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习题02解析函数

习题02解析函数

20.设 z = x + iy , z0 = x0 + iy0 , c = a + ib ,并且已知 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) ,证明

z → z0

lim f ( z ) = c 与 lim u ( x, y ) = a , lim v ( x, y ) = b 等价。
x → x0 x → x0 y → y0 y → y0

由于 f ? c = ( u ? a ) + i ( v ? b ) ,所以 u ? a 或 v ? b ≤ f ? c ≤ u ? a + v ? b 。 若 lim f ( z ) = c ,对于任意的 ε > 0 ,则存在 δ ,当 z ? z0 =
z → z0

(

)

( x ? x0 ) + ( y ? y0 )
2

2

<δ ,

就有 u ? a 或 v ? b ≤ f ? c < ε ,即 lim u ( x, y ) = a , lim v ( x, y ) = b 。
x → x0 x → x0 y → y0 y → y0

(

)

同样的,若 lim u ( x, y ) = a , lim v ( x, y ) = b ,就有 lim f ( z ) = c 。
x → x0 x → x0 y → y0 y → y0 z → z0

21.证明: f ( z ) =

1 在单位圆 z < 1 内连续但不一致连续。 1? z2

。下面证 f ( z ) 在单位圆内不一致连续。 易证 f ( z ) 连续(初等函数) 定义在 D 上的函数 f ( z ) 在 D 上一致连续的充要条件:任意的 { xn } ? D , { yn } ? D ,只 要 lim ( xn ? yn ) = 0 ,就有 lim ? f ( xn ) ? f ( yn ) ? ?=0 n →∞ n →∞ ? 令 xn = 1 ?

1 1 2 , yn = 1 ? ,则 xn ? yn = n n n

1 1 2 1? + 1? n n

→0,

f ( xn ) ? f ( yn ) =

n → ∞ 。所以 f ( z ) 在单位圆 z < 1 内不一致连续。 2

22.证明下列函数在 z = 0 点连续:

? ? Re z 2 ? 2 ? ? ( )? , z ≠ 0 , (1) f ( z ) = ? z2 ? 0, z = 0 ?
(1)在 z ≠ 0 处, f ( z ) =

(2) f ( z ) = z 。

(x
2

2

? y2 )
2

2

x ? y + 2ixy
z →0

(x ≤

2 2

? y2 )
2

2

x ?y

= x2 ? y 2 ,

lim f ( z ) = lim x 2 ? y 2 = 0 ,即 lim f ( z ) = f ( 0 ) ,所以 f ( z ) 在 z = 0 点连续。
z →0 x →0 y →0

(2) lim f ( z ) = lim x + y = 0 = f ( 0 ) 。
2 2 z →0 x →0 y →0

23.判断下列函数在何处可导(并求出导数) ,在何处解析: (1) z ; (2) z ; (3) z , m = 0,1, 2,
m

; (4) e ; (5) x + 2 y + i x + y
z

(

2

) (

2

2

);

(7) z Re z ; (8) 1 z ; (9) cos z ; (10) shz 。 (6) ( x ? y ) + 2i ( x + y ) ;
2

由可导充分条件(25 题)判别: (1)全平面不可导,不解析; (2)全平面不可导,不解析; (3)全平面可导,解析, z (4)全平面可导,解析, e

( )′ = mz
m

m ?1



( )′ = e
z

z



(5)除(-1,-1)点可导外,全平面其余处处不可导,全平面不解析; (6)除 y=x-1 的线上处处可导外,其余点不可导,全平面不解析; (7)z=0 点可导, ( z Re z )′

= 0 ,其余处处不可导,全平面不解析;
z =0

(8)除 z=0 点外在扩充全平面上可导,解析, (1 z )′ = ? 1 z ;
2

(9)全平面可导,解析, ( cos z )′ = ? sin z ; (10)全平面可导,解析, ( sh z )′ = ch z 。

24.证明极坐标下的 Cauchy-Riemann 条件: 由变换关系 x = ρ cos? , y = ρ sin ? 可得

?u 1 ?v ?v 1 ?u = =? , 。 ?ρ ρ ?? ?ρ ρ ??

?u ?u ?u ?u ?u ?u = = ?ρ cos ? + sin ? , sin ? + ρ cos ? , ?ρ ?x ?y ?? ?x ?y ?v ?v ?v ?v ?v ?v = = ? ρ sin ? + ρ cos ? + sin ? , cos ? 。 ?ρ ?x ?y ?? ?x ?y
变换得

?u ?u 1 ?u = cos ? ? sin ? , ρ ?? ?x ?ρ

(1)

?u ?u 1 ?u = sin ? + cos ? , ρ ?? ?y ?ρ ?v ?v 1 ?v = cos ? ? sin ? , ρ ?? ?x ?ρ ?v ?v 1 ?v = sin ? + cos ? 。 ρ ?? ?y ?ρ
代入直角坐标的 C-R 方程

(2)

(3)

(4)

?u ?v ?u ?v = , =? 有 ?x ?y ?y ?x
(5)

?u 1 ?u ?v 1 ?v cos ? ? sin ? = sin ? + cos ? , ρ ?? ρ ?? ?ρ ?ρ
?u 1 ?u ?v 1 ?v sin ? + cos ? = ? cos ? + sin ? 。 ?ρ ?ρ ρ ?? ρ ??
(5) × cos ? +(6) × sin ? 得

(6)

?u 1 ?v = , ?ρ ρ ?? ?v 1 ?u =? 。 ?ρ ρ ??

(5) × sin ? ? (6) × cos ? 得

25.证明:若函数 f ( z ) 的偏导数在 z = z0 点连续,且满足 C-R 方程,则 f ( z ) 在 z = z0 点 可导。 由 f ( z ) 的偏导数在 z = z0 点连续可知 u ( x, y ) , v ( x, y ) 在 z = z0 点可微,所以有

u ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? u ( x0 , y0 ) = v ( x0 + ?x, y0 + ?y ) ? v ( x0 , y0 ) =
上面的 ε1 , ε 2 是 ?z =

?u ?u ?x + ?y + ε1 , ?x ( x0 , y0 ) ?y ( x0 , y0 ) ?v ?v ?x + ?y + ε 2 。 ?x ( x0 , y0 ) ?y ( x0 , y0 ) ?u ?v = , ?x ( x0 , y0 ) ?y ( x0 , y0 )

?x 2 + ?y 2 的高阶无穷小。记 a =

b=?

?u ?v = ,则以上两式写成 ?y ( x0 , y0 ) ?x ( x0 , y0 )

u ( z0 + ?z ) ? u ( z0 ) ? a?x + b?y = ε1 ,

v ( z0 + ?z ) ? v ( z0 ) ? b?x ? a?y = ε 2 。

f ( z0 + ?z ) ? f ( z0 ) f ( z0 + ?z ) ? f ( z0 ) ? a?z ? ib?z ? ( a + ib) = ?z ?z
=
u ( z0 + ?z ) ? u ( z0 ) ? a?x + b?y + i ? ?v ( z0 + ?z ) ? v ( z0 ) ? b?x ? a?y ? ?

?z

=

ε1 + iε 2
?z



ε1
?z

+

ε2
?z

当 ?z → 0 时,

f ( z0 + ?z ) ? f ( z0 ) → a + ib ,即 f ( z ) 在 z = z0 点可导。 ?z

? z5 f ( z) ? 4 ,z ≠ 0 26 . 设 f ( z ) = ? z 。 (1)证明:当 z → 0 时, 的极限不存在; (2)若 z ? ? 0, z = 0
u = Re f ( z ) , v = Im f ( z ) ,证明: u ( x, 0 ) = x , v ( 0, y ) = y , u ( 0, y ) = v ( x, 0 ) = 0 ;
(3)证明: u , v 的偏导数存在,且 C-R 方程成立,但(1)中已证明 f ′ ( 0 ) 不存在,这个 结论和 25 题矛盾吗?
2 2 2 2 2 2 f ( z ) z 4 ( x ? y ) ? 4 x y + 4ixy ( x ? y ) = 4 = 。 在 直 线 y = kx 上 (1) z ≠ 0 时, 2 z z ( x2 + y2 ) 2

f ( z ) (1 ? k = z

2 2

)

? 4k 2 + 4ik (1 ? k 2 )

(1 + k 2 )

2

,可见 z 沿不同直线趋于 0 将有不同极限值,所以

f ( z) 的极限不存在。 z
(2) z ≠ 0 时, f ( z ) =

x 5 ? 10 x 3 y 2 + 5 xy 4 + i ( 5 x 4 y ? 10 x 2 y 3 + y 5 )

( x2 + y2 )

2



? x5 ? 10 x3 y 2 + 5 xy 4 ? 5 x 4 y ? 10 x 2 y 3 + y 5 x y , , 0 , ( x, y ) ≠ 0 ≠ ( ) ? ? 2 2 2 2 2 2 x y x y + + 所以 u = ? , 。 v = ( ) ( ) ? ? ? 0, ( x, y ) = 0 0, ( x, y ) = 0 ? ?
容易看出 u ( x, 0 ) = x , v ( 0, y ) = y , u ( 0, y ) = v ( x, 0 ) = 0 。

(3)仿(1)的方法, u , v 在 z = 0 处的偏导数不存在。

27.利用极坐标下的 C-R 方程(24 题)证明: f ′ ( z ) = 利用 24 题(1) (3)式,

ρ ? ?u ?v ? 1 ? ?v ?u ? +i ?i ? ?= ? ?。 z ? ?ρ ?ρ ? z ? ?? ?? ?

f ′( z) =

?u ?v ?u 1 ?u ?v 1 ?v +i = cos ? ? sin ? + i cos ? ? i sin ? ?x ?x ?ρ ?ρ ρ ?? ρ ??

代入极坐标 C-R 方程,

f ′( z) =

?u ?v ?v ?u cos ? + sin ? + i cos ? ? i sin ? ?ρ ?ρ ?ρ ?ρ

=

ρ
z

( cos ? + i sin ? ) ?

? ?u ? ?v ?v ?u cos ? + sin ? + i cos ? ? i sin ? ? ?ρ ?ρ ?ρ ? ?ρ ?

=

ρ ? ?u ?v ? +i ? ? z ? ?ρ ?ρ ? ρ ? ?u ?v ? 1 ? ?v ?u ? +i ?i ? ?= ? ?。 z ? ?ρ ?ρ ? z ? ?? ?? ?

再利用极坐标 C-R 方程有 f ′ ( z ) = 28.设 ρ =

ρ ( x, y ) ,? = ? ( x, y ) 是实变量 x, y 的实函数。若 f ( z ) = ρ ( cos ? + i sin ? ) 是
?ρ ?? ?ρ ?? =ρ = ?ρ , 。 ?x ?y ?y ?x

z = x + iy 的解析函数,证明:

?u ?ρ ?? ?u ?ρ ?? cos ? ? ρ sin ? , cos ? ? ρ sin ? , = = ?x ?x ?x ?y ?y ?y ?v ?ρ ?? ?v ?ρ ?? sin ? + ρ cos ? , sin ? + ρ cos ? 。 = = ?x ?x ?x ?y ?y ?y
由 C-R 方程可得:

?ρ ?? ?ρ ?? cos ? ? ρ sin ? sin ? + ρ cos ? , = ?x ?x ?y ?y ?ρ ?? ?ρ ?? sin ? + ρ cos ? cos ? + ρ sin ? 。 =? ?x ?x ?y ?y
(1) × cos ? + (2) × sin ? 得

(1)

(2)

?ρ ?? , =ρ ?x ?y

(1) × sin ? ? (2) × cos ? 得

?ρ ?? 。 = ?ρ ?y ?x

29.设 r = r ( ρ , ? ) ,θ = θ ( ρ , ? ) 是实变数 ρ , ? 的实函数。若 f ( z ) = r ( cos θ + i sin θ ) 解 析,其中 z = ρ e ,试证:
i?

?r r ?θ ?r ?θ , 。 = = ?ρr ?ρ ?ρ ρ ?? ??

?u ?r ?θ ?u ?r ?θ cos θ ? r sin θ , cos θ ? r sin θ , = = ?ρ ?ρ ?ρ ?? ?? ?? ?v ?r ?θ ?v ?r ?θ sin θ + r cos θ , sin θ + r cos θ 。 = = ?ρ ?ρ ?ρ ?? ?? ??
由极坐标 C-R 方程(24 题)得:

?r ?θ 1 ?r r ?θ , cos θ ? r sin θ = sin θ + cos θ ρ ?ρ ?ρ ρ ?? ?? ?r ?θ 1 ?r r ?θ 。 sin θ + r cos θ =? cos θ + sin θ ρ ?? ρ ?ρ ?ρ ??
(1) × cos ? + (2) × sin ? 得

(1)

(2)

?r r ?θ , = ?ρ ρ ?? ?r ?θ 。 = ?ρr ?? ?ρ

(2) × sin ? ? (1) × cos ? 得

30.若函数 f ( z ) = u + iv 在 G 内解析,且 f ( z ) ≠ 常数,试讨论下列函数是否也是 G 内的 (2) ?u ? iv ; (3) ?v + iu ; (4) v + iu 。 解析函数: (1) u ? iv ; 由 C-R 方程判断, (2) (3)解析, (1) (4)不解析。 31.设 z = x + iy ,已知解析函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 的实部或虚部如下,试求其导 (1) u = e 数 f ′( z) : (5) u = ln x + y
2
?y

cos x ; (2) u = ch x cos y ; (3) v = sin x sh y ; (4) v =
3

x ; x + y2
2

(

2

(6) v = x );

+ 6 x 2 y ? 3 xy 2 ? 2 y 3 。

(1)

?u ?v ?u = ?e ? y sin x , = ? = e ? y cos x , ?x ?x ?y

?u ?v + i = e ? y ( ? sin x + i cos x ) = ie? y +ix = ieiz ; ?x ?x i 2 (2) f ′ ( z ) = sh z ; (3) f ′ ( z ) = sin z ; (4) f ′ ( z ) = ? 2 ; (5) f ′ ( z ) = ; z z f ′( z) =
(6) f ′ ( z ) = 3 ( 2 + i ) z 。
2

32.根据下列条件确定解析函数 f ( z ) = u + iv 。 (2) u = sin x ch y ; (3) v = (1) u = x + y ;

y x ; (4) v = arctan 。 2 x +y x
2

(1)dv =

?v ?v ?u ?u 所以 v = y ? x + C( C 为实常数) , dx + dy = ? dx + dy = d ( y ? x ) , ?x ?y ?y ?x

f = u + iv = (1 ? i ) x + (1 + i ) y + iC = (1 ? i ) z + iC ;
(3) f = (2) f = sin z + iC ;

i (4) f = ln z + C 。 +C ; z

33.若 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 解析,且 u ( x, y ) ? v ( x, y ) = ( x ? y ) x + 4 xy + y
2

(

2

) ,求

f ( z) 。
由已知可得

?u ?v ? = x 2 + 4 xy + y 2 + ( x ? y )( 2 x + 4 y ) , ?x ?x

?u ?v ? = ? ( x 2 + 4 xy + y 2 ) + ( x ? y )( 4 x + 2 y ) , ?y ?y
再由 C-R 方程

?v ?u ?v ?u = ? 。由以上四式可解出: = , ?x ?x ?y ?y

?u ?v ?u ?v = = 6 xy , = ? = 3 ( x2 ? y 2 ) 。 ?x ?y ?y ?x
解出 u = 3 x y ? y + C1 , v = 3 xy ? x + C2 ,由已知条件可确定 C1 = C2 = C 。
2 3 2 3

f ( z ) = u + iv = 3x 2 y ? y 3 + i ( 3xy 2 ? x3 ) + (1 + i ) C = iz 3 + (1 + i ) C ?u ?u ? 2u ? 2u + 2 = 0 ,证明函数 ? i 解析。 2 ?x ?y ?x ?y

34.若 u ( x, y ) 具有连续三阶偏导数,且

令U =

?u ?u ?U ?V ? 2u ? 2u ?U ?V ? 2u ? 2u ,V = ? ,则 ? = 2 + 2 = 0, + = ? = 0, ?x ?y ?x ?y ?y ?x ?x?y ?y?x ?y ?x

即该函数满足 C-R 方程,所以解析。

35.如果 u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 都是调和函数,讨论下列函数是否也是调和函数: (1) U = u ? (2) U = u ? (3) U = u ( x, y ) v ( x, y ) ; ?0, v ( x, y ) ? ?; ? v ( x, y ) , 0 ? ?; (4) U = u ( x, y ) + v ( x, y ) 。

?U ?u ?v = , (1) ?x ?x ( v ,0) ?x ?U ?u ?v = , ?y ?x ( v ,0) ?y

? 2U ? 2u ? 2v ? ?v ? ?u = , ? ? + ?x 2 ?x 2 ( v ,0) ? ?x ? ?x ( v ,0) ?x 2
2

2

? ?v ? ?u ? 2U ? 2u ? 2v 。 = + ? ? ?y 2 ?x 2 ( v ,0) ? ?y ? ?x ( v ,0) ?y 2

?? ?v ? 2 ? ?v ? 2 ? ?u ? ? 2v ? 2v ? ? 2U ? 2U ? 2u + = + + ? ? ? 2+ 2? ? ? ? ? ?x 2 ?y 2 ?x 2 ( v ,0) ? ? ? ? x y x ? ? ? ? ? ? ?x ?y ? v ,0 ( ) ? ? ?? ?v ?2 ? ?v ? 2 ? ? 2u = 2 ?? ? + ? ? ? ?x ( v ,0) ? ?? ?x ? ? ?y ? ? ?
上式右边一般不等于 0,所以不是调和函数。

?? ?v ? 2 ? ?v ? 2 ? ? 2U ? 2U ? 2u (2) + = ?? ? + ? ? ? ,不是调和函数。 ?x 2 ?y 2 ?y 2 ( 0,v ) ? ?? ?x ? ? ?y ? ? ?
(3)

? 2U ? 2u ?u ?v ? 2 v ? 2U ? 2u ?u ?v ? 2v = + + v u 2 , v 2 u , = + + ?x 2 ?x 2 ?x ?x ?x 2 ?y 2 ?y 2 ?y ?y ?y 2

? ?u ?v ?u ?v ? ? 2U ? 2U + 2 = 2? + ? ,不是调和函数。 2 ?x ?y ? ?x ?x ?y ?y ?
(4)

? 2U ? 2u ? 2 v ? 2U ? 2u ? 2 v ? 2U ? 2U = + , , + = 0 ,是调和函数。 = + ?x 2 ?x 2 ?x 2 ?x 2 ?y 2 ?y 2 ?y 2 ?y 2

36.假设函数 f ( z ) 在区域 G 内任意一点都满足 f ′ ( z ) = 0 ,证明 f ( z ) 在 G 内为常数。

f ′( z) =

?u ?v ?u ?u ?v ?v + i = 0 ,所以 = = = = 0 ,即 u , v 都是常数, f ( z ) 为常数。 ?x ?x ?x ?y ?x ?y

37.若 f ( z ) 在区域 G 内解析,且 Im f ( z ) = 0 ,证明 f ( z ) 在 G 内为常数。

?u ?v ?u ?v = = 0, = ? = 0 ,所以 u 为常数,又 v = 0 ,所以 f ( z ) 在 G 内为常数。 ?x ?y ?y ?x

38.若 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在区域 G 内解析,且 au + bv = c ,其中 a, b, c 是不为 0 的实常数,证明 f ( z ) 在 G 内为常数。如果 a, b, c 是不为 0 的复常数,结论还成立吗? 由已知可得 a

?u ?v ?u ?v + b = 0 , a + b = 0 ,代入 C-R 方程, ?x ?x ?y ?y

a

?u ?u ?u ?u ?u 2 2 ?u 得 (a + b ) = 0 ,由于 a, b 为 ?b = 0 ,a +b = 0 ,两式消去 ?x ?y ?x ?y ?y ?x ?u ?u ?v ?v = 0 。同样可得 = = = 0 ,所以 f ( z ) 为常数。如果 a, b, c 是复数, ?x ?y ?x ?y

实数,所以

结论不成立。

39.若 f ( z ) 和 g ( z ) 在 z = a 点解析,且 f ( a ) = g ( a ) = 0 ,而 g ′ ( a ) ≠ 0 ,试证:

lim
z →a

f ( z) f ′(a) 。 = g ( z ) g′ ( a ) f ( z) f ( z) ? f (a) = lim z?a g ( z ) z →a g ( z) ? g (a) f ′(a) 。 = z?a g′ ( a )

lim
z →a

40.设 z 沿着从原点出发的射线运动,其模无限增大,试讨论函数 e 的变化趋势。

z

e z = e x eiy ,若 x > 0 (即 ?
若 x < 0 (即

π
2

< arg z <

π
2

) ,e → ∞。
z

π
2

< arg z <

若 x = 0 (即 arg z = ±

π
2

3π z ) ,e → 0 。 2
) , e 的实部虚部在 [ ?1,1] 之间振荡。
z

41.证明下列公式:

(1) sin ( z1 ± z2 ) = sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 ; (2) cos ( z1 ± z2 ) = cos z1 cos z2 ? sin z1 sin z2 ; (3) sh z = ?i sin iz ; (4) ch z = cos iz ; (5) cos (6) tan
2
?1

z = ?i ln z + z 2 ? 1 ; z= 1 1 + iz ; ln 2i 1 ? iz
2

(

)

?1

(7) ch z ? sh z = 1 ; (8) 1 ? th z = sech z 。
2 2

(1) sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 =

(e

iz1

? e ? iz1 )( eiz2 + e? iz2 ) + ( eiz1 + e? iz1 )( eiz2 ? e ? iz2 ) 4i

ei( z1 + z2 ) ? e? i( z1 + z2 ) = = sin ( z1 + z2 ) 2i
同样得, sin z1 cos z2 ? cos z1 sin z2 = sin ( z1 ? z2 ) (2) cos z1 cos z2 ? sin z1 sin z2

(e =

iz1

+ e ? iz1 )( eiz2 + e? iz2 ) + ( eiz1 ? e? iz1 )( eiz2 ? e ?iz2 ) 4

=

ei( z1 + z2 ) + e? i( z1 + z2 ) = cos ( z1 + z2 ) 2

同样得, cos z1 cos z2 + sin z1 sin z2 = cos ( z1 ? z2 ) (3) sh z =

e z ? e? z e? i( iz ) ? ei(iz ) ei( iz ) ? e ? i( iz ) = = ?i = ?i sin iz 2 2 2i e z + e ? z e? i( iz ) + ei(iz ) = = cos iz 2 2 eiw + e? iw 2 iw iw iw 2 ,则 e ? 2 ze + 1 = 0 ,解出 e = z + z ? 1 , 2

(4) ch z =

(5)令 z = cos w = 所以 cos
?1

z = w = ?i ln z + z 2 ? 1

(

)

(6)令 z = tan w = ?i

eiw ? e ? iw 1 + iz 1 1 + iz 2 iw ?1 ,解出 e = 。所以 tan z = w = ln ? iw iw e +e 1 ? iz 2i 1 ? iz

(7) ch z ? sh
2

2

(e z=

z

+ e? z ) ? ( e z ? e? z )
2

2

4
2

=1

? e z ? e? z ? 4 (8) 1 ? th z = 1 ? ? z = = sech 2 z 2 ?z ? z z ? ? e + e ? (e + e )
2

(2) ( ch z )′ = sh z ; 42.证明下列公式: (1) ( sh z )′ = ch z ; (3) ( th z )′ = sech z ; (4) ( cth z )′ = ? csch z
2 2

? e z ? e? z ′ (1) ( sh z ) = ? ? 2
(2) ( ch z )′ = ?

?′ e z + e ? z = ch z ? = 2 ?

? e z + e ? z ?′ e z ? e? z = sh z ? = 2 ? 2 ?
z ?z 2 z ?z 2 2 ?′ ( e + e ) ? ( e ? e ) ? 2 ? 2 = = ? ? z ? z ? = sech z ?z 2 z ?e +e ? ? (e + e )

? e z ? e? z (3) ( th z )′ = ? z ?z ?e +e

z ?z 2 z ?z 2 2 ?z ′ z ? ? + e e e e ( ) ( ) ? ? + e e ? 2 ? ′ = = ? ? z ? z ? = ? csch 2 z (4) ( cth z ) = ? z 2 ?z ? ?e ?e ? ? e ?e ? ( e z ? e? z )

43.证明下列不等式: (1) sh y ≤ sin ( x + iy ) ≤ ch y ; (2) sh y ≤ cos ( x + iy ) ≤ ch y 。 (1) sin ( x + iy ) = sin x cos iy + cos x sin iy = sin x ch y + i cos x sh y , 所以 sin ( x + iy ) =
2 2

sin 2 x ch 2 y + cos 2 x sh 2 y 。 sin 2 x + sh 2 y ≥ sh y , ch 2 y ? cos 2 x ≤ ch y 。不等式得证。

代入 ch y = 1 + sh y 得 sin ( x + iy ) = 代入 sh y = ch y ? 1 得 sin ( x + iy ) =
2 2

(2)同(1) 。

44.解下列方程: (1) sh z = 0 ; (2) 2 ch z ? 3ch z + 1 = 0 ; (3) sin z ?
2
2

5 sin z + 1 = 0 ; 2

(4) tan z = i 。 (1) sh z =

e z ? e? z = 0 ,即 e 2 z = 1 = ei 2 kπ ,所以 z = ikπ , ( k = 0, ±1, ±2 2
2z

) ;

(2)解得 ch z =1 或 1/2,即 e

= 1 = ei 2 kπ 或 e z =
) ;

1 3 i ±π 3 + 2 k π ) ,所以 z = ikπ , ±i =e( 2 2

( k = 0, ±1, ±2 i ( ±π / 3 + 2kπ ) ,

(3) z = π / 6 + 2kπ , 5π / 6 + 2kπ , π / 2 ? i ln 2 ± 3 + 2kπ , ( k = 0, ±1, ±2 (4)无解。

(

)

) ;

46.扇形区域 0 < arg z <

π
3

经变换 w = z 后边成什么区域?(上半平面)
3

47. 试证: 圆A x +y
2

(

2

后仍为圆, 并讨论 A = 0 及 D = 0 ) + Bx + Cy + D = 0 经变换 w = 1 z

的情况。 由于 x + y = z = zz , x =
2 2

1 1 ( z + z ) , y = ( z ? z ) ,圆方程可写为 2 2i 1 1 1 Azz + ( B ? iC ) z + ( B + iC ) z + D = 0 。令 E = ( B + iC ) ,则方程写成 2 2 2
2

Azz + Ez + Ez + D = 0 ,这就是圆的标准方程。代入 z = 1/ w ,得到 Dww + Ew + Ew + A = 0 ,仍是圆方程。
A = 0 时,将直线变换为圆, D = 0 时,将圆变换成直线。

48. w = e 把实轴上线段 0 ≤ x < 2π 变为什么图形?
iz

由 y = 0 得 w = e ,所以 w = 1 。 0 ≤ x < 2π 即是 0 ≤ arg w < 2π ,所以变为单位圆。
ix

49.双纽线 ρ = 2a cos 2? 经变换 w = z 后变为什么图形?
2 2 2

令z =

ρ ei? ,则 w = ρ 2 e2i? 。令 w = reiθ ,则 θ = 2? , r = ρ 2 = 2a 2 cos θ ,即变换为圆。
z ?1 将直线 y = ax 变为圆。 z +1

50.证明: w = ?i

直线方程写为 Az + Az = 0 ,其中 A =

aww + w + w ? a = 0 ,即为圆方程。

1 1 + iw 得 ( a ? i ) 。代入 z = 2 1 ? iw

51.证明:在变换 w =

1? 1? β ? z ? ? 下, z 平面上以原点为圆心, e ( β > 0 )为半径的圆变 2? z?

为 w 平面上的椭圆,焦点为 ±i ,长短半轴分别为 ch β 及 sh β 。 令 z = ρ e ,则圆方程为 ρ = e 。
i?

β

w=

1 β i? 1 β e e ? e ? β e ? i? ) = ? e cos ? + ie β sin ? ? e ? β cos ? + ie ? β sin ? ? ( ? 2 2?

= sh β cos ? + i ch β sin ?
x2 y2 令 w = x + iy , 则 x = sh β cos ? , y = ch β sin ? , 消去 ? 得 2 + 2 = 1 , 即以 ±i 为 sh β ch β
焦点, ch β 及 sh β 为长短半轴的椭圆。

52. 设 w = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 解析, 且

dw 试证曲线族 u ( x, y ) = C1 , v ( x , y ) = C2 ( C1 , ≠ 0, dz

C2 为任意实常数)互相正交。
设 n1 , n2 为过点 ( x, y ) 的两曲线在该点的法向量,即 n1 = ?

? ?u ?u ? ? ?v ?v ? , ? , n2 = ? , ? 。 ? ?x ?y ? ? ?x ?y ?

则 n1 ? n2 =

?u ?v ?u ?v ?u ?u ?u ?u + =? + = 0 ,即两曲线正交。 ?x ?x ?y ?y ?x ?y ?y ?x


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