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广西南宁市2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题理

广西南宁市2016_2017学年高一数学下学期期末考试试题理

广西南宁市 2016-2017 学年高一数学下学期期末考试试题 理
一、选择题 1. sin 600? ? ( A. ) B. ?

1 2

1 2


C.

3 2

D. ?

3 2

2.已知 sin A ? A. ?
1 2

1 ? 3? ? ? A? ? ( ,那么 cos ? ? 2 ? 2
B.

1 2

C. ?

3 2

D. )

3 2

? ? ? ? 3.已知向量 a ? (1, x) , b ? ( x ? 1, 2) ,若 a / / b ,则 x ? (

A. ?1 或 2
2 2

B. ?2 或 1

C.1 或 2

D. ? 1 或 ? 2 )

4.点 M 在 ? x ? 5 ? ? ? y ? 3? ? 9 上,则点 M 到 直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的最短距离为( A. 9 B.8 C. 5 D.2

5.若将函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? 图象向右平移 A.
? 4

?
8

个单位长度后关于 y 轴对称,则 ? 的值为( C.
3? 4



B.

3? 8

D.

5? 8

6.从 1,2,3,4 这四个数字中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率 为( A. ) B.

1 2

1 3

C.

1 4

7 25

D.

1 5

7.已知 sin ? A.
24 25

?? ? 3 ? ? ? ? ,则 cos ?? ? 2? ? 的值为( ?2 ? 5
B.
7 25

C. ?

D. ?

24 25

2 2 8 .已知圆 M : x ? y ? 2ay ? 0 ? a ? 0 ? 截直线 x ? y ? 0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆的

N : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 的位置关系是(
2 2

) C.外切 D.相离

A.内切

B.相交

9. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.
5 3 3



B.

4 3 3

1

C.

5 3 6

D. 3

10.已知函数 f ? x ? ? A sin ??x ? ? ?? A ? 0, ? ? 0, ? ?

? ?

??

? 的部分图像如图所示,若将 f ? x ? 图像 2?


上的所有点向右平移

? 单位得到函数 g ? x ? 的图象,则函数 g ? x ? 的单调递增区间为( 2

? ?? ? A. ?k? ? , k? ? ?, k ? Z 3 6? ?
B. ?k?

? ?

?

? 2? ? , k? ? ,k ? Z 6 3 ? ?
?
12 , k? ? 12 ? ?

C. ?k? ?

? ?

??

,k ? Z

D. ?k? ?

? ?

7? ?? , k? ? ?, k ? Z 12 12 ?
2

11 .在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,直线 l : x ? ky ? 1 ? 0 与圆 C : x

? y 2 ? 4 相交于

???? ? ??? ? ??? ? A, B 两点, OM ? OA ? OB .若点 M 在圆 C 上,则实数 k ? (
A. ?2 B. ?1 C.0

) D.1

??? ? 1 ??? ? 12 .已知在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 3 ,点 E 满足 BE ? BC ,点 F 在边 CD 上,若 3

??? ? ???? ??? ? ??? ? AB ? AF ? 1 ,则 AE ? BF ? (

) C.

A. 1 二、填空题

B. 2

3

D. 3

13.如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? AB ? 2 , AD ? 1 , 点 E , F , G 分别是 DD1 , AB , CC1 的中点,则异面直线 A1 E 与 GF 所成的角是 .

14.在区间 ? ?3, 2? 上随机取一个数 x ,则事件“ 1 ? ? ? ? 4 ”发生的概率为________. 15.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 .

?1? ?2?

x

x 16. 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ? x ? ? 2 ?

f ? x?, x ? 1 m g x ? { , 设 ,若函数 ? ? f ??x?, x ? 1 2x
2

y ? g ? x ? ? t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围是__________.
三、解答题 17.已知直线 l1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0, l2 : x ? ? a ? 2 ? y ? a ? 0 . (1)若 l1 ? l2 ,求实数 a 的值; (2)当 l1 / / l2 时,求直线 l1 与 l2 之间的距离.

18.袋子中装有编号为 A1 , A2 , A3 的 3 个黑球和编号为 B1 , B2 的 2 个红球,从中任意摸出 2 个球. (Ⅰ)写出所有不同的结果; (Ⅱ)求恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率; (Ⅲ)求至少摸出 1 个红球的概率.

19.已知向量 a =(cos

?

3x 3x ,sin ), 2 2

? b =(-sin

x x ? ,-cos ),其中 x∈[ ,π ]. 2 2 2

(1)若| a + b |= 3 ,求 x 的值;

?

?

3

(2)函数 f(x)=

? ? ? ? 2 a · b +| a + b | ,若 c ? f ( x) 恒成立,求实数 c 的取值范围.

4

20.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD 是正三角形, 且平面 PAD ? 平面 ABCD , O 为棱 AD 的中点. (1)求证: PO ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 A ? PD ? B 的余弦值。

21 . 已 知 向 量 a ? (cos ? x ? sin ? x,sin ? x) , b ? (? cos ? x ? sin ? x,2 3 cos ? x) , 设 函 数

?

?

? ? 1 f ( x) ? a ? b ? ?( x ? R) 的图象关于直线 x ? ? 对称,其中 ?, ? 为常数,且 ? ? ( ,1) .
2
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

3π ? (2)若 y ? f ( x) 的图象经过点 ( ,0) ,求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的取值范围.
4

5

22.已知圆心为 C 的圆,满足下列条件:圆心 C 位于 x 轴正半轴上,与直线 3x-4y+7=0 相切,且被
5

y 轴截得的弦长为 2 3 ,圆 C 的面积小于 13. (Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设过点 M(0, 3)的直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A, B, 以 OA, OB 为邻边作平行四边形 OADB. 是 否存在这样的直线 l,使得直线 OD 与 MC 恰 好平行?如果存在,求出 l 的方程;如果不存在, 请说明理由.

6

高一期考数学(理)试题参考答案 1. D.

?

3 2
1 ? 3? ? ? A ? ? ? sin A ? ? .故应选 A ? 2 ? 2

2. A 3. A 4. D

因 cos ?

? ? ? ? ∵ a ? (1, x) , b ? ( x ? 1, 2) , a / / b ,∴ 1? 2 ? x( x ? 1) ? 0 ,∴ x ? 2 或 ?1 ,选 A.

由 圆 的 方 程 ? x ? 5? ? ? y ? 3? ? 9 , 可 知 圆 心 坐 标 O (5, 3) , 则 圆 心 到 直 线 的 距 离
2 2

d?

3? 5 ? 4 ? 3 ? 2 32 ? 42

? 5 ,所以点 M 到直线 3x ? 4 y ? 2 ? 0 的最短距离为 d ? r ? 2 ,故选 D.
? 8
? ?

5. C
??

函数 y ? sin ? 2 x ? ? ? 图象向右平移 个单位长度后得到 sin ? 2 x ? ? ?
3? . 4

??

? 为偶 函数,故 4?

6, 选 A ,解:所有可能为 12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43 共 12 个,满足条件 的有 6 个。所以选 A

7. B

由 sin ?

?? ? 3 3 ? ? ? ? ,得 cos ? ? , 5 ?2 ? 5
9 7

所以 cos ?? ? 2? ? ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 2 ? 25 ? 25 ,故选 B. 8. B
d ?

化 简 圆 M : x ? ( y ? a) ? a ? M (0, a), r1 ? a ? M 到 直 线
2 2 2

x? y ?0 的 距 离

a 2 a ) ? 2 ? a 2 ? a ? 2 ? M (0, 2), r1 ? 2 , ?( 2 2

又 N (1,1), r2 ? 1 ?| MN |? 2 ?| r1 ? r2 |?| MN |? | r1 ? r2 |? 两圆相交. 9. A 该几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥,所以体积为
3 1 3 5 3 ? 2 2 ? 2- ? ? 2 2 ? 1= 4 3 4 3

10. A

由图可得, f ( x ) 的振幅 A ? 2 ,周期 T ? 4 ? (

?
3

?

?
12

) ? ? ,则 w ? 2 ,又 | ? |?

?
2



所 以 2?

?
12

?? ?

?
2

, 解 得 ??
)?

?
3

, 所 以

f ( x) ? 2 s i n (x ? 2
? 2k? ? 2 x ?

?
3

) 平 移 后 得 ,
? 2k? , k ? Z ,解得

g ( x) ? 2sin[2( x ?
?

?
12

?
3

] ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,令 ?

?
2

?
6
3

?

?
2

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? , k ? Z ,所以

g ( x)

的单调增区间为 [?

?

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z .故

7

本题正确答案为 A. 11. C 设 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,将直线方程代入 C : x 2 ? y 2 ? 4 ,
2k ?2 , x1 ? x2 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? 2 , 2 k ?1 k ?1

整理得, (k 2 ? 1) y 2 ? 2ky ? 3 ? 0 ,所以, y1 ? y2 ?

???? ? ??? ? ??? ? ?2 2k ?2 2 2k 2 OM ? OA ? OB ? ( 2 , ) .由于点 M 在圆 C 上,所以, ( 2 ) ?( 2 ) ?4, k ?1 k ?1 k ?1 k 2 ?1

解得, k 12. B

? 0 ,故选 C .

以 A 点为坐标原点, AD,AB 方向为 x 轴, y 轴, 建立平面直角坐标系, 则:A ? 0,0 ? , B 0, 2 ,

?

?

设 F ? 3, m ? ,则:
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? 0, 2 , AF ? ? 3, m ? , AB ? AF ?

?

?

2m ? 1, m ?

? 2 ,即 F ? ? 3, 2 ?

2? ? ,则: 2 ? ?

??? ? ??? ? ? ? ??? ? 2 ? ??? AE ? 1, 2 , BF ? ? 3, ? , ? AE ? BF ? 3 ?1 ? 2 。 ? ? 2 ? ? ?

?

?

本题选择 B 选项. 13.

90?

解 : 连 接 B1G, B1 F , 由 于 A1 E / / B1G , 所 以 ?B1 GF 即 为 所 求 ,

B1F ? 5, B1G ? 2, GF ? 3 ,满足勾股定理,故 ?B1GF ? 90? .
14.
2 ?1? 解:?1 ? ? ? 5 ?2?
x

? 4 ??2 ? x ? 0 ,所以所求概率为 P ?

0 ? ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? ?3? 5

15, 答案:

5? 6

16. ? ? , ? 解:? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, ? 2 2?
x 且 f ? x? ? 2 ?

? 3 3?

m ,? f ? 0 ? ? 0 ,即 f ? 0 ? ? 1 ? m ? 0 ,得 m ? ?1 , 2x

? ? 1 x 则 f ? x? ? 2 ? x , g ? x? ? ? 2 ?1
增 函数,且 当
x ?1

?

2x ?

1 , x ?1 2x
x

,则当 x ? 1 时,函数为

? ? 2x

? 2 , x ?1
1 1 3 ? 2 ? ? , 当 x ? 1 时 ,函数为 减函数, 且 1 2 2 2

1 时, g ? x ? ? 2 ?

1 ? 1 3 ? g ? x ? ? g ?1? ? ? ? 21 ? 1 ? ? ? 2 ? ? ,由 2 ? 2 2 ?

y ? g ? x ? ? t ? 0 得 g ? x ? ? t ,作出函数 g ? x ? 和

8

y ? t 的图象如图: 要使函数

y ? g ? x ? ? t 有且只有一个零点, 则函数 g ? x ? 与 y ? t 只有一个交点,

则?

3 3 ? 3 3? ? t ? ,故答案为 ? ? , ? . ? 2 2? 2 2

17. 解(1)由 l1 ? l2 知 a ? 3 ? a ? 2 ? ? 0 ,解得 a ? (2)当 l1∥l2 时,有 ?

3 ; 2

??4 分

? ?a ? a ? 2 ? ? 3 ? 0 解得 a ? 3 , ? ? 3a ? ? a ? 2 ? ? 0

??8 分

l1 : 3 x ? 3 y ? 1 ? 0, l2 : x ? y ? 3 ? 0 ,即 3 x ? 3 y ? 9 ? 0 ,
距离为 d ?

9 ?1 3 ?3
2 2

?

4 2 .?10 分 3

18.解: (Ⅰ) A1 A2 , A1 A3 , A2 A3 , A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , B1 B2 ????4 分 (Ⅱ) 记“恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件为 A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 ,共 6 个基本事件. 所以 P ( A) ?
6 ? 0.6 . 10

恰好摸出 1 个黑球和 1 个红球的概率为 0.6. ????????????8 分 (Ⅲ)记“至少摸出 1 个红球”为事件 B, 则事件 B 包含的基本事件为 A1 B1 ,A1 B2 ,A2 B1 ,A2 B2 ,A3 B1 ,

A3 B2 , B1 B2 ,共 7 个基本事件,所以 P ( B ) ?
至少摸出 1 个红球的概率为 0.7 . 19. 解 :(1)∵ a ? b =(cos

7 ? 0.7 . 10

??????????????12 分

?

3x 3x x x -sin ,sin -cos ), 2 2 2 2
2 2

? ∴ a ? b = ? cos ?

? ? ? ?

3x x? ? 3x x? ? sin ? ? ? sin ? cos ? = 2 ? 2sin 2 x , 2 2? ? 2 2?
1

由 a ? b = 3 ,得 2 ? 2sin 2 x = 3 ,即 sin 2x=- .∵x∈[ ,π ],∴π ≤2x≤2π . 2 2 因此 2x=π + 或 2x=2π - ,即 x= (2)∵ a ? b =-cos
? 6

?

? 6

11? 7? 或 x= .............6 分 12 12

? ?

? ? 3x 3x x x sin -sin cos =-sin 2x,∴f(x)= a ? b + 2 2 2 2

? ?2 c ? b =2-3sin 2x,

∵π ≤2x≤2π ,∴-1≤sin 2x≤0,∴2≤f(x)=2-3sin 2x≤5,∴[f(x)]max=5.又 c>f(x)恒 成立,

9

因此 c>[f(x)]max,则 c>5.∴实数 c 的取值范围为(5,+∞).????????????12 分 20. (1)证明:∵ ?PAD 是正三角形, O 是 AD 中点,∴ PO ? AD ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,∴ PO ? 平面 ABCD ???????????????.5 分 (2)解法 1:? 平面 PAD ? 平面 ABCD , AB ? AD ,? AB ? 平面 PAD ,过 A 作 AG ? PD 于 G,

, ? ? A G为 B 二 面 角 A ? PD ? B 的 平 面 角 , 在 Rt ?ABG 中 , 连 接 GB , 则 G B ? P D

AG ? 3 ,AB ? 2? , GB ?

7 ?,

c? oAGB s ?

AG 3 21 . ? ? BG 7 7

解法 2: (2)以 O 为原点,以 OA 为 x 轴, OP 为 z 轴,建立如图所 示坐标系,

A(1,0,0), B(1,2,0), D(?1,0,0), P(0,0, 3), C(?1,2,0)
∴ PD ? (?1,0,? 3 ) , PB ? (1,2,? 3 ) , 设平面 PDB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则?

? ?n ? PD ? 3 z ? x ? 0 ? ?n ? PB ? x ? 2 y ? 3 z ? 0

,∴ n ? (?3,3, 3 ) ,

又∵ CD ? 平面 PAD ,∴平面 PAD 的一个法向量为 m ? (0,1,0) , ∴ cos ? n, m ??

3 21 ? ????????????????????????12 分 7 21

? ? 21,解: (1) f ( x) ? a ? b ? ? ? (cos ? x ? sin ? x)( ? cos ? x ? sin ? x) ? sin ? x ? 2 3 cos ? x ? ?
? ?(cos 2 ? x ? sin 2 ? x) ? 3 sin 2? x ? ? ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? ? ? 2 sin(2? x ?
因为图象关于直线 x ? ? 对称,所以 2?? ? 所以 ? ?
k 1 1 ? ,又 ? ? ( ,1) ,所以 k 2 2 3

?
6

)??.

?
6

?

?
2
?

? k? , k ? Z ,
5 , 6

? 1 时, ?

所以函数 f ( x) 的最小正周期为

2? 6? ? 5 5 .?????????????????6 分 2? 6

5 ? ? ? (2)因为 f ( ) ? 0 ,所以 2sin(2 ? ? ? ) ? ? ? 0 4 6 4 6
5 ? 所以 ? ? ? 2 ,所以 f ( x) ? 2sin( x ? ) ? 2 . 3 6

由 x ? ? 0,

? ?

3? ? 5 ? ? ? 5? ? 5 ? ? 1 ? ,所以 x ? ? ? ? , ,所以 sin( x ? ) ? ? ? ,1? , 5 ? 3 6 3 6 ? 6 6 ? ? ? 2 ? ?
10

5 ? ? 所以 2 sin( x ? ) ? 2 ? f ( x) ? ? ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? ,故函数 3 6

f ( x)

在区间 ?0,

? ?

3? ? 5 ? ?

? 上的取值范围为 ? ? ?1 ? 2, 2 ? 2 ? .??????12 分
? | 3a ? 7 | ? 2 2 ? R, 13 22.解: (I)设圆 C:(x-a) +y =R (a>0),由题意知 ? 3 ? 4 解得 a=1 或 a= , 3 分 8 ? 2 a ? 3 ? R , ?
2 2 2

又∵S=π R <13,∴a=1,∴圆 C 的标准方程为:(x-1) +y =4. (Ⅱ)当斜率不存在时,直线 l 为:x=0 不满足题意. 当斜率存在时,设直线 l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2), 又∵l 与圆 C 相交于不同的两点,联立 ?( x ? 1) 2
? ? y ? kx ? 3, ? y 2 ? 4,

2

2

2

6分

消去 y 得:(1+k )x +(6k-2)x+6=0,
2 2 2

2

2

9分
2 6 2 6 或 k ?1? . 3 3

∴Δ =(6k-2) -24(1+k )=36k -6k-5>0,解得 k ? 1 ? x1+x2= ?

2k ? 6 6k ? 2 ,y1+ y2=k(x1+x2)+6= , 1? k2 1? k2 ???? ? ???? 1 ??? ? ??? ? 1 OD ? (OA ? OB) ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , MC ? (1, ? 3) , 2 2

假设 OD / / MC ,则 ?3( x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 ,∴ 3 ? 解得 k ?

????

???? ?

6k ? 2 2k ? 6 ? , 1? k2 1? k2

3 2 6 2 6 ? (??, 1? ) ? (1 ? , ? ?) ,假设不成立. 4 3 3

∴不存在这样的直线 l.

12 分

11


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