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第二节(诱导公式)

第二节(诱导公式)


第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式

[知识能否忆起] 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 2kπ+α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α

kπ 对于角“ ± α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当 2 k 为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在 α 的三 角函数值前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. [小题能否全取] 1.sin 585° 的值为( A.- C.- 2 2 3 2 ) B. D. sin 585° =sin(360° +225° ) 2 2 3 2

解析:选 A

=sin 225° =sin(180° +45° )=-sin 45° =- 2 . 2 )

π 2.(教材习题改编)已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< ,则 θ 等于( 2 π A.- 6 π C. 6 π B.- 3 π D. 3

解析:选 D ∵sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),

∴-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3. π π ∵|θ|< ,∴θ= . 2 3 π ? sin? ?2+θ?-cos?π-θ? 3.已知 tan θ=2,则 =( π ? ? - θ sin?2 ?-sin?π-θ? A.2 C.0 B.-2 2 D. 3

)

cos θ+cos θ 2 2 解析:选 B 原式= = = =-2. cos θ-sin θ 1-tan θ 1-2 3π 1 ? 4.(教材习题改编)如果 sin(π+A)= ,那么 cos? ? 2 -A?的值是________. 2 1 1 解析:∵sin(π+A)= ,∴-sin A= . 2 2 3 1 ? ∴cos? ?2π-A?=-sin A=2. 1 答案: 2 1 5.已知 α 是第二象限角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 解析:由题意知 cos α<0,又 sin2α+cos2α=1, sin α 1 2 5 tan α= =- .∴cos α=- . cos α 2 5 2 5 答案:- 5

应用诱导公式时应注意的问题 (1)利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去 负号—脱周期—化锐角.特别注意函数名称和符号的确定. (2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.

同角三角函数的基本关系式

典题导入

[例 1] (1)(2012· 江西高考)若 tan θ+ 1 A. 5 1 C. 3 1 B. 4 1 D. 2

1 =4,则 sin 2θ=( tan θ

)

3π ? sin α-4cos α (2)已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,则5sin α+2cos α=________. 1 [自主解答] (1)∵tan θ+ =4, tan θ ∴ ∴ sin θ cos θ + =4, cos θ sin θ sin2θ+cos2θ 2 =4,即 =4, cos θsin θ sin 2θ

1 ∴sin 2θ= . 2 3π ? (2)法一:由 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?得 tan α=2. tan α-4 2-4 1 原式= = =- . 6 5tan α+2 5×2+2 法二:由已知得 sin α=2cos α. 2cos α-4cos α 1 原式= =- . 6 5×2cos α+2cos α [答案] (1)D 1 (2)- 6

在(2)的条件下,sin2α+sin 2α=________. sin2α+2sin αcos α tan2α+2tan α 8 解析:原式=sin2α+2sin αcos α= = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+1 8 答案: 5

由题悟法 sin α 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化,利用 =tan α 可以实现角 α 的弦切互 cos α 化. 2.应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二(参阅本节题型技法点拨). 3.注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 以题试法 1.(1)(2012· 长沙模拟)若角 α 的终边落在第三象限,则 cos α 2sin α 的值为( 2 + 1-sin α 1-cos2α )

A.3 C.1

B.-3 D.-1

(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,则 cos α=________. 解析:(1)由角 α 的终边落在第三象限得 sin α<0,cos α<0, cos α 2sin α cos α 2sin α 故原式= + = + =-1-2=-3. |cos α| |sin α| -cos α -sin α (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, ∵cos2α+sin2α=1, 3 6 ∴cos2α= ,即 cos α=± . 8 4 答案:(1)B (2)± 6 4

三角函数的诱导公式

典题导入 3π α- ? tan?π+α?cos?2π+α?sin? 2? ? [例 2] (1) =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?kπ+α? cos?kπ+α? (2)已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} [自主解答] (1)原式 B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} )

? π?? tan αcos αsin? ?-2π+?α+2?? = cos?3π+α?[-sin?3π+α?]
= π ? tan αcos αsin? ?2+α? ?-cos α?sin α tan αcos αcos α = ?-cos α?sin α

tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin α cos α (2)当 k 为偶数时,A= + =2; sin α cos α -sin α cos α k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α

[答案] (1)-1

(2)C 由题悟法

利用诱导公式化简求值时的原则 (1)“负化正”,运用-α 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数. (2)“大化小”,利用 k· 360° +α(k∈Z)的诱导公式将大于 360° 的角的三角函数化为 0° 到 360° 的三角函 数. (3)“小化锐”,将大于 90° 的角化为 0° 到 90° 的角的三角函数. (4)“锐求值”,得到 0° 到 90° 的三角函数后,若是特殊角直接求得,若是非特殊角可由计算器求得. 以题试法 2.(1)(2012· 滨州模拟)sin 600° +tan 240° 的值等于( A.- 3 2 1 2 B. 3 2 1 2 )

C. 3-

D. 3+

(2)已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中 α,β,a,b 均为非零实数,若 f(2 012)=-1,则 f(2 013) 等于________. 解析:(1)sin 600° +tan 240° =sin(720° -120° )+tan(180° +60° )=-sin 120° +tan 60° =- (2)由诱导公式知 f(2 012)=asin α+bcos β=-1, ∴f(2 013)=asin(π+α)+bcos(π-β)=-(asin α+bcos β)=1. 答案:(1)B (2)1 3 3 + 3= . 2 2

诱导公式在三角形中的应用

典题导入 [例 3] 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ABC 的三个内 角. [自主解答] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1, 即 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2 2 3 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角, 2 2

(1)当 cos A=

π π 7π ∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 4 6 12 (2)当 cos A=- 2 3 时,cos B=- , 2 2

3π 5π 又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意. 4 6

π π 7π 综上知,A= ,B= ,C= . 4 6 12 由题悟法 A B C π 1.诱导公式在三角形中经常使用,常用的角的变形有:A+B=π-C,2A+2B=2π-2C, + + = 2 2 2 2 A+B C 等,于是可得 sin(A+B)=sin C,cos =sin 等; 2 2 2.求角时,通常是先求出该角的某一个三角函数值,再结合其范围,确定该角的大小. 以题试法 3.在三角形 ABC 中, A+B C (1)求证:cos2 +cos2 =1; 2 2 π 3 +A?sin? π+B?tan (C-π)<0,求证:三角形 ABC 为钝角三角形. (2)若 cos? 2 ? ? ?2 ? A+B π C 证明:(1)在△ABC 中,A+B=π-C,则 = - , 2 2 2 A+B π C? C 所以 cos =cos? ?2- 2 ?=sin 2 , 2 A+B C 故 cos2 +cos2 =1. 2 2 π 3 +A?sin? π+B?tan (C-π)<0, (2)若 cos? ?2 ? ?2 ? 则(-sin A)(-cos B)tan C<0, 即 sin Acos Btan C<0, ∵在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,0<C<π,
? ? ?tan C<0, ?cos B<0, ∴sin A>0,? 或? ?tan C>0 ?cos B>0, ? ?

∴B 为钝角或 C 为钝角,故△ABC 为钝角三角形.

π 1 [典例] 已知- <x<0,sin x+cos x= , 2 5 则sin x-cos x= .

1 [常规解法] 由 sin x+cos x= ,与 sin2x+cos2x=1 5 1 ? ?sin x=5, ?sin x+cos x=5, 联立方程组? 解得? 3 ?sin2x+cos2x=1, ? ?cos x=-5 4

?sin x=-5, 或? 4 ?cos x=5, ?sin x=-5, ∴? 4 ?cos x=5,
7 [答案] - 5 3

3

π ∵- <x<0, 2

7 ∴sin x-cos x=- . 5

——————[高手支招]—————————————————————————— 1.上述解法易理解掌握,但计算量较大,很容易出错.若利用 sin α+cos α,sin α· cos α,sin α-cos α 三者之间的关系,即(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,问题迎刃而解. 2.对所求式子进行恒等变形时,注意式子正、负号的讨论与确定. —————————————————————————————————————— 1 [巧思妙解] sin x+cos x= ,两边平方得, 5 1 24 1+sin 2x= ,∴sin 2x=- . 25 25 49 ∴(sin x-cos x)2=1-sin 2x= , 25 π 又∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 7 ∴sin x-cos x=- . 5 针对训练 已知 sin θ、cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0 的两根,则 a=________. 解析:由题意知,原方程判别式 Δ≥0, 即(-a)2-4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.
? ?sin θ+cos θ=a, ∵? ? ?sin θcos θ=a,

又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,

∴a2-2a-1=0, ∴a=1- 2或 a=1+ 2(舍去). 答案:1- 2

1.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ<0,cos θ>0 C.sin θ>0,cos θ>0 解析:选 B B.sin θ>0,cos θ<0 D.sin θ<0,cos θ<0

)

sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.

∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0.∴cos θ<0. 2.(2012· 安徽名校模拟)已知 tan x=2,则 sin2x+1=( A.0 4 C. 3 解析:选 B 9 B. 5 5 D. 3 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 9 sin2x+1= 2 = = . sin x+cos2x tan2x+1 5 ) )

sin α+cos α 1 3.(2012· 江西高考)若 = ,则 tan 2α=( sin α-cos α 2 3 A.- 4 4 C.- 3 3 B. 4 4 D. 3

sin α+cos α tan α+1 1 解析:选 B ∵ = = ,∴tan α=-3. sin α-cos α tan α-1 2 2tan α 3 ∴tan 2α= = . 1-tan2α 4 π ? 24 4.(2013· 淄博模拟)已知 sin 2α=- ,α∈? ?-4,0?,则 sin α+cos α=( 25 1 A.- 5 7 C.- 5 解析:选 B 1 B. 5 7 D. 5 1 (sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+sin 2α= , 25 )

π ? 又 α∈? ?-4,0?,sin α+cos α>0, 1 所以 sin α+cos α= . 5

π 3 π -φ?= ,且|φ|< ,则 tan φ=( 5.已知 cos? 2 ? ? 2 2 A.- 3 3 B. 3 3

)

C.- 3

D. 3

π 3 ? 解析:选 D cos? ?2-φ?=sin φ= 2 , π 1 又|φ|< ,则 cos φ= ,所以 tan φ= 3. 2 2 π 6.已知 2tan α· sin α=3,- <α<0,则 sin α=( 2 A. 3 2 B.- 3 2 )

1 C. 2

1 D.- 2

2sin2α 解析:选 B 由 2tan α· sin α=3 得, =3, cos α π 即 2cos2α+3cos α-2=0,又- <α<0, 2 1 解得 cos α= (cos α=-2 舍去), 2 故 sin α=- 3 . 2

17π? ? 17π? 7.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是________. 17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 2. 4 4 4 4 答案: 2

sin θ+cos θ 3π ? 8.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? ? 2 -θ?=________. sin θ-cos θ sin θ+cos θ 解析: 由 =2, 得 sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ), 两边平方得: 1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos sin θ-cos θ θ), 3 故 sin θcos θ= , 10 3π ? 3 ∴sin(θ-5π)sin? ? 2 -θ?=sin θcos θ=10. 3 答案: 10 π ? 2 ? 2π? 9.(2013· 中山模拟)已知 cos? ?6-α?=3,则 sin?α- 3 ?=________. 2π? ? π ?π ?? 解析:sin? ?α- 3 ?=sin -2-?6-α?

?

?

π π 2 ?π ? -α?? =-sin?2+? ? ?6 ??=-cos?6-α?=-3. 2 答案:- 3 10.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan 945° . 解:原式=-sin 1 200° · cos 1 290° +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120° · cos 210° +cos 300° · (-sin 330° )+tan 225° =(-sin 60° )· (-cos 30° )+cos 60° · sin 30° +tan 45° = 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2

1 11.已知 cos(π+α)=- ,且 α 是第四象限角,计算: 2 (1)sin(2π-α); sin [α+?2n+1?π]+sin [α-?2n+1?π] (2) (n∈Z). sin?α+2nπ?cos?α-2nπ? 1 1 1 解:∵cos(π+α)=- ,∴-cos α=- ,cos α= . 2 2 2 又∵α 是第四象限角, ∴sin α=- 1-cos2α=- 3 . 2

(1)sin(2π-α)=sin [2π+(-α)]=sin(-α) =-sin α= 3 ; 2

sin [α+?2n+1?π]+sin [α-?2n+1?π] (2) sin?α+2nπ?· cos?α-2nπ? = = = = sin?2nπ+π+α?+sin?-2nπ-π+α? sin?2nπ+α?· cos?-2nπ+α? sin?π+α?+sin?-π+α? sin α· cos α -sin α-sin?π-α? sin α· cos α -2sin α sin αcos α

2 =- =-4. cos α 4 3? 12.(2012· 信阳模拟)已知角 α 的终边经过点 P? ?5,-5?. (1)求 sin α 的值; π ? sin? ?2-α? tan?α-π? (2)求 · 的值. sin?α+π? cos?3π-α? 解:(1)∵|OP|=1,

∴点 P 在单位圆上. 3 由正弦函数的定义得 sin α=- . 5 cos α tan α (2)原式= · -sin α -cos α = sin α 1 = , sin α· cos α cos α

4 5 由余弦函数的定义得 cos α= .故所求式子的值为 . 5 4

1+sin x 1 cos x 1.已知 =- ,那么 的值是( cos x 2 sin x-1 1 A. 2 C.2 1 B.- 2 D.-2

)

1+sin x sin x-1 sin2x-1 cos x 1 解析:选 A 由于 · = =-1,故 = . cos x cos x cos2x sin x-1 2 2.若角 α 的终边上有一点 P(-4,a),且 sin α· cos α= A.4 3 4 3 C.-4 3或- 3 B.± 4 3 D. 3 3 易得 tan α 4 3 ,则 a 的值为( 4 )

解析:选 C 依题意可知角 α 的终边在第三象限, 点 P(-4, a)在其终边上且 sin α· cos α= = 3或 3 4 3 ,则 a=-4 3或- . 3 3

3.已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两根. (1)求角 A; 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. cos2B-sin2B 解:(1)由已知可得, 3sin A-cos A=1.① 又 sin2A+cos2A=1, 所以 sin2A+( 3sin A-1)2=1, 即 4sin2A-2 3sin A=0, 得 sin A=0(舍去)或 sin A= π 2π 则 A= 或 , 3 3 π 2π 2π 将 A= 或 代入①知 A= 时不成立, 3 3 3 3 , 2

π 故 A= . 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, cos2B-sin2B 得 sin2B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2.

π π -α?=m,则 cos? +α?等于( 1.已知 sin? ?4 ? ?4 ? A.m C. 1-m2 B.-m D.- 1-m2

)

π ? 解析:选 A ∵sin? ?4-α?=m, π ? ?π ? ∴cos? ?4+α?=sin?4-α?=m. 1 ? 1 1 2.求证:sin θ(1+tan θ)+cos θ? ?1+tan θ?=sin θ+cos θ. sin θ ? ? cos θ? 证明:左边=sin θ? ?1+cos θ?+cos θ?1+ sin θ ? sin2θ cos2θ =sin θ+ +cos θ+ cos θ sin θ cos2θ? ? sin2θ ? sin θ+ cos θ+ =? + sin θ ? ? cos θ? ? = = sin2θ+cos2θ cos2θ+sin2θ + sin θ cos θ 1 1 + =右边. sin θ cos θ 2?π <α<π?.求下列各式的值: ? 3 ?2

3.已知 sin(π-α)-cos(π+α)= (1)sin α-cos α; π 3?π ? ? (2)sin3? ?2-α?+cos ?2+α?. 解:由 sin(π-α)-cos(π+α)= 得 sin α+cos α= 2 ,① 3

2 , 3

2 7 将①两边平方,得 1+2sin α· cos α= ,故 2sin α· cos α=- . 9 9

π 又 <α<π,∴sin α>0,cos α<0. 2 7? 16 4 (1)(sin α-cos α)2=1-2sin α· cos α=1-? ?-9?= 9 ,∴sin α-cos α=3. π 7 4 3?π 3 3 2 ? ? 1- ? = (2)sin3? sin α+sin2α)=- ×? ?2-α?+cos ?2+α?=cos α-sin α=(cos α-sin α)(cos α+cos α· 3 ? 18? - 22 . 27


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