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吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

吉林省松原市扶余县重点中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析


吉林省松原市扶余县重点中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题: 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4},则(?US)∪T 等于() A.{2,4} B.{4} C .? D.{1,3,4} 2. (5 分)已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4) ,且 A.﹣3 或 4 B.6 或 2 C.3 或﹣4 3. (5 分)函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的大致区间是() A.(﹣ ,0) B.(0, ) C .( , ) D.( , )
x

,则实数 x 的值是() D.6 或﹣2

4. (5 分)已知直线 m、n 与平面 α,β,给出下列三个命题: ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中真命题的个数是() A.0 B.1 C .2

D.3

5. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则 该几何体的体积是()

A.108cm

3

B.100cm
|x|

3

C.92cm
﹣0.3

3

D.84cm

3

6. (5 分)已知函数 f(x)=( ) ,设 a=f(2 是() A.a>c>b

) ,b=f(log20.3) ,c=f(ln10) ,则 a,b,c 的大小关系

B.b>a>c

C.c>a>b

D.a>b>c

7. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任一点,则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为() A.30° B.60° C.90° D.120° 8. (5 分)两直线 3x+y﹣3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为()

A.4

B.
2 2 2

C.

D.
2

9. (5 分)M(x0,y0)为圆 x +y =a (a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该圆的位置关系 为() A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 10. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直 ,M 是侧棱 BB′的中点,则二 面角 M﹣AC﹣B 的大小为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

11. (5 分)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,直线 BC′与平面 A′BD 所成的角的余弦值等于()

A.

B.

C.

D.

12. (5 分)对于函数 f(x)=ax +bx﹣ +d(其中 a,b, c∈R,d∈Z) ,选取 a,b,c,d 的一组值计算 f(m) 和 f(﹣m) ,所得出的正确结果一定不可能是() A.3 和 7 B.2 和 6

3

C.5 和 11

D.﹣1 和 4

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上,填在试卷上的答 案无效) 13. (5 分)若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b) (ab≠0)共线,则
2 2

的值等于.

14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x +y =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长 等于.

15. (5 分)将半径为 6 的圆形铁皮 减去面积为原来的 的扇形,余下的部分卷成一个圆锥的侧面,则其 体积为. 16. (5 分)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的 大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, ,则球 O 的表面积等于.

三、解答题: (共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (10 分)在直线 l:3x﹣y﹣1=0 上存在一点 P,使得:P 点到点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和 最小.求此时的距离之和. 18. (12 分)在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为 30km 的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西 70km 处,港口位于小岛中心正北 40km 处.如果轮船沿直 线返港,那么它是否会有触礁危险?为什么? 19. (12 分)如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1.

20. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣6x﹣4y+4=0,直线 l1 被圆所截得的弦的中点为 P(5,3) . ①求直线 l1 的方程. ②若直线 l2:x+y+b=0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. ③是否存在常数 b,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在,求出 b 的值;若不存 在,说明理由.

2

2

21. (12 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3) .

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在 x<0 时的值域. 22. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2BC=2BB1,沿平面 C1BD 把这个长方体截成两 个几何体:几何体(1) ;几何体(2)

( I)设几何体(1) 、几何体(2)的体积分为是 V1、V2,求 V1 与 V2 的比值 ( II)在几何体(2)中,求二面角 P﹣QR﹣C 的正切值.

吉林省松原市扶余县重点中学 2014-2015 学年高一上学期期末数 学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题: 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4},则(?US)∪T 等于() A.{2,4} B.{4} C. ? D.{1,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 利用集合的交、并、补集的混合运算求解. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4},集合 S={l,3},T={4}, ∴(?US)∪T={2,4}∪{4}={2,4}. 故选:A. 点评: 本题考查集合的交、并、补集的混合运算,是基础题,解题时要认真审题. 2. (5 分)已知点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4) ,且 A.﹣3 或 4 B. 6 或 2 C.3 或﹣4 考点: 专题: 分析: 解答: ,则实数 x 的值是() D.6 或﹣2

空间两点间的距离公式. 计算题. 利用空间两点之间的距离公式, 写出两点的距离的表示式, 得到关于 x 的方程, 求方程的解即可. 解:∵点 A(x,1,2)和点 B(2,3,4) , , ,


2

∴x ﹣4x﹣12=0 ∴x=6,x=﹣2 故选 D. 点评: 本题考查空间两点之间的距离,是一个基础题,题目的解法非常简单,若出现一定不要丢分.

3. (5 分)函数 f(x)=e +4x﹣3 的零点所在的大致区间是() A.(﹣ ,0) B.(0, ) C. ( , ) D.( , )

x

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 确定 f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= ﹣1>0,f( )= <0,f(1)=e+4

﹣3=e+1>0,根据零点存在定理,可得结论. x 解答: 解:∵函数 f(x)=e +4x﹣3 在 R 上是增函数, 求解:f(0)=1﹣3=﹣2<0,f( )= >0, ∴根据零点存在定理 ,可得函数 f(x)=2 +3x﹣4 的零点所在的大致区间是( , ) 故选:C. 点评: 本题考查零点存在定理,考查学生的计算能力,属于基础题. 4. (5 分)已知直线 m、n 与平面 α,β,给出下列三个命题: ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中真命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2
x

﹣1>0,f( )=

<0,f(1)=e+4﹣3=e+1

D.3

考点: 平面与平面之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 根据线面平行的性质,线面垂直的性质,面面平行的判定,结合空间点线面之间的关系,我们逐 一分析已知中的三个命题即可得到答案. 解答: 解:m∥α,n∥α,时,m 与 n 可能平行、可能异面也可能相交,故①错误; m∥α,n⊥α 时,存在直线 l?α,使 m∥l,则 n⊥l,也必有 n⊥m,故②正确; m⊥α,m∥β 时,直线 l?β,使 l∥m,则 n⊥β,则 α⊥β,故③正确; 故选 C 点评: 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握 空间线面关系的判定方法,建立良好的空间想象能力是解答本题的关键. 5. (5 分)已知某几 何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.108cm

3

B.100cm

3

C.92cm

3

D.84cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 立体几何. 分析: 由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3,砍去一个三条侧棱长分别为 4,4,3 的一 个三棱锥(长方体的一个角) .据此即可得出体积. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是一个棱长分别为 6,6,3, 砍去一个三条侧棱长分别为 4,4,3 的一个三棱锥(长方体的一个角) . ∴该几何体的体积 V=6×6×3﹣ 故选 B. =100.

点评: 由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.
|x|
﹣0.3

6. (5 分)已知函数 f(x)=( ) ,设 a=f(2 是() A.a>c>b

) ,b=f(log20.3) ,c=f(ln10) ,则 a,b,c 的大小关系

B.b>a>c

C.c>a>b

D.a>b>c

考点: 指数型复合函数的性质及应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 比较 2 ,log20.3,ln10 的绝对值的大小,结合指数函数的单调性即可解得此题. ﹣0.3 ﹣0.3 解答: 解:∵|2 |=2 <1, 1<|log20.3|=log2 ln10>2, ∴|2
﹣0.3 ﹣0.3

<2,

|<|log20.3|<|ln10|;
x

又 y=( ) 是减函数,

∴f(2 )>f(log20.3)>f(ln10) ; 故 a>b>c. 故选:D. 点评: 本题主要考察了利用指数型复合函数的单调性比较大小,属于中档题. 7. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,点 O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1 上任一点,则异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为() A.30° B.60° C.90° D.120° 考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出 异面直线 OP 与 AM 所成的角的大 小. 解答: 解:以 D 为原点,DA 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱长为 2,A1P=t(0≤t≤1) , A(2,0,0) ,M(0,0,1) O(1,1,0) ,P(2,t,2) , =(﹣2,0,1) , ∴ =(1,t﹣1,2) ,

﹣0.3

=﹣2+0+2=0,

∴异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小为 90°. 故选:C.

点评: 本题考查异面直线 OP 与 AM 所成的角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量 法合理运用. 8. (5 分)两直线 3x+y﹣3=0 与 6x+my+1=0 平行,则它们之间的距离为() A.4 B. C. D.

考点: 两条平行直线间的距离.

专题: 计算题;转化思想. 分析: 根据两直线平行(与 y 轴平行除外)时斜率相等,得到 m 的值,然后从第一条直线上取一点,求 出这点到第二条直线的距离即为平行线间的距离. 解答: 解:根据两直线平行得到斜率相等即﹣3=﹣ ,解得 m=2,则直线为 6x+2y+1=0, 取 3x+y﹣3=0 上一点(1,0)求出点到直线的距离即为两平行线间的距离, 所以 d= = .

故选 D 点评: 此题是一道基础题,要求学生会把两条直线间的距离转化为点到直线的距离. 9. (5 分)M(x0,y0)为圆 x +y =a (a>0)内异于圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a 与该圆的位置关系 为() A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径,因为 M 为圆内一点,所以 M 到圆心的距离小于圆的半径,利 用两点间的距离公式表示出一个不等式,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离 d, 根据求出的不等式即可得到 d 大于半径 r,得到直线与圆的位置关系是相离. 解答: 解:由圆的方程得到圆心坐标为(0,0) ,半径 r=a, 由 M 为圆内一点得到: <a,
2 2 2 2

则圆心到已知直线的距离 d=



=a=r,

所以直线与圆的位置关系为:相离. 故选 C 点评: 此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法,灵活运用两点间的距离 公式及点到直线的距离公式化简求值,是一道综合题. 10. (5 分)如图,三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,M 是侧棱 BB′的中点,则二 面角 M﹣AC﹣B 的大小为()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°

考点: 二面角的平面角及求法. 专题: 计算题.

分析: 由已知中三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直,易得三棱柱 ABC﹣A′B′C′ 为直三棱柱,△ ABC,MAC 均是以 AC 为底的等腰三角形,取 AC 的中点 D,连接 BD,MD,由二面角 的平面角的定义,可得∠MDB 即为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角,解 Rt△ MBD,即可求出二面角 M﹣AC ﹣B 的大小. 解答: 解:由已知中三棱柱 ABC﹣A′B′C′的所有棱长都相等,侧棱与底面垂直, 可得三棱柱 ABC﹣A′B′C′为直三棱柱 取 AC 的中点 D,连接 BD,MD, 则 MD⊥AC,BD⊥AC ∴∠MDB 即为二面角 M﹣AC﹣B 的平面角, 在 Rt△ MBD 中, ∵M 是侧棱 BB′的中点 ∴tan∠MDB= =

故∠MDB=30° 即二面角 M﹣AC﹣B 的大小 为 30° 故选 A 点评: 本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,其中由二面角的平面角的定义,证得∠MDB 即为 二面角 M﹣AC﹣B 的平面角,是解答本题的关键. 11. (5 分)在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,直线 BC′与平面 A′BD 所成的角的余弦值等于()

A.

B.

C.

D.

考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题. 分析: 以 A 点为坐标原点,以 AB,AD,AA′方向为 x,y,z 轴正方向建立空间坐标系,分别求出直线 BC′的方向向量与平面 A′BD 的法向量坐标,代入向量夹角公式,求出直线 BC′与平面 A′BD 所成的角的正 弦值,再由同角三角函数关系即可求出直线 BC′与平面 A′BD 所成的角的余弦值. 解答: 解:以 A 点为坐标原点,以 AB,AD,AA′方向为 x,y,z 轴正方向建立空间坐标系 则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C′(1,1,1) 则 =(0,1,1) =(1,1,1)为平面 A′BD 的一个法向量

由正方体的几何特征易得向量

设直线 BC′与平面 A′BD 所成的角为 θ 则 sinθ= =

则 cosθ= 故选 B 点评: 本题考查的知识点是直线与平面所成的角,其中建立空间坐标系,将线面夹角问题,转化为向量 夹角问题是解答本题的关键. 12. (5 分)对于函数 f(x)=ax +bx﹣ +d(其中 a,b,c∈R,d∈Z) ,选取 a,b,c,d 的一组值计算 f(m) 和 f(﹣m) ,所得出的正确结果一定不可能是() A.3 和 7 B. 2 和 6 C.5 和 11 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 在函数解析中分别取 x=m 和 x=﹣m,两式相加后得到 d= (m)和 f(﹣m)的和为偶数,由此可得答案. 解答: 解:∵f(x)=ax +bx﹣ +d ∴f(m)=am +bm﹣ +d,f(﹣m)=﹣am ﹣bm+ +d f(m)+f(﹣m)=2d,即 d= .
3 3 3 3

D.﹣1 和 4

,由 d 为整数可得 f

因为 d 为整数,而选项 A、B、C、D 中两个数之和除以 2 不为整数的是选项 D 所以正确结果一定不可能的为 D. 故选:D. 点评: 本题考查了函数奇偶性的性质,考查了学生分析问题和解决问题的能力,解答此题的关键是由 d= 判断 f(m)和 f(﹣m)的和为偶数,是基础题.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题卡的横线上,填在试卷上的答 案无效) 13. (5 分)若三点 A(2,2) ,B(a,0) ,C(0,b) (ab≠0)共线,则 的值等于 .

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示;平面向量的坐标运算. 分析: 三点共线得两向量共线,用两向量共线的坐标公式列方程求解. 解答: 解: 依题意知 , , ,

有(a﹣2)?(b﹣2)﹣4=0 即 ab﹣2a﹣2b=0 所以 故答案为 =

点评: 考查两向量共线的充要条件. 14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x +y =4 相交于 A、B 两点,则弦 AB 的长 等于 . 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆的位置关系. 计算题. 求出圆心到直线 3x+4y﹣5=0 的距离,利用勾股定理,可得结论. 2 2 解:圆 x +y =4 的圆心坐标为(0,0) ,半径为 2 =1
2 2

∵圆心到直线 3x+4y﹣5=0 的距离为 ∴弦 AB 的长等于 2 =

故答案为: 点评: 本题考查圆心到直线的距离,考查垂径定理,考查学生的计算能力,属于基础题.

15. (5 分)将半径为 6 的圆形铁皮 减去面积为原来的 的扇形,余下的部分卷成一个圆锥的侧面,则其 体积为 π.

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由题意可得剩下的扇形是整个圆的 , 设卷成的圆锥的底面半径为 r, 利用扇形的弧长就等于圆锥 的底面的周长求得 r 的值,可得圆锥的高,从而求得圆锥的体积. 解答: 解:由题意可得剩下的扇形是整个圆的 ,设卷成的圆锥的底面半径为 r, 根据 2πr= ×2π×6,求得 r=5,则圆锥的高为 h= 故圆锥的体积为 ?πr ?h= ×π×25? 故答案为: π.
2

= ,



=

点评: 本题主要考查求圆锥的体积,注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长,属于基础题. 16. (5 分)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, ,则球 O 的表面积等于 16π.

考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 压轴题;空间位置关系与距离. 正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论. 解:如图所示,设球 O 的半径为 r,AB 是公共弦,∠OCK 是面面角 ,CK=

根据题意得 OC=

在△ OCK 中,OC =OK +CK ,即 ∴r =4 2 ∴球 O 的表面积等于 4πr =16π 故答案为 16π
2

2

2

2

点评: 本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题: (共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 17. (10 分)在直线 l:3x﹣y﹣1=0 上存在一点 P,使得:P 点到点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和 最小.求此时的距离之和. 考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆.

分析: 设点 B(3,4)关于直线 l:3x﹣y﹣1=0 的对称点为 B′(a,b) ,可得 解得 a,b,则|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|. 解答: 解:设点 B(3,4)关于直线 l:3x﹣y﹣1=0 的对称点为 B′(a,b) ,







解得 a= ,b=

,∴B′

. = .

∴|PA|+|PB|取得最小值=|AB′|=

点评: 本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系,属于基础题. 18. (12 分)在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛的中心为圆心,半径为 30km 的圆形区域.已知小岛中心位于轮船正西 70km 处,港口位于小岛中心正北 40km 处.如果轮船沿直 线返港,那么它是否会有触礁危险?为什么? 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;直线与圆.

分析: 我们以港口中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系.进而可推断出以小岛 的中心为圆心,半径为 30km 的圆形区域所对应的圆的方程,及轮船航线所在直线 l 的方程,进而求得圆 心到直线的距离,解果大于半径推断出轮船没有触礁危险. 解答: 解:我们以港口中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系. 2 2 2 这样,以小岛的中心为圆心,半径为 30km 的圆形区域所对应的圆的方程为 x +y =30 ① 轮船航线所在直线 l 的方程为 ,即 4x+7y﹣280=0②

如果圆 O 与直线 l 有公共点,则轮船有触礁危险,需要改变航向;如果 O 与直线 l 无公共点,则轮船没有 触礁危险,无需改变航向. 由于圆心 O(0,0)到直线 l 的距离 d= >30,

所以直线 l 与圆 O 无公共点.这说明轮船将没有触礁危险,不用改变航向. 点评: 本题主要考查了根据实际问题选择函数类型.解题的关键是看圆与直线是否有交点. 19. (12 分)如图,已知斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B∥平面 ADC1.

考点: 平面与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离 . 分析: (1)由 D 为等腰三角形底边 BC 的中点,利用等腰三角形的性质可得 AD⊥BC,再 利用已知面 面垂直的性质即可证出. (2)证法一:连接 A1C,交 AC1 于点 O,再连接 OD,利用三角形的中位线定理,即可证得 A1B∥OD, 进而再利用线面平行的判定定理证得. 证法二:取 B1C1 的中点 D1,连接 A1D1,DD1,D1B,可得四边形 BDC1D1 及 D1A1AD 是平行四边形.进 而可得平面 A1BD1∥平面 ADC1.再利用线面平行的判定定理即可证得结论. 解答: (本小题满分 14 分) 证明: (1)因为 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC. 因为平面 ABC⊥平面 BCC1B1,平面 ABC∩平面 BCC1B1=BC,AD?平面 ABC, 所以 AD⊥平面 BCC1B1. …(5 分) 因为 DC1?平面 BCC1B1,所以 AD⊥DC1. …(7 分) (2) (证法一) 连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 OD,则 O 为 A1C 的中点. 因为 D 为 BC 的中点,所以 OD∥A1B. …(11 分) 因为 OD?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以 A1B∥平面 ADC1. …(14 分) (证法二)

取 B1C1 的中点 D1,连接 A1D1,DD1,D1B.则 D1C1

BD.

所以四边形 BDC1D1 是平行四边形.所以 D1B∥C1D. 因为 C1D?平面 ADC1,D1B?平面 ADC1, 所以 D1B∥平面 ADC1. 同理可证 A1D1∥平面 ADC1. 因为 A1D1?平面 A1BD1,D1B?平面 A1BD1,A1D1∩D1B=D1, 所以平面 A1BD1∥平面 ADC1. …(11 分) 因为 A1B?平面 A1BD1,所以 A1B∥平面 ADC1. …(14 分)

点评: 本题考查了线面垂直和线面平行,充分理解其判定定理和性质定理是解决问题的关键.遇到中点 添加辅助线常想到三角形的中位线或平行四边形. 20. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣6x﹣4y+4=0,直线 l1 被圆所截得的弦的中点为 P(5,3) . ①求直线 l1 的方程. ②若直线 l2:x+y+b=0 与圆 C 相交,求 b 的取值范围. ③是否存在常数 b,使得直线 l2 被圆 C 所截得的弦的中点落在直线 l1 上?若存在,求出 b 的值;若不存 在,说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用;直线与圆的位置关系.
2 2

专题: 计算题;综合题. 分析: (1) 设直线 l1 的斜率为则 k, 由题意可得圆心 C(3, 2) , 又弦的中点为 P (5, 3) , 可求得 kPC= , 由 k?kPC=﹣1 可求 k,从而可求直线 l1 的方程; (2)若直线 l2:x+y+b=0 与圆 C 相交,圆心到直线 l2 的距离小于半径,从而可求得 b 的取值范围; (3) 设直线 l2 被圆 C 解得的弦的中点为 M (x°, y°) , 由直线 l2 与 CM 垂直, 可得 x°﹣y°﹣1=0, 与 x°+y°+b=0 联立可求得 x0,y0,代入直线 l1 的方程,求得 b,验证即可. 2 2 解答: 解:①∵圆 C 的方程化标准方程为: (x﹣3) +(y﹣2) =9, ∴圆心 C(3,2) ,半径 r=3.设直线 l1 的斜率为则 k,则 k=﹣ =﹣ =﹣2.

∴直线 l1 的方程为:y﹣3=﹣2(x﹣5)即 2x+y﹣13=0. ②∵圆的半径 r=3, ∴要使直线 l2 与圆 C 相交则须有: ∴|5|<3 于是 b 的取值范围是:﹣3 <3, ﹣5<b<3 ﹣ 5. =1,

③设直线 l2 被圆 C 解得的弦的中点为 M(x°,y°) ,则直线 l2 与 CM 垂直,于是有: 整理可得:x°﹣y°﹣1=0. 又∵点 M(x°,y°)在直线 l2 上, ∴x°+y°+b=0

∴由

解得:

代入直线 l1 的方程得:1﹣b﹣

﹣13=0,

∴b=﹣

∈(﹣3

﹣5,3

﹣5) ,

故存在满足条件的常数 b. 点评: 本题考查直线和圆的方程的应用,着重考查通过圆心到直线间的距离与圆的半径的大小判断二者 的位置关系,属于中档题.

21. (12 分)已知函数 f(x)=

是奇函数,并且函数 f(x)的图象经过点(1,3) .

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在 x<0 时的值域. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据题意和奇函数的性质可得:f(1)=3、f(﹣1)=﹣3,列出关于 a、b 的方程组,求出 a、b 的值; x (Ⅱ)由(Ⅰ)求出 f(x)的解析式,由 x<0 和指数函数的单调性得:0<2 <1,再求出函数 f(x)的 值域. 解答: 解: (Ⅰ)因为函数 f(x)的图象经过点(1,3) ,

所以 f(1)=3,即

,①

因为 f(x)=

是奇函数,

所以 f(﹣1)=﹣3,即

,②

由①②解得 a=1,b=﹣1, 所以实数 a,b 的值为 1、﹣1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得,
x x

=



又 x<0,则 0<2 <1,﹣1<2 ﹣1<0, 所以 ,即 ,

故函数 f(x)在 x<0 时的值域为(﹣∞,﹣1) . 点评: 本题考查奇函数的性质,指数函数的性质的综合应用,考查待定系数法求函数的解析式. 22. (12 分)如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AB=2BC=2BB1,沿平面 C1BD 把这个长方体截成两 个几何体:几何体(1) ;几何体(2)

( I)设几何体(1) 、几何体(2)的体积分为是 V1、V2,求 V1 与 V2 的比值 ( II)在几何体(2)中,求二面角 P﹣QR﹣C 的正切值. 考点: 二面角的平面角及求法;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间角. 分析: ( I)根据空间几何体的形状结合棱锥和棱柱的体积公式即可求几何体(1) 、几何体(2)的体积 以及求 V1 与 V2 的比值. ( II)求出二面角的平面角,结合三角形的边角关系即可求出二面角的大小. 解答: 解( I)设 BC=a,则 AB=2a,BB1=a,所以 ﹣﹣(2 分) 因为 ﹣﹣﹣(4 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

所以

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

( II)由点 C 作 CH⊥QR 于点 H,连结 PH,因为 PC⊥面 CQR,QR?面 CQR,所以 PC⊥QR 因为 PC∩CH=C,所以 QR⊥面 PCH,又因为 PH?面 PCH, 所以 QR⊥PH, 所以∠PHC 是二面角 P﹣QR﹣C 的平面角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (9 分) 而 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题主要考查空间几何体的体积的计算以及空间二面角的求解,要求熟练掌握空间几何体的体积 的计算公式以及二面角平面角的求解,考查学生的推理能力.


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