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2018秋新版高中数学北师大版必修5:第二章解三角形 2.1.1 _图文

2018秋新版高中数学北师大版必修5:第二章解三角形 2.1.1 _图文

第二章 解三角形

§1 正弦定理与余弦定理

1.1 正弦定理

1.能够利用向量的方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类 解三角形的基本问题.
2.会求三角形的面积和外接圆的半径. 3.会利用正弦定理解决实际问题.

1.正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即在△ABC中







, sin = sin = sin.

(1)正弦定理的变形:

①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;





=

sin sin

,



=

sin sin

,



=

sin sin

;



sin

=

sin

=

sin

=

sin

+ + + sin +

sin .

(2)正弦定理中的比值大小.

设△ABC的外接圆的半径为R,则有







sin = sin = sin = 2.

上述结论可变形为:

①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;

②sin

A=

2

,

sin



=

2

,

sin



=

2

;

③A<B?a<b?2Rsin A<2Rsin B?sin A<sin B.

【做一做1-1】有下列有关正弦定理的叙述:
①正弦定理只适用于锐角三角形; ②正弦定理不适用于钝角三角形; ③在某一确定的三角形中,各边与它的对角的正弦的比是定值; ④在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c.
其中正确的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理
可知,三角形一旦确定,则各边与其所对角的正弦的比就确定了,故
③正确;由比例性质和正弦定理可推知④正确.故选B.
答案:B

【做一做 1-2】 在锐角三角形 ABC 中,若 a=3,△ABC 的外接圆半

径为 3, 则 =

.

解析:



sin

=

2,

∴sin A= = 3 = 3.
2 2 3 2

∵0°<A<90°,∴A=60°.

答案:60°

2.三角形的常用面积公式

(1)S= 1 ?(?表示边上的高).
2

(2)S△ABC=

1 2

sin



=

1 sin
2



=

1 2

sin

.

【做一做2】 在△ABC中,若a=10,b=8,C=30°,则△ABC的面积

S=

.

解析:S= 1 sin C= 1 × 10 × 8 × sin 30°=20.

2

2

答案:20

3.解三角形 一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素.已 知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形. 利用正弦定理可以解两类三角形: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角; (2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进 而计算出其他的边和角.

【做一做3-1】 在△ABC中,若AB=3,B=75°,C=60°,则

BC=

.

解析:c=AB=3,B=75°,C=60°,则 A=45°.

由正弦定理,得

sin



=

,
sin

所以

a=BC=

sin sin

=

3sin45 ° sin60 °

=

6.

答案: 6

【做一做 3-2】 在△ABC 中,若 a=3,b= 3, = π ,
3

则的大小为

.

解析:在△ABC 中,由正弦定理,得 = ,
sin sin

即 ∵as>inbB,∴=B=sinπ. = ∴C=π-A-B= 6π.
2



3 2

=

1.

3

2

答案: π
2

题型一 题型二 题型三 题型四

题型一 利用正弦定理解三角形

【例1】 在△ABC中,解下列三角形. (1)A=45°,C=30°,c=10;

(2)a= 3, = 2, = 45°.

分析:(1)分清已知和所求,选择一个与条件相吻合的正弦定理的

式子进行求解;(2)已知两边及其中一边的对角,由正弦定理先求出

另一边对角的正弦值,然后再求其他边与角.

解:(1)∵c=10,A=45°,C=30°,

∴B=180°-(A+C)=105°.



sin

=

sin

,

得a=

sin sin

=

10sin45 ° sin30 °

=

10

2.



sin

=

sin

, 得b=

sin sin

=

10sin105 ° sin30 °

=20sin 75°=20×

6+ 2 = 5
4

6+5

2.

题型一 题型二 题型三 题型四

(2)由

sin

=

si n

,

得sin

A=

sin

=

3sin45 ° = 3.

2

2

∵asin B<b<a,∴该三角形有两个解.

∴A=60°或 A=120°.

①当 A=60°时,C=180°-A-B=75°,

∴c= sin =
sin

2sin75 ° sin45 °

=

6+ 2.
2

②当 A=120°时,C=180°-A-B=15°,

c=

sin sin

=

2sin15 ° sin45 °

=

6- 2.
2

综上所述,A=60°,C=75°,c=

c=

6- 2.
2

6+ 2 , 或A=120°,C=15°,
2

题型一 题型二 题型三 题型四
反思如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形的内角和定 理,可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理计算出三角形的另 两边.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时,可先判断 解的情况.若有解,再求出另一边的对角的正弦值,然后根据该正弦 值求角,还需对角的情况加以讨论,如果有解,是一解还是两解,再由 三角形的内角和定理求出第三个角,然后利用正弦定理求出第三边.

题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练1】 (1)在△ABC中,B=30°,C=45°,c=1,求b的边长

及三角形外接圆的半径.

(2)在△ABC 中,b=10,c=5 6, = 60°, 解三角形.

解:(1)由正弦定理,得

sin

=

sin

=

2,

∴b=

sin sin

=

sin30 ° sin45 °

=

2,
2

2R=

sin

=

1 sin45 °

=

1
2

=

2, 即R=

2.
2

2

(2)∵b=10,c=5 6, < , = 60°< 90°,

∴本题有一解.

∵sin

B=

sin

=

10sin60 56

°

=

2 , ∴ = 45°,
2

∴A=180°-(B+C)=75°.

∴a=

sin sin

=

10sin75 ° sin45 °

=

10×

6+
4 2

2

= 5(

3 + 1).

2

题型一

题型二

题型三 题型四
题型二 判断三角形的形状

【例 2】 在△ABC 中,若 lg a-lg c=lg sin B=-lg 2, 且为锐角,

试判断△ABC 的形状.

分析:三角形的形状通常由三角形内角的关系确定,也可以由三

角形三边的关系确定.本题可考虑把边化成角,寻找三角形角与角

之间的关系,然后予以判定.

解:由 lg a-lg c=lg sin B=-lg

2, 得sin B=

2.
2

∵B 为锐角,∴B=45°.

又 lg a-lg c=lg 2 , ∴ = 2.
2 2

由正弦定理,得

sin sin

=

2 2

,



sin

sin (135°-)

=

2.
2

化简得 sin A=cos A.解得 tan A=1,∴A=45°.

∴C=180°-A-B=90°.

∴△ABC 为等腰直角三角形.

题型一 题型二 题型三 题型四
反思根据已知条件,通过恰当地恒等变形得出边之间的关系或角 之间的关系,从而判断出三角形的形状.

题型一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析:由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,
∴sin(B+C)=sin2A,∴sin A=sin2A. ∵0<A<π,sin A≠0, ∴sin A=1,A= π,
2
∴△ABC为直角三角形.
答案:A

题型一 题型二 题型三 题型四

题型三 求三角形的面积

【例 3】

在△ABC

中,角

A,B,C

的对边分别为

a,b,c,B=

π 3

,

cos



=

4 , = 3.

5

(1)求sin C的值;

(2)求△ABC的面积.

分析:(1)先利用三角形内角和定理用角A表示角C,再利用两角差

的正弦公式求sin C;(2)利用正弦定理求出a的值,然后由公式

S△ABC=

1 2

sin

C

计算可得.

题型一 题型二 题型三 题型四

解:(1)∵A,B,C 为△ABC 的三个内角,且 B= π , cos?A= 4,

3

5





=

2π 3

?

,

sin

A=

3.
5

∴sin C=sin 2π - = 3 cos A+ 1 sin A= 3+4 3.

3

2

2

10

(2)由(1)知

sin

A=

3 5

,

sin?C=

3+4 10

3

,

且B=

π 3

,



=

3,

∴ 在△ABC 中,由正弦定理,得 a= sin = 6.

sin 5

∴△ABC

的面积

S=

1 2

sin

C=

1 2

×

6 5

×

3 × 3+4 3 = 36+9 3.

10

50

反思在△ABC 中,若 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则 S△ABC=

1 2

sin

A=

1 2

sin

B=

1 2

sin

C,这是解三角形中一个重要的公式,经

常在高考题中出现,同学们应重视.

题型一 题型二 题型三 题型四

【变式训练 3】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知

A=(1π4)证, 明sin:B-π4C+=π ; ? sin

π +
4

= .

2

(2)若 a= 2, 求△ABC 的面积.

(1)证明:由 bsin

π +
4

? sin

π +
4

= 及正弦定理,得

sin Bsin π + ? sin Csin π + = sin A,

4

4

sin 2 sin + 2 cos ? sin 2 sin + 2 cos = 2,

2

2

2

2

2

整理得sin Bcos C-cos Bsin C=1,即 sin(B-C)=1.

∵0<B<

3π 4

,

0

<



<

3π 4

,





?



=

π.
2

题型一 题型二 题型三 题型四

(2)解:∵B+C=π-A=

3π 4

,





=

5π 8

,



=

π.
8

由 a= 2, = π , 得b= sin = 2sin 5π,

4

sin

8

c=

sin sin

=

2sin

π,
8

∴△ABC

的面积

S=

1 2

sin

A=

2sin

5π 8

·sin

π 8

= 2cos π·sin π = 2 ·1 sin π = 1.

88

2 42

题型一 题型二 题型三 题型四

题型四 易错辨析

易错点:忽视三角形解的个数致误

【例 4】 在△ABC 中,B=30°,AB=2 3, = 2, 则△ABC 的面积



.

错解:由正弦定理,得

sin

C=

sin



=

3.
2

∴C=60°,∴A=90°.



S△ABC=

1 2

·AC·sin

A=

1 2

×

2

3×2×1=2

3.

错因分析:上述解法中在用正弦定理求 C 时丢了一解.

实际上由 sin C= 3 可得C=60°或 C=120°,它们都满足条件.
2

题型一 题型二 题型三 题型四

正解:由正弦定理,得 sin C= sin = 3.



2

∴C=60°或 C=120°.

当 C=60°时,A=90°,

∴S△ABC=

1 2

·AC·sin

A=2

3.

当 C=120°时,A=30°,

∴S△ABC=

1 2

·AC·sin

A=

3.

故三角形的面积是 2 3或 3.

12345

1在△ABC中,若b=2asin B,则A的值是( ).

A.30°

B.60°

C.30°或120° D.30°或150°

解析:由正弦定理,得 sin B=2sin Asin B.

∵sin

B≠0,∴sin

A=

1 2

,





=

30°或150°.

答案:D

12345

2在△ABC中,若B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长是( ).

A. 6 B. 6 C. 1 D. 3
3 22 2

解析:∵A=180°-(60°+45°)=75°>60°>45°,

∴B 最小,∴最小边是 b.

由正弦定理得

b=

sin sin

=

sin45 ° sin60 °

=

6.
3

答案:A

12345

3由下列条件解△ABC,其中有两解的是( ).

A.b=20,A=45°,C=80°

B.a=30,c=28,A=60°

C.a=14,c=16,A=45°

D.a=12,c=15,A=120°

解析:C

选项中,16×sin

π 4

<

14

<

16,

即csin

A<a<c,

∴C 选项中三角形有两解.

答案:C

12345

4 在△ABC 中,AC= 3,A=45°,C=75°,则 BC=

.

答案: 2

12345

5 在△ABC 中,c=

6, = π , = 2, 求, , .
3

分析:由c>a可得A为锐角,由正弦定理求出sin A,从而求出A,再由内

角和定理求出B,最后用正弦定理求得b.

解: ∵ = , ∴ sin

sin sin
∵c>a,∴C>A,∴A=

π.

A=

sin

=

2.
2

4

∴B= 5π , = sin =

12

sin

6sin

5π 12

sin

π 3

=

3 + 1.


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