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2017年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直关系课件新人_图文

2017年高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行、垂直关系课件新人_图文

第 1 课时

空间向量与平行、垂直关系

[核心必知]
1.预习教材,问题导入 根据以下提纲,预习教材 P102~P104 的内容,回答下列问题. (1)观察教材 P102-图 3.2-1(2), 向量 a 与直线 l 有什么关系?

a 与直线 l 平行 . 提示:_______________

(2)观察教材 P102-图 3.2-1(4),直线 l 与平面 α 的位置 关系是什么?a 与 l 是什么位置关系?
l 与平面 α 垂直,a 是 l 的方向向量 提示:____________________________________.

(3)观察教材 P103-图 3.2-2(1),直线 l 与平面 α 的位置 关系是什么?直线 l 的方向向量 u 与平面 α 的法向量 v 有什么关系?
l∥α,u⊥v 提示:________________ .

(4)观察教材 P103-图 3.2-2(2),直线 l 与平面 α 的位置关系 是什么?直线 l 的方向向量 u 与平面 α 的法向量 v 有什么 关系?

l⊥α,u∥v . 提示:______________
2.归纳总结,核心必记 (1)直线的方向向量

平行或共线 的向量. 直线的方向向量是指和这条直线___________

(2)平面的法向量
方向向量 a,则向量 a 叫做平 直线 l⊥α,取直线 l 的___________

面 α 的法向量. (3)空间平行关系的向量表示 ①线线平行 设直线 l,m 的方向向量分别为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,
a=λb ?a1=λ a2,b1=λb2, b2,c2),则 l∥m?a∥b?________

c1=λc2(λ∈R).

②线面平行 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量
a· u=0 ? 为 u = (a2 , b2 , c2) , 则 l∥α ? a⊥u ? ________
a1a2+b1b2+c1c2=0 . __________________

③面面平行 设平面 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,
u=λv ? a1 = λa2 , b1 = λb2 , c1 = c2) ,则 α∥β ? u∥v ? ______

λc2(λ∈R).

(4)空间垂直关系的向量表示 ①线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a=(a1,a2,a3),直线 m 的方向向量为 b

a1b1+a2b2+a3b3=0 . =(b1,b2,b3),则 l⊥m?a⊥b?a· b=0?___________________
②线面垂直 设直线 l 的方向向量是 a=(a1,b1,c1),平面 α 的法向量是 u = (a2 , b2 , c2) , 则

a=λu ? l⊥α ? a∥u ? _______

a1=λa2,b1=λb2,c1=λc2 (λ∈R). =___________________________

③面面垂直 若平面 α 的法向量 u=(a1,b1,c1),平面 β 的法向量 v=(a2,
u· v=0 ?__________________ a1a2+b1b2+c1c2=0 . b2,c2),则 α⊥β?u⊥v?________

[问题思考]
(1)直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗?若不唯一, 直线的方向向量之间的关系是怎样的?平面的法向量之间 的关系是怎样的?

直线的方向向量和平面的法向量不是唯一的,直线的 提示:______________________________________________ 不同方向向量是共线向量,平面的不同法向量是共线向量 ___________________________________________________.

(2)若直线 l 的方向向量为 u, 平面 α 的一个法向量为 v, 且 u⊥ v, 那么 l 与 α 平行吗?
不一定,也可能 l 在 α 内 提示:_______________________.

(3)若直线 l 的一个方向向量为 a, 向量 b∥α, c∥α 且 a⊥b, a⊥c , 则 l 与 α 有怎样的位置关系?

当 b 与 c 不共线时可得 l⊥α;当 b 与 c 共线时 l 提示:___________________________________________ 与 α 的位置关系不确定. __________________________.

(4)若向量 a⊥α,a∥β,则平面 α,β 有怎样的位置关系?

α⊥β . 提示:_______

[课前反思]
通过以上预习,必须掌握的几个知识点: (1)直线的方向向量和平面的法向量的定义是: ;

(2)若直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,则 l∥m 和 l⊥m 的条 件是: ;

(3)若直线 l 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 u, 则 l∥α 和 l⊥α 的条件是: ;

(4)若平面 α、β 的法向量分别为 u,v,则 α∥β 和 α⊥β 的条件 是: .

[思考]



是平面 α 内的两个不共线向量,如何

求平面 α 的一个法向量?
即 名师指津: 设平面的法向量为 n,则由 _______________________________________ 可求法向量 n. ________________.

讲一讲 1.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3, -2,0),求平面 α 的一个法向量.
[尝试解答] 因为 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2, 0),所以 AB =(1,-2,-4), AC =(2,-4,-3). 设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z),

? ?x-2y-4z=0, 即? ? ?2x-4y-3z=0.

得 z=0,x=2y,令 y=1, 则 x=2, 所以平面 α 的一个法向量为 n=(2,1,0).

利用待定系数法求法向量的解题步骤

练一练 1.四边形 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90°, SA⊥平面 ABCD,SA=AB=BC=2,AD=1.在 如图所示的坐标系 Axyz 中, 分别求平面 SCD 和 平面 SAB 的一个法向量.

解:A(0,0,0),D(1,0,0),C(2,2,0),S(0,0,2). ∵AD⊥平面 SAB,∴ AD =(1,0,0)是平面 SAB 的一个 法向量.

设平面 SCD 的法向量为 n=(1,y,z), 1 DC 则 n· =(1,y,z)· (1,2,0)=1+2y=0,∴y=-2. 1 DS 又 n· =(1,y,z)· (-1,0,2)=-1+2z=0,∴z=2.
? 1 1? ∴n=?1,-2,2?即为平面 ? ?

SCD 的一个法向量.

[思考]

如何利用向量证明空间中直线与直线平行、

直线与平面平行、平面与平面平行?

(1)空间两直线平行的充要条件是两直线的 名师指津: _____________________________________ 方向向量平行; (2)直线与平面平行的充要条件是直线在平 __________________________________________________ 面外且直线的方向向量与平面的法向量垂直; (3)平面与平 __________________________________________________ 面平行的充要条件是两平面的法向量平行. ________________________________________.

讲一讲 2.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2,E,F 分别 是 BB1,DD1 的中点,求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

[尝试解答]

如图所示建立空间直角坐标系 Dxyz.

则有 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2), 所以 FC1 =(0,2,1),

(1)设 n1=(x1, y1 , z1)是平面 ADE 的法向量, 则 n 1⊥ n1⊥ AE ,



令 z1=2,则 y1=-1, 所以 n1=(0,-1,2). 因为 所以 · n1=-2+2=0, ⊥n1.

又因为 FC1?平面 ADE, 所以 FC1∥平面 ADE. (2)因为 =(2,0,0),

设 n2=(x2,y2,z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.

由 n2⊥ FC1 ,n2⊥



? ?x2=0, 即? ? ?z2=-2y2.

令 z2=2,得 y2=-1, 所以 n2=(0,-1,2), 因为 n1=n2,即 n1∥n2, 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.

向量法证明平行问题的途径 (1) 利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量 间的相互转化,得到向量的共线关系; (2)通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量 和平面的法向量进行平行关系的证明.

练一练 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=4,AD=3,AA1=2, P,Q,R,S 分别是 AA1,D1C1,AB,CC1 的中点.求证: PQ∥RS.

证明:法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.

则 P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1),

∴PQ∥RS.

∴RS∥PQ.

[思考]

如何利用向量证明空间中的直线与直线垂直、 直线

与平面垂直、平面与平面垂直?

(1) 两直线垂直的充要条件是两直线的方向 名师指津:_________________________________________ 向量垂直;(2)直线与平面垂直的充要条件是直线的方向向 ______________________________________________________ 量与平面的法向量平行;(3)两平面垂直的充要条件是两平 ______________________________________________________ 面的法向量垂直. _________________.

讲一讲 3.如图, 在四棱锥 EABCD 中, AB⊥平面 BCE, CD⊥平面 BCE,AB=BC=CE=2CD=2, ∠BCE=120°.求证:平面 ADE⊥平面 ABE.
[尝试解答] 取 BE 的中点 O,连接 OC,则

OC⊥EB,又 AB⊥平面 BCE. ∴以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.如 图所示.

则由已知条件有 C(1,0,0),B(0, 3,0),E(0,- 3, 0),D(1,0,1),A(0, 3,2). 设平面 ADE 的法向量为 n=(a,b,c),

EA =(a,b,c)· 则 n· (0,2 3,2)=2 3b+2c=0,
DA =(a,b,c)· n· (-1, 3,1)=-a+ 3b+c=0.

令 b=1,则 a=0,c=- 3, ∴n=(0,1,- 3).

∵AB⊥平面 BCE, ∴AB⊥OC,又 OC⊥EB,且 EB∩AB=B, ∴OC⊥平面 ABE, ∴平面 ABE 的法向量可取为 m=(1,0,0). ∵n· m=(0,1,- 3)· (1,0,0)=0, ∴n⊥m,∴平面 ADE⊥平面 ABE.

(1)用向量法判定线面垂直,只需证明直线的方向向量 与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的 直线的方向向量垂直. (2)用向量法判定两个平面垂直,只需求出这两个平面 的法向量,再看它们的数量积是否为 0.

练一练 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别为 BB1,D1B1 的中点,求证:EF⊥平面 B1AC.

证明:设正方体的棱长为 2,建立如图所示的空间直角坐 标系,则 A(2,0,0),C(0,2,0),B1(2,2,2),E(2, 2,1),F(1,1,2).

法一: EF =(-1,-1,1), AB1 =(0,2,2), AC =(-2,2,0), ∴ · =(-1,-1,1)· (0,2,2)=0,

· =(-1,-1,1)· (-2,2,0)=0, ∴EF⊥AB1,EF⊥AC,又 AB1∩AC=A, ∴EF⊥平面 B1AC.

法二:设平面 B1AC 的法向量为 n=(x,y,z).

令 x=1,可得平面 B1AC 的一个法向量为 n=(1,1,-1). 又 =-n,∴ ∥n,∴EF⊥平面 B1AC.

——————— [课堂归纳· 感悟提升]——————— 1.本节课的重点是利用空间向量证明平行、垂直问题, 难点是求平面的法向量,也是本节课的易错点. 2.本节课要重点掌握的规律方法 (1)平面的法向量的求法,见讲 1; (2)利用向量证明平行问题,见讲 2; (3)利用向量证明垂直问题,见讲 3.

3.利用向量研究空间位置关系三步曲: (1)建系; (2)求直线的方向向量或平面的法向量; (3)利用向量的位置关系判断(证明)空间线线、线面、 面面位置关系.


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