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2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案:第一章 3 第二课时 组合的应用 Word版含解析高品质版

2017-2018学年高中数学北师大版选修2-3教学案:第一章 3 第二课时 组合的应用 Word版含解析高品质版

第二课时 组合的应用

[对应学生用书P12]

有限制条件的组合问题 [例 1] 2011 年 7 月 23 日,甬温线发生特大铁路交通事故,某医院从 10 名医疗专家中 抽调 6 名奔赴事故现场抢救伤员,其中这 10 名医疗专家中有 4 名是外科专家.问: (1)抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种? (2)至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? (3)至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种? [思路点拨] 选取医疗专家不需要考虑顺序,因此是组合问题,解答本题应首先分清 “恰有”“至少”“至多”的含义,正确的分类或分步. [精解详析] (1)分两步:首先从 4 名外科专家中任选 2 名,有 C24种选法,再从除外科 专家的 6 人中选取 4 人,有 C46种选法,所以共有 C24C46=90 种抽调方法. (2)“至少”的含义是不低于,有两种解答方法, 法一(直接法):按选取的外科专家的人数分类: ①选 2 名外科专家,共有 C24C46种选法; ②选 3 名外科专家,共有 C34C36种选法; ③选 4 名外科专家,共有 C44C26种选法. 根据分类加法计数原理,共有 C42C46+C34C63+C44C26=185 种抽调方法. 法二(间接法):不考虑是否有外科专家,共有 C610种选法,若选取 1 名外科专家参加, 有 C14C56种选法;没有外科专家参加,有 C66种选法,所以共有 C160-C14C56-C66=185 种抽调方法. (3)“至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况,分类解答. ①没有外科专家参加,有 C66种选法; ②有 1 名外科专家参加,有 C14C56种选法; ③有 2 名外科专家参加,有 C24C46种选法. 所以共有 C66+C14C56+C24C64=115 种抽调方法. [一点通] (1)解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样,都 是遵循“谁特殊谁优先”的原则,在此前提下,采用分类或分步法或用间接法. (2)要正确理解题中的关键词,如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义,正 确分类,合理分步.

(3)要谨防重复或遗漏,当直接法中分类较复杂时,可考虑用间接法处理,即“正难则 反”的策略.

1.某乒乓球队有 9 名队员,其中 2 名是种子选手,现在挑选 5 名选手参加比赛,种子

选手都必须在内,那么不同的选手共有( )

A.26

B.84

C.35

D.21

解析:从 7 名队员中选出 3 人有 C37=73× ×62× ×51=35 种选法.

答案:C

2.从 5 名男医生,4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医

生都有,则不同的组队方案共有( )

A.70 种

B.80 种

C.100 种

D.140 种

解析:可分两类,男医生 2 名,女医生 1 名或男医生 1 名,女医生 2 名.∴共有 C25C14+

C51C24=70 种.

答案:A

3.某医科大学的学生中,有男生 12 名女生 8 名在某市人民医院实习,现从中选派 5

名参加青年志愿者医疗队.

(1)某男生甲与某女生乙必须参加,共有多少种不同的选法?

(2)甲、乙均不能参加,有多少种选法?

(3)甲、乙二人至少有一人参加,有多少种选法? 解:(1)只需从其他 18 人中选 3 人即可,共有选法 C318=816 种. (2)只需从其他 18 人中选 5 人即可,共有选法 C518=8 568 种. (3)分两类:甲、乙中只有一人参加,则有 C12·C148种选法;甲、乙两人都参加,则有 C318 种选法.

故共有选法 C12C418+C138=6 936 种.

几何中的组合问题

[例 2] 平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外无 3 点共线.

(1)经过这 9 个点,可确定多少条直线?

(2)以这 9 个点为顶点,可以确定多少个三角形?

(3)以这 9 个点为顶点,可以确定多少个四边形?

[思路点拨] 解答本题可用直接法或间接法进行.

[精解详析] 法一(直接法):

共线的 4 点记为 A,B,C,D.

(1)第一类:A,B,C,D 确定 1 条直线;

第二类:A,B,C,D 以外的 5 个点可确定 C25条直线;

(2 分)

第三类:从 A,B,C,D 中任取 1 点,其余 5 点中任取 1 点可确定 C41C15条直线.

(3 分)

根据分类加法计数原理,共有不同直线

1+C25+C14C15=1+10+20=31 条.

(4 分)

(2)第一类:从 A,B,C,D 中取 2 个点,可得 C42C15个三角形;

第二类:从 A,B,C,D 中取 1 个点,可得 C41C25个三角形;

第三类:从其余 5 个点中任取 3 点,可得 C35个三角形.共有 C24C15+C14C25+C35=80 个三

角形.

(8 分)

(3)分三类:从其余 5 个点中任取 4 个,3 个,2 个点共得 C45+C35C14+C25C24=105 个四边

形.

(12

分)

法二(间接法): (1)可确定直线 C29-C24+1=31 条. (2)可确定三角形 C39-C34=80 个. (3)可确定四边形 C49-C44-C34C15=105 个. [一点通] 利用组合知识解决与几何有关的问题,要注意:①几何图形的隐含条件:如

三角形的三个顶点不共线;四边形的四个顶点中任意三点都不共线等.②根据实际情况选择

直接法或间接法.③确定分类的标准,合理分类.

4.从正方体 ABCD-A′B′C′D′的 8 个顶点中选取 4 个,作为四面体的顶点,可得

到的不同四面体的个数为( )

A.C48-12

B.C48-8

C.C48-6

D.C48-4

解析:从 8 个顶点中任取 4 个有 C48种方法,其中 6 个面和 6 个对角面上的四个顶点不

能作为四面体的顶点,故有(C48-12)个不同的四面体.

答案:A

5.正六边形的中心和顶点共 7 个点,以其中 3 个点为顶点的三角形共有________个.

解析:C37-3=32. 答案:32

6.平面内有两组平行线,一组有 m 条,另一组有 n 条,这两组平行线相交,可以构成

__________个平行四边形.

解析:第一步,从 m 条中任选 2 条有 C2m种选法; 第二步,从 n 条中任选 2 条有 C2n种选法. 由分步乘法计数原理,得共有 C2mC2n. 答案:C2mCn2
解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法). (1)用直接法求解时,则应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则. (2)选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算 量较大,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.不妨从反面问题入手,试试 看是否简捷些.此时,正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义 是解决这些组合问题的关键.

[对应课时跟踪训练?五?]

1.9 件产品中,有 4 件一等品,3 件二等品,2 件三等品,现在要从中抽出 4 件产品,

抽出产品中至少有 2 件一等品的抽法种数为( )

A.81

B.60

C.6

D.11

解析:分三类:

恰有 2 件一等品,有 C24C25=60 种取法; 恰有 3 件一等品,有 C34C15=20 种取法; 恰有 4 件一等品,有 C44=1 种取法.

∴抽法种数为 60+20+1=81.

答案:A

2.以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有( )

A.6 个

B.12 个

C.18 个

D.30 个

解析:从 6 个顶点中任取 4 个有 C46=15 种取法,其中四点共面的有 3 种.所以满足题 意的四面体有 15-3=12 个.

答案:B

3.从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有

入选的不同选法的种数为( )

A.85

B.56

C.49

D.28

解析:由条件可分为两类:一类是甲、乙两人只有一人入选,有 C12·C27=42 种不同选法, 另一类是甲、乙都入选,有 C22·C17=7 种不同选法,所以共有 42+7=49 种不同选法.
答案:C

4.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不

同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数

字相同的信息个数为( )

A.10

B.11

C.12

D.15

解析:与信息 0110 至多有两个位置上的数字对应相同的信息包括三类:

第一类:与信息 0110 只有两个对应位置上的数字相同有 C24=6 个; 第二类:与信息 0110 只有一个对应位置上的数字相同有 C14=4 个; 第三类:与信息 0110 没有一个对应位置上的数字相同有 C04=1 个. ∴与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息有 6+4+1=11 个.

答案:B

5.(大纲全国卷)从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,

则可能的决赛结果共有________种.(用数字作答)

解析:第一步决出一等奖 1 名有 C16种情况,第二步决出二等奖 2 名有 C25种情况,第三 步决出三等奖 3 名有 C33种情况,故可能的决赛结果共有 C16C25C33=60 种情况.
答案:60

6.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于上课时间相同,至多选一门.学

校规定,每位同学选修 4 门,共有________种不同选修方案.(用数字作答)

解析:分两类完成:

第一类,A,B,C 三门课程都不选,有 C46种不同的选修方案; 第二类,A,B,C 三门课程恰好选修一门,有 C31·C36种不同选修方案. 故共有 C46+C13·C63=75 种不同的选修方案. 答案:75

7.12 件产品中,有 10 件正品,2 件次品,从这 12 件产品中任意抽出 3 件.

(1)共有多少种不同的抽法?

(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有多少种?

(3)抽出的 3 件中至少有 1 件次品的抽法有多少种?

解:(1)有 C312=220 种抽法. (2)分两步:先从 2 件次品中抽出 1 件有 C12种方法;再从 10 件正品中抽出 2 件有 C120种 方法,

所以共有 C12C210=90 种抽法.

(3)法一(直接法):分两类:即包括恰有 1 件次品和恰有 2 件次品两种情况,与(2)小题类 似共有 C12C210+C22C110=100 种抽法.
法二(间接法):从 12 件产品中任意抽出 3 件有 C312种方法,其中抽出的 3 件全是正品的 抽法有 C310种方法,所以共有 C312-C310=100 种抽法.
8.10 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出 4 只,试求各有多少种情况 出现如下结果:
(1)4 只鞋子没有成双的; (2)4 只鞋子恰成两双; (3)4 只鞋中有 2 只成双,另 2 只不成双. 解:(1)从 10 双鞋子中选取 4 双,有 C410种不同选法,每双鞋子中各取一只,分别有 2 种取法,根据分步乘法计数原理,选取种数为 N=C410·24=3 360(种). 即 4 只鞋子没有成双有 3 360 种不同取法. (2)从 10 双鞋子中选取 2 双有 C210种取法, 所以选取种数为 N=C210=45(种), 即 4 只鞋子恰成双有 45 种不同取法. (3)先选取一双有 C110种选法,再从 9 双鞋中选取 2 双有 C92种选法,每双鞋只取一只各有 2 种取法.根据分步乘法计数原理,不同取法为 N=C110C92·22=1 440(种).
随着年岁的叠加,我们会渐渐发现:越是有智慧的人,越是谦虚,因为昂头的只是稗子,低头的才是稻子;越是富有的人,越是高贵,因为真正的富裕是灵魂上的高贵以及精神世界的富足; 越是优秀的人,越是努力,因为优秀从来不是与生俱来,从来不是一蹴而就。随着沧桑的累积,我们也会慢慢懂得:成功的路,其实并不拥挤,因为能够坚持到底的人实在太少;所有优秀的 人,其实就是活得很努力的人,所谓的胜利,其实最后就是自身价值观的胜利。人到中年,突然间醒悟许多,总算明白:人生,只有将世间的路一一走遍,才能到尽头;生活,只有将尘世况 味种种尝遍,才能熬出头。这世间,从来没有最好,只有更好。每天,总想要努力醒得比太阳还早,因为总觉得世间万物,太阳是最能赐人力量和能量的。每当面对喷薄的日出,心中的太阳 随之冉冉腾起,生命之火熊熊燃烧,生活的热情就会光芒四射。我真的难以想象,那些从来不早起的人,一生到底能够看到几回日升?那些从来没有良好习惯的人,活到最后到底该是多么的 遗憾与愧疚?曾国藩说:早晨不起,误一天的事;幼时不学,误一生的事。尼采也说:每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。光阴易逝,岂容我待?越是努力的人,越是没有时间抱怨, 越是没有工夫颓丧。每当走在黎明的曙光里,看到那些兢兢业业清洁城市的“美容师”,我就会由衷地欣赏并在心底赞叹他们,因为他们活得很努力很认真。每当看见那些奔跑在朝霞绚烂里的 晨练者,我就会从心里为他们竖起大拇指,因为他们给自己力量的同时,也赠予他人能量。我总觉得:你可以不优秀,但你必须有认真的态度;你可以不成功,但你必须努力。这个世界上, 从来没有谁比谁更优秀,只有谁比谁更努力。我也始终认为:一个活得很努力的人,自带光芒万丈;一个人认真的样子,比任何时候都要美好;一个能够自律自控的人,他的人生也就成功了 大半。世间每一种的好,从来都只为懂得努力的人盛装而来。有时候,我真的感觉,人生的另一个名字应该叫做努力,努力了就会无悔,努力了就会无愧;生活的另一种说法应该叫做煎熬, 熬过了漫漫黑夜,天就亮了,熬过了萧萧冬日,春天就来了。人生不易,越努力越幸运;余生不长,越珍惜越精彩。人生,是一本太仓促的书,越认真越深刻;生命,是一条无名的河,越往 前越深邃。愿你不要为已逝的年华叹息,不要为前路的茫茫而裹足不前愿你相信所有的坚持总能奏响黎明的号角,所有的努力总能孕育硕果的盛驾光临。愿你坚信越是成功的人越是不允许自 己颓废散漫,越是优秀的人越是努力……生活中很多时候,我们遇到一些复杂的情况,会很容易被眼前的障碍所蒙蔽,找不到解决问题的方法。这时候,如果能从当前的环境脱离出来,从一 个新角度去解决问题,也许就会柳暗花明。一个土豪,每次出门都担心家中被盗,想买只狼狗栓门前护院,但又不想雇人喂狗浪费银两。苦思良久后终得一法:每次出门前把 WiFi 修改成无密 码,然后放心出门每次回来都能看到十几个人捧着手机蹲在自家门口,从此无忧。护院,未必一定要养狗换个角度想问题,结果大不同。一位大爷到菜市场买菜,挑了 3 个西红柿到到秤盘, 摊主秤了下:“一斤半 3 块 7。”大爷:“做汤不用那么多。”去掉了最大的西红柿。摊主:“一斤二两,3 块。”正当身边人想提醒大爷注意秤时,大爷从容的掏出了七毛钱,拿起刚刚去掉的那个 大的西红柿,潇洒地换种算法,独辟蹊径,你会发现解决问题的另一个方法。生活中,我们特别容易陷入非 A 即 B 的思维死角,但其实,遭遇两难困境时换个角度思考,也许就会明白:路的

旁边还有路。一个鱼塘新开张,钓费 100 块。钓了一整天没钓到鱼,老板说凡是没钓到的就送一只鸡。很多人都去了,回来的时候每人拎着一只鸡,大家都很高兴!觉得老板很够意思。后来, 钓鱼场看门大爷告诉大家,老板本来就是个养鸡专业户,这鱼塘本来就没鱼。巧妙的去库存,还让顾客心甘情愿买单。新时代,做营销,必须打破传统思维。孩子不愿意做爸爸留的课外作业, 于是爸爸灵机一动说:儿子,我来做作业,你来检查如何?孩子高兴的答应了,并且把爸爸的“作业”认真的检查了一遍,还列出算式给爸爸讲解了一遍不过他可能怎么也不明白为什么爸爸 所有作业都做错了。巧妙转换角色,后退一步,有时候是另一种前进。一个博士群里有人提问:一滴水从很高很高的地方自由落体下来,砸到人会不会砸伤?或砸死?群里一下就热闹起来, 各种公式,各种假设,各种阻力,重力,加速度的计算,足足讨论了近一个小时 后来,一个不小心进错群的人默默问了一句:你们没有淋过雨吗 人们常常容易被日常思维所禁锢,而忘却了 最简单也是最直接的路有两个年轻人,大学毕业后一起到广州闯天下。 甲很快做成一单大生意,升为部门经理;乙业绩很差,还是一个业务员,并且是甲的手下。乙心理不平衡,就去庙里找和尚,求神明相助。和尚说:“你过三年再看。”三年后,他找到和尚, 很沮丧地说甲现在已经是总经理了。和尚说:再过三年再看。三年 又过去了,他又去见和尚,气急败坏地说:甲已经自己当老板了。和尚说:我也从普通和尚升为方丈了。我们都是自己,你 是谁?我们都为自己活着,监管着自己的责任,你在干什么?你痛苦地为甲活着,监管着他,你丢的不是职位、金钱和面子,你丢掉了自己。一年后,乙又来了,幸灾乐祸地说:和尚你不对, 甲公司破产,他坐牢了。和尚无语,心里悲悯:坐牢了,破产了,甲还是他自己。可是你这个可怜的人啊,还不是你自己呀。十年后,甲在监狱里服刑时,思索人生,写了一本书,很轰动, 成了畅销书。签名售书,成了名人,无限风光。甲还在电视上与和尚一起,作为名人谈经论道、感化众生。乙在出租屋里看电视,手里翻着甲的书,内心极度痛苦。他给和尚发短信:我相信 命运了,甲坐牢都能坐出好风光来。你还没找到自己乙就这样一辈子把自己给弄丢了。你看到别人一路畅通时,心中是否会愤愤不平?看到别人失意落魄时,又是否会幸灾乐祸,沾沾自喜? 其实别人的好与坏,与你又有什么关系呢?你需要要做的其实只是自己。真正智慧的人,在人生追求的路上,只有不断的自我升级,对照别人的一切,不断的鞭策自己,一路坚持,才能不断 的升华,实现人生的梦想。 一位少年家境贫寒,为了生计,他到一个庄园主家里当工人。他很勤奋,也很卖力,生怕自己干不好被辞退。庄园主是一位绅士,对待工人很友善。一天,他 突然接到一个电话,那边传来一个中年人的声音:“先生,您需不需要工人?”庄园主摇了摇头,轻声地说: “对不起,我有工人了,不需要。”我绝对可以起早贪黑干活,我的工钱可以减半!” 对方急忙说。不,我的工人非常勤快,真不需要。”庄园主有礼貌地补充说。我保证一刻也不闲着,包括所有角落的灰尘都擦到。”对方又说。我家的工人也是这么做的,像你一样细致。”庄园 主回答说。对方无奈,只好挂断了电话。庄园主不知道,安排打这个电话的,正是在庄园里干活的那位少年。那一天,他拿着发的第一个月的薪水,跑到镇上,找来自己的叔叔,用全部的薪 水支付电话费用,然后让叔叔给庄园主打电话。叔叔搞不清楚他在做什么,便问他说:“孩子,你就在那里做工,怎么还问人家需不需要工人?”少年听后笑了,对叔叔说:“叔叔,我在那里 做工,就要对他们负责,我只想知道,在他们心中,我做得怎么样,被不被认可。”叔叔顿时对这个侄子刮目相看,认为他将来必有出息,蹲下来告诉他:“孩子,将来无论你做什么,你都要 记住你的那句话,经常问客户你做得怎么样……”少年后来就跟在叔叔身边做生意,生意做得越来越好,最后离开了叔叔独自创业,跳槽到纽约一家公司,从零开始自己的职业生涯,逐渐出 人头地。他叫范德利普,后来作为总裁,领导花旗银行十年。这十年的时光中,他的战略就是发展国内中小企业客户,而他每年都有大半的时间在各地跑,做调研,只为征求客户对银行的意 见,再有针对性地改进。花旗银行在他的带领下实现了跨越式发展,在他任职的第二年,便成为美国第一家总资产达数亿美元的银行,为它的辉煌发展打下了坚实基础,这就是一个企业家最 大的智慧


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