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椭圆(一)综合练习

椭圆(一)综合练习

高二数学通用版椭圆(一)综合练习 (答题时间:60 分钟)
1. 已知椭圆 C 径的圆与直线 x ?
x a
2 2

:

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

的离心率为

1 2

,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半

y ?

6 ? 0

相切.

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设 P ( 4 , 0 ) ,A ,B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两个不同的点, 连结 P B 交椭圆 C 于另一点 E ,证明直线 A E 与 x 轴相交于定点 Q ; ⑶在⑵的条件下,过点 Q 的直线与椭圆 C 交于 M , N 两点,求 O M 2. 已知椭圆
x a
2 2

???? ???? ? ?ON

的取值范围.

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )
y ?b ? 0

的离心率为
2

6 3



⑴若原点到直线 x ? i)当 |
A B |?

的距离为

,求椭圆的方程;

⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为 4 5 ? 的直线 l 和椭圆交于 A , B 两点.
3

,求 b 的值;
???? ? ??? ? ??? ? ? ?OA ? ?OB

ii)对于椭圆上任一点 M ,若 O M 3. 已知抛物线
A, B

,求实数 ? , ? 满足的关系式.

y ? 4x
2

,点 M

(1 , 0 ) 关于 y

轴的对称点为 N ,直线 l 过点 M 交抛物线于

两点.
NB

⑴证明:直线 N A ,

的斜率互为相反数;
?0

⑵求 ? A N B 面积的最小值; ⑶当点 M 的坐标为 ( m , 0 )( m

,且 m

? 1)

时,根据⑴⑵推测并回答下列问题(不必说

明理由) : ①直线 N A , N B 的斜率是否互为相反数? ② △ A N B 面积的最小值是多少? 4. 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为
P ? 2 , 1?
1 2

,且经过点 ? ? 1 ,
?

?

3? ? 2?

,过点

的直线 l 与椭圆 C 在第一象限内相切于点 M .

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵求直线 l 的方程以及点 M 的坐标; ⑶是否存过点 P 的直线 l1 与椭圆 C 相交于不同的两点 A , 在,求出直线 l1 的方程;若不存在,请说明理由.
B

,满足 P A ? P B

??? ??? ? ?

???? 2 ? ? P M ?若存

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高二数学通用版椭圆(一)综合练习参考答案
1. 解:⑴由题意知 e 又因为 b
? 6 1?1 ?
? c a ? 1 2

,所以 e 2
? 4

?

c a

2 2

?

a ?b
2

2

a
? 3

2

?

1 4

.即 a

2

?

4 3

b

2



3

,所以 a 2
? y
2

,b2



故椭圆 C 的方程为

x

2

?1


? k ( x ? 4)

4
? y ? k ( x ? 4 ), ? 由 ? x2 y2 ? ? 1. ? 3 ? 4

3

⑵由题意知直线 P B 的斜率存在,设直线 P B 的方程为 y 得 (4k 2
? 3) x ? 3 2 k x ? 6 4 k ? 1 2 ? 0
2 2 2







设点 B ( x1 ,

y1 )

, E ( x2 ,

y2 )

,则 A ( x1 ,
y 2 ? y1 x 2 ? x1

? y1 )



直线 A E 的方程为 y 令y 将 y1
? 0

? y2 ?

( x ? x2 )



,得 x

? x2 ?

y 2 ( x 2 ? x1 ) y 2 ? y1
? k ( x2 ? 4)
2

. 代入上式整理,得 x
64k 4k
2 2

? k ( x1 ? 4 )

, y2
32k 4k
2

?

2 x1 x 2 ? 4 ( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 ? 8
?1.

.②

由①得 x1

? x2 ?

?3

, x1 x 2

?

? 12 ?3
0)

,代入②整理,得 x

所以直线 A E 与 x 轴相交于定点 Q (1 , ⑶当过点 Q 的直线 M N 设直线 M N 的方程为 y
? y ? m ( x ? 1) ? 由? x2 y2 ? ?1 ? 3 ? 4
? m ( x ? 1)


, yM ) , N ( xN , yN )

的斜率存在时, ,且 M ( x M
2 2 2

在椭圆 C 上.

得 (4m 2

? 3) x ? 8 m x ? 4 m ? 1 2 ? 0



易知 ? 所以 x M 则OM

? 0


8m
2 2

? xN ?

4m ? 3

, xM xN

?

4m ? 12
2

4m ? 3
2

, yM

yN ? ?

9m
2

2

4m ? 3



2 ???? ???? ? 5m ? 12 5 33 ? ? ? ? O N ? xM xN ? yM y N ? ? 2 2 4m ? 3 4 4 ( 4 m ? 3)



因为 m 2 ≥ 0 ,所以 ? 所以 O M

11 4

≤ ?

33 4(4m
2

? 3)

? 0



???? ???? ? ? 5? ? O N ? ??4 , ? ? 4? ?


?1.

当过点 Q 的直线 M N 的斜率不存在时,其方程为 x
???? ???? ? 3 3 5 解得 M (1 , ) , N (1 , ? ) .此时 O M ? O N ? ? 2 2 4



所以 O M 2. ⑴∵ d
?

???? ???? ? ?ON

的取值范围是 ? ? 4 ,
?

?

?

5? 4? ?



b 2

?

2

,∴ b

? 2



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∵e

?

c a

?
2

6 3
2

,∴

c a

2 2

?

2 3


2 3 a
2

∵ a2

?b ?c

,∴ a
x
2

2

? 4 ?

,解得 a 2

? 12 , b ? 4 .
2

椭圆的方程为 ⑵ i)∵
2

?

y

2

?1



12

4

c a

?
2

6 3

,∴ a
2

2

? 3b , c
2

2

?

2 3

a

2

? 2b

2

,椭圆的方程可化为

x ? 3 y ? 3b

…………①
2b , 0)
?6

易知右焦点 F (

,据题意有 A B : y
2 b x ? 3b ? 0
2

? x?

2b

………②

由①,②有: 4 x 2

…………③
7 2b ? 4 8b
2 2 2

设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,
| A B |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

?

(1 ? 1 )
2

4

2

?

2?

24b 4
2

?

3b ?

3

∴b ? 1 ??? ? ??? ? ii)显然 O A 与 O B 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内 的向量 O M ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 O M 设 M (x , y) , ∵ ( x , y ) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x 2 , y 2 ) ,∴ x 又点 M 在椭圆上,∴ ( ? x1 由③有: x1 则
x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2 b )( x 2 ? 2 b ) ? 4 x1 x 2 ? 3 2 b ( x1 ? x 2 ) ? 6 b ? 3 b ? 9 b ? 6 b ? 0
2 2 2 2

???? ?

???? ?

??? ? ??? ? ? ?OA ? ?OB

成立.

? ? x1 ? ? x 2 , y ? ? y 1 ? ? y 2
2 2

? ? x 2 ) ? 3( ? y 1 ? ? y 2 ) ? 3 b
2

……………④

? x2 ?

3 2b 2

, x1 x 2 ?

3b 4

2



A,B

在椭圆上,故有 x1

2

? 3 y1 ? 3 b , x 2 ? 3 y 2 ? 3 b
2 2 2 2

2

……………⑤ …………⑥

将⑥,⑤代入④可得: ? 3. ⑴设直线 l 的方程为 y 由?
? y ? k ? x ? 1? , ? ?y ?
2

2

? ?

2

? 1.

? k ? x ? 1? (k ? 0 )
k x ? ? 2k
2 2 2


2

? 4 x,

可得

? 4? x ? k
2k
2

? 0



设 A ? x1 , y 1 ? , ∴ ∴
y1 y 2 ? ? 4

B ? x2 , y2 ?

,则 x1

? x2 ?

? 4
2

k

, x1 x 2 ? 1 .

N ? ?1, 0 ?
y1 x1 ? 1 ? y2 x2 ? 1 ? 4 y1 y1 ? 4
2

k NA ? k NB ?

?

4 y2 y2 ? 4
2

?

2 2 4 ? y1 ? y 2 ? 4 ? ? y 2 ? y1 ? 4 ? ? ? ?

?y

2 1

? 4 ? ? y2 ? 4 ?
2

?

4 ( ? 4 y 2 ? 4 y1 ? 4 y1 ? 4 y 2 )

?y

2 1

? 4 ? ? y2 ? 4 ?
2

? 0

. . ,

又当 l 垂直于 x 轴时,点 A , B 关于 x 轴对称,显然 k N A 综 上

? k NB ? 0, k NA ? ? k NB

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k NA ? k NB ? 0, k NA ? ? k NB



⑵ S ?NAB

? y1 ? y 2 ?

? y1

? y 2 ? ? 4 y1 y 2 ?
2

4 ? x1 ? x 2 ? ? 8

=4

1?

1 k
2

? 4


? 4

当 l 垂直于 x 轴时, S ? N A B



∴ ? A N B 面积的最小值等于 4 . ⑶推测:① k N A ? ? k N B ; ② ? A N B 面积的最小值为 4 m
m



4. ⑴设椭圆 C 的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

9 ? 1 ? a 2 ? 4b 2 ? 1 ? 1 ?c ? 1( a ? b ? 0 ) ,由题意得 ? ? 2 ?a ?a2 ? b2 ? c2 ? ?

解得 a 2

? 4, b ? 3 ,故椭圆 C
2

的方程为

x

2

?

y

2

?1



4

3

⑵因为过点 P ? 2 , 1 ? 的直线 l 与椭圆在第一象限相切, 所以 l 的斜率存在, 故可设直线 l 的 方程为 y
? k ( x ? 2) ? 1 .
2 2

?x y ? ? 1, ? 由? 4 3 ? y ? k ( x ? 2) ? 1 ?

得 (3 ?

4 k ) x ? 8 k ( 2 k ? 1) x ? 1 6 k ? 1 6 k ? 8 ? 0
2 2 2

. ①
2 2 2

因为直线 l 与椭圆相切,所以 ? 整理,得 3 2 (6 k
? 3) ? 0

? [ ? 8 k ( 2 k ? 1)] ? 4 (3 ? 4 k )(1 6 k ? 1 6 k ? 8) ? 0
? ? 1 2



.解得 k
1 2


1 2 x? 2

所以直线 l 的方程为 y 将k
? ? 1 2

? ?

( x ? 2) ? 1 ? ?


? ? 3? ? 2?

代入①式,可以解得 M 点横坐标为 1 ,故切点 M 坐标为 ? 1 ,
? k1 ( x ? 2 ) ? 1



⑶若存在直线 l1 满足条件的方程为 y
2 2 2

,代入椭圆 C 的方程得 ,设
A, B

(3 ? 4 k 1 ) x ? 8 k 1 ( 2 k 1 ? 1) x ? 1 6 k 1 ? 1 6 k 1 ? 8 ? 0


A, B

因为直线 所以 ? 所以 k 又 x1

l1

与椭圆
2

C

相交于不同的两点
2 2

两点的坐标分别为

( x1 , y1 ) , x 2 ,y 2 , ( )

? [ ? 8 k ( 2 k ? 1)] ? 4 (3 ? 4 k )(1 6 k ? 1 6 k ? 8) ? 3 2 (6 k 1 ? 3) ? 0 .
? ? 1 2


8 k 1 ( 2 k 1 ? 1) 3 ? 4 k1
2

? x2 ?

, x1 x 2 ?

1 6 k1 ? 1 6 k1 ? 8
2

3 ? 4 k1

2

, ,

因为 P A ? P B 所以 ( x1 即 [ x1 x 2

??? ??? ? ?

5 ???? 2 ? ? P M ,即 ( x1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? ( y 1 ? 1)( y 2 ? 1) ? 4
5 4

2 2 ? 2 )( x 2 ? 2 )(1 ? k ) ? | P M | ?



? 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 ](1 ? k 1 ) ?
2

5 4



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所以 [

1 6 k1 ? 1 6 k 2 ? 8
2

3 ? 4 k1
B

2

?2?

8 k 1 ( 2 k 1 ? 1) 3 ? 4 k1
2

? 4 ](1 ? k 1 ) ?
2

4 ? 4 k1 3 ? 4 k1

2

2

?

5 4

,解得 k 1

? ?

1 2



因为 A ,

为不同的两点,所以 k

?

1 2


? 1 2 x

所以存在直线 l1 满足条件,其方程为 y



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