f (bx2 ? b2 x) ? 2 f ( x ? b) ,即 f (bx2 ? b2 x) ? f (2x ? 2b) . ≧ f ( x) 为 R 上增函数,? bx2 ? b2 x ? 2 x ? 2b . ? bx2 ? (b2 ? 2) x ? 2b ? 0 ? (bx ? 2)(x ? b) ? 0 .

5

成都七中数学单元测试

当 b=0 时, ? 2 x ? 0 ,?不等式的解集为 ?x x < 0? . 当 b<0 时, (?bx ? 2)(x ? b) ? 0 . ① 当 ? 2 ? b ? 0 时,不等式的解集为 ?x ②当 b ? ? 2 时,不等式的解集为 ? .
2 ?. b 22.(1)当 a ? 1 时 f ( x) ? 2 ? 4x ? 2x ?1 ? 2 ? (2x )2 ? 2x ?1 ………………1 分 2 ? x ? b ?. b

③当 b ? ? 2 时,不等式的解集为

?x

b?x?

1 令 t ? 2x , x ?[?3,0], 则 t ? [ ,1] 8

1 9 1 故 y ? 2t 2 ? t ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? , t ? [ ,1] …………………………………..3 分 4 8 8

?当 t ?

1 时,即 x ? ?2 时 4

9 ymin ? ? ………………………………4 分 8

当 t ? 1 时,即 x ? 0 时

ym a n ? 0 ………………………………5 分

1 (2) 2 ? (2x )2 ? 2x ?1 ? 0 解得 2x ? 1 或 2 x ? ? (舍)…………………..7 分 2

? {x | x ? 0} ………………………………………………………………8 分 (3)关于 x 的方程 2a(2x )2 ? 2x ?1 ? 0 有解,等价于方程 2at 2 ? t ? 1 ? 0 在
t ? (0, ??) 上有解。 记 g (t ) ? 2at 2 ? t ? 1, ……………………………..9 分

当 a =0 时,解为 t ? ?1 ? 0 不成立;…………………………………10 分 当 a <0 时,开口向下,对称轴 x ? 当 a >0 时,开口向上,对称轴 x ?
1 ? 0 ,过点 (0, ?1) 不成立;…..12 分 4a 1 ? 0 ,过点 (0, ?1) 必有一根为正,符合要求。 4a

故 a 的取值范围为 (0, ??) ……………………………………………….14 分 23.解: (1)由函数 f ( x) ? m x ? n 的图像经过点 A(1,2) ,B(-1,0) , 得 m ? n ? 2 , - m ? n ? 0 ,解得 m ? n ? 1 ,从而 f ( x) ? x ? 1 . ……2 分 由函数 h( x) ? 2 p x (p>0)与函数 f ( x) ? x ? 1 的图像只有一个交点, 得 x - 2 p x ? 1 ? 0 , ? ? 4 p 2 ? 4 ? 0 ,又 p ? 0 ,从而 p ? 1 , . ? h( x) ? x (x≥0)
1 3 (2) F( x ) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) 2 ? 2 4

……4 分 (x≥0).
6

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当 x?

1 1 3 ,即 x ? 时, F( x ) min ? . ……6 分 2 4 4 1 1 ……8 分 F( x ) 在 [0, ] 为减函数,在 [ , ? ?] 为增函数. 4 4

(3)原方程可化为 log4 (x ? 1) ? log2 a ? x ? log2 4 ? x , 即 log 2 a ? x ?
1 log 2 ( x ? 1) ? log 2 4 ? x ? log 2 2

?

x ?1 ? 4 ? x .

?

?

?x ? 1 ? 0 ?4 ? x ? 0 ? ? ?a ? x ? 0 ? ?a ? x ? ( x ? 1)(4 ? x )

?

?1 ? x ? 4 ? . ?x ? a ?a ? ?( x ? 3) 2 ? 5 ?

……10 分

令 y ? ?(x ? 3) 2 ? 5 ,y=a.
y

5
4

1

O

1

3

4

x

如图所示, ①当 1 ? a ? 4 时,原方程有一解 x ? 3 ? 5 ? a ; ②当 4 ? a ? 5 时,原方程有两解 x1 ? 3 ? 5 ? a , x 2 ? 3 ? 5 ? a ; ③当 a=5 时,原方程有一解 x=3; ④当 a ? 1 或 a ? 5 时,原方程无解. ……14 分

7


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