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高中数学选修2-2 微积分基本定理课件

高中数学选修2-2  微积分基本定理课件


预习课本 P51~54,思考并完成下列问题 (1)微积分基本定理的内容是什么? (2)被积函数 f(x)的原函数是否是唯一的? [新知初探] 1.微积分基本定理 如果 f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且 F′(x)=f(x), 那么 f(x)dx= F(b)-F(a) .这个结论叫做微积分基本定理, a ?b ? ? ? 又叫做牛顿—莱布尼茨公式. ?b 为了方便, 我们常常把 F(b)-F(a)记为 F(x)? ? ?a ?b =F(x)? ? ?a , 即 f(x)dx a ?b ? ? ? =F(b)-F(a). [点睛] 对微积分基本定理的理解 ?b ? ? ?a (1)微积分基本定理表明,计算定积分 f(x)dx 的关键是找到 满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),通常,我们可以运用基本初等函 数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x). (2) 牛顿-莱布尼茨公式指出了求连续函数定积分的一般方 法,把求定积分的问题,转化成求原函数(F(x)叫做 f(x)的原函数) 的问题,提示了导数和定积分的内在联系,同时也提供计算定积 分的一种有效方法. 2.定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上, 在 x 轴下方的面积为 S 下. 则 (1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图①,则 f(x)dx=S 上. (2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时, 如图②, 则 f(x)dx=-S 下. (3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如图③, 则 f(x)dx=S 上-S 下,若 S 上=S 下,则 f(x)dx=0. ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a ?b ? ? ?a [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)微积分基本定理中,被积函数 f(x)是原函数 F(x)的导 数. (√ ) (2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便 通常取原函数的常数项为 0. ( √ ) (3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积 分区间上必须是连续函数. ( √ ) 2.下列积分值等于 1 的是( A. xdx 0 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ?0 ) B. (x+1)dx 0 ?1 ? ? ? C. 1dx D. ?1 ? ? ?0 1 dx 2 答案:C 3.计算: sin xdx=( 0 ?π ? ? ? ) B.0 C.2 D.1 A.-2 答案:C 定积分的求法 [典例] A.e+2 (1)定积分 (2x+ex)dx 的值为 0 ?1 ? ? ? ( D.e-1 ) B.e+1 C.e 求 f(x)dx. ?1 ? ? ?0 ?2 ? ? ?0 ? ?1+2x,0≤x≤1, (2)f(x)=? 2 ? ?x ,1<x≤2, [解析] (1) (2x+ex)dx=(x2+ex) ?1 ? ? ?0 =(1+e)-(0+e0) =e,因此选 C. 答案:C (2)解: ?2 ? ? ?0 f(x)dx= ?1 ? ? ?0 2 f(x)dx+? f(x)dx ? ? ?1 2 1 ?2 2 =? ? (1+2x)dx+? x dx=(x+x ) ? ? ? 0 ? 1 ?1 ? ? ?0 2 ? 1 3? + x? 3 ?1 1 13 =1+1+ (8-1)= . 3 3 1.由微积分基本定理求定积分的步骤

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