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自考高等数学(00020)2013年1月真题答案详解

自考高等数学(00020)2013年1月真题答案详解


绝密 ★ 考试结束前

全国 2013 年 1 月高等教育自学考试

高等数学(一)试题
课程代码:00020 试卷总体分析:
第一章
一、单项选择题(2*5) 二、填空题(3*10) 三、计算题(一) (5*5) 四、计算题(二)(7*3) 五、应用题(9*1) 六、证明题(5*1) 合计

第二章

第三章

第四章

第五章

第六章

合计

2 3 0 0 0 0 5

2 3 5 0 0 0 10

2 6 5 7 0 0 20

2 6 0 7 0 5 20

2 9 10 7 0 0 28

0 3 5 0 9 0 17

10 30 25 21 9 5 100

试卷详解:
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的 位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂 其他答案标号。不能答在试题卷上。 一、单项选择题(本大题共 5 小题,每小题 2 分,共 10 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题 纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.设函数 f ? x ? 1? ? x2 ? x ,贝 f(x)= A. x(x+1) 答案:B ════════════════════════════════════════════════════════════════════
2013.1 高数(一)答案详解 本套试题共分 8 页,当前页是第 1 页-

B.x(x-1)

C. (x+1) (x-2)

D.(x-1) (x+2)

知识点:复合函数

解:f ? x ? 1? ? x 2 ? x 令x ? 1 ? t , 则x ? t ? 1 故f ? t ? ? ? t ? 1? ? t ? 1 ? ? t ? 1? t
2

即f ? x ? ? ? x ? 1? x
2.若 x ? 0 时函数 f(x)为 x2 的高阶无穷小量,则 lim
x ?0

f ( x) = x2

A.0

B.

1 2

C .1

D.∞

答案:A 知识点:无穷小量的比较 解:根据高阶无穷小量的定义 lim
x ?0

f ( x) =0. x2

3.设函数 f ? x? ? x2 x9 ? x3 ? 1 ,则高阶导数 f (12) ? x ? = A.12! B.11! 答案:D 知识点:高阶导数 C.10! D.0

?

?

解:f ? x ? ? x 2 ? x9 ? x3 ? 1? ? x11 ? x5 ? x 2 f ' ? x ? ? 11x11?1 ? 5 x5?1 ? 2 x 2 ?1 f " ? x ? ? 11 ? 10 x11? 2 ? 5 ? 4 x5? 2 ? 2 x 2 ? 2

? x ? ? 11! x0 12 f ? ? ? x? ? 0
f?
11?

x 3 ? x2 A.仅有铅直渐近线 答案:B 知识点:曲线的渐近线
4.曲线 y ?

B.仅有水平渐近线

C.既有水平渐近线又有铅直渐近线 D.无渐近线

1 x 解: lim y ? lim ? lim x ? 0 x ?? x ?? 3 ? x 2 x ?? 3 ?1 x2 ? 原曲线有水平渐近线y=0

5.设函数 f(x)连续, ?( x) ? ? tf (t )dt ,则 ? ?( x ) =
x

a

A. x f (x) 答案:C

B.a f(x)

C.-x f(x)

D.-a f (x)

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2013.1 高数(一)答案详解 本套试题共分 8 页,当前页是第 2 页-

知识点:变限积分的导数 解: ? '( x) ?
a x

? ? tf (t)dt ? ' ? ?xf ? x?
非选择题部分

注意事项: 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)

2x ? 1 ,则 f(x)的定义域为__________. 7 知识点:函数定义域
6.设函数 f ? x ? ? lg
2x ? 1 1 ? 0,解得x ? 7 2 ?1 ? 即原函数定义域为? , +? ? 2 ? ? 解:根据题意得

7.极限 lim ? l ? 2x2 ? x2 =_________.
x ?0

1

知识点:重要极限
1 1 1 ? ? ? ? 解: lim ? l ? 2x2 ? x2 ? lim ?? l ? 2x 2 ? ?2x2 ? ? ?lim ? l ? 2x 2 ? ?2x2 ? ? e?2 x ?0 x ?0 x ?0 ? ? ? ? ?2 ?2

8.某商品需求量 Q 与价格 P 的函数关系为 Q=150-2P2,则 P=6 时的边际需求为__________. 知识点:边际分析 解: Q ' p?6 ? ?4 p p?6 ? ?24 9.函数 f ? x ? ? x 2 在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的中值 ? =__________. 知识点:拉格朗日中值定理
解: f ' ?? ? ? 2? ?    ?? ? 1 2 f (1) ? f (0) ?1 1? 0

4 10.函数 f ? x ? ? x4 ? x3 ? 1 在区间[-1,1]上的最小值为__________. 3 知识点:函数最值

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2013.1 高数(一)答案详解 本套试题共分 8 页,当前页是第 3 页-

解:  由f ' ? x ? ? 4 x3 ? 4 x 2 ? 0    解得原函数在 ? 0,1?内驻点为x ? 0 1 2      f (?1) ? 2 , f (0) ? 1, f (1) ? 3 3 2     原函数在 ? ?0,1?的最小值为 3 sin x ? __________. 11.极限 lim x ? 0 (1 ? x ) ln(1 ? x )

知识点:函数极限
解: 法一: lim sin x x 1 ? lim ? lim ?1 x ?0 (1 ? x)ln(1 ? x) x ?0 (1 ? x) x x ?0 1 ? x sin x cos x 法二: lim ? lim ?1 x ?0 (1 ? x)ln(1 ? x) x ?0 ln(1 ? x) ? 1
1 ?1

12.定积分 ? x cos xdx ? __________. 知识点:奇函数在对称区间上的定积分性质 解:根据奇函数在对称区间上的定积分值为 0,得 ? x cos xdx ? =0
?1 1

13.微分方程 xy ? ? y 的通解为__________. 知识点:可分离变量微分方程
dy dx ? y x dy dx ? y ?? x ln y ? ln x ? ln C y ? Cx

14.若 ? f ? x ? dx ? 3e 3 ? C ,则 f(x)=__________. 知识点:不定积分的定义
x ? x ? 解: f ? x ? ? ? 3e 3 ? C ? ' ? e 3 ? ?

x

15.设函数 z= e y sin ? x ? y ? ,则

?z =__________. ?y

知识点:偏导数 ?z 解: ? e y sin ? x ? y ? ? e y cos ? x ? y ? ? e y ? ?sin ? x ? y ? ? cos ? x ? y ? ? ? ?y 三、计算题(一) (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) ════════════════════════════════════════════════════════════════════
2013.1 高数(一)答案详解 本套试题共分 8 页,当前页是第 4 页-

?e3 cos 2 x, ? 16.讨论函数 f ( x) ? ? 1 x ? (1 ? 3 x ) , ?

x?0 x?0

在 x=0 处的连续性.

知识点:函数的连续性
解: f (0) ? e3
x ? 0?

lim f ( x) ? lim e3 cos 2 x ? e3 ?
x ?0 1 x 3

1 ? ? 3 3x lim f ( x ) ? lim (1 ? 3 x ) ? lim (1 ? 3 x ) ? ? ?e ? ? ? x ?0 x ?0 x ?0 ? ? ? lim f ( x ) ? lim f ( x ) ? f (0) ? ? x ?0 x ?0

故函数f ( x)在x=0处连续.

17.设函数 y ? earcsin x ,求 d y. 知识点:函数微分

解:法一: y ' ? ? earcsin x ? ' ? earcsin x ?     ? dy ? earcsin x 1 ? x2 dx

1 1 ? x2

法二:dy ? d ? earcsin x ? ? earcsin x d ? arcsin x ? ?
18.求不定积分 ? xe-2x dx . 知识点:不定积分的分部积分法
-2x 解: ? xe dx ? ?

earcsin x 1 ? x2

dx

1 xde-2x 2?

1 1? 1 ? xe-2x ? ? e-2x dx ? ? ? xe-2x ? e-2x ? ? C 2 2? 2 ? 1 -2x ? ? e ? x ? 2? ? C 2 ??
? 1 , x?0 1 ? 19.设函数 f ( x) ? ?1 ? x 2 ,计算定积分 ? ? ? f ( x)dx . ?1 ? 1? x, x ? 0 ?

?

?

知识点:定积分计算
解:I ?

?1 3 2 ? ?1 ? x ? 2 3

?

0

1 ? xdx ? ?
0

1

1 dx 1 ? x2 0
1

?1

? arctan x 0 ?

2 ? ? 3 4

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1 20.计算二重积分 ? ? ?? x dxdy ,其中区域 D 由曲线 y ? ,y ? x 2 及直线 x=2 围成. x D
知识点:二重积分的计算

解二:I ? ? ? xdxdy ? ?
1 1 2 y 1

1 2

4 2

? xdxdx
y 1 4 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 2 ? dy ? ? ? 4 ? y ? dy ? 2 1? y ? 21 2

x2 ?? 1 2
2

1

2

1 y

x2 dy ? ? 1 2

4

2

dy ?
y

1 ? ? 1 1 ? 1? y2 ? ?4y ? ? ?4y ? 2? y1? 2 ? ? 2? ? ? 2 ?

? 11 ?? ? 4 1 ?
4

四、计算题(二) (本大题共 3 小题,每小题 7 分,共 21 分)

21.设函数 y ? ln

1? x 1 dy ? arctan x 2 , 求 1? x 2 dx

.
x ?0

知识点:函数求导

22.求曲线 y ? xe2x 的凹凸区间及拐点. 知识点:曲线的凹凸区间及拐点

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23.计算定积分 ? ? ?

1 2 0

x 1 ? x2

dx .

知识点:定积分的计算

五、应用题(本题 9 分) 24.设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料,第一种为 x(千吨) ,第二种为 y(千吨) ,其电能消耗量 N(万 度)与两种原料使用量的关系为
N ? x2 ? 2xy ? 2 y 2 ? 4x ? 6 y ? 105

问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低,并求此时的最低能耗. 知识点:二元函数的最值

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六、证明题(本题 5 分)

25.证明当 x>0 时, arctan x ? x知识点:函数单调性

x3 . 3

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