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“张冠李戴”又如何——点差法失效的成因与结果分析_图文

“张冠李戴”又如何——点差法失效的成因与结果分析_图文

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数学通讯 ) 2012 年第 6 期 ( 下半月 )

#教学参考#

/ 张冠李戴0又如何
) ) ) 点差法失效的成因与结果分析
江战明 范虹燕

( 浙江省德清高级中学 , 313200)

1 前言 点差法在解析几何中 的重要地位与 / 神 奇0 效 果, 是每一位高中数学教师所熟知的. 所以在圆锥曲 线的教学过程中 , 教师对点差法的高度重视是绝对 有理由 , 也是符合教学 实际的. 但由于大部分 教师 ( 包括笔者 ) 对点差法的理解又是/ 局限0 的, 或者说 有盲点, 所以在实际教学过程中, 还是多少存在着一 些/ 遗憾0 . 下面笔者以具体案例为背景 , 分析点差法 教学的/ 遗憾0所在, 并愿与大家分享探索、 解决的过 程. 2 遗憾显现 在点差法的教学过程中 , 笔者曾经拿下面一个 问题让学生解答 , 并在学生做完后作分析点评 . 具体 题目如下 . x2 y2 已知椭圆方程为 + = 1. ( 1 ) 求以点 P ( 1, 4 3 1) 为中点的椭圆的弦所在的直线方程; ( 2 ) 过点 Q ( 2, 1) 能否作直线 l , 使 l 与所给椭圆交于 C , D 两 点, 且点 Q 是弦 CD 的中点? 这样的直线若存在 , 求出它的方程; 如果不存在, 说明理由. 在教学过程中, 笔者有选择性地找一学生解答 , 挑重点展示如下 :

3 ( 1) 用 点差法求得 lA B : y - 1= - 4 ( x - 1 ) . ( 过程略去) ( 2) 假设存在直线 l , 使得直线 l 与椭圆交于 C , D 两点 , 且 Q 为弦 CD 的中点 . 设点 C ( x 1 , y 1 ) , D( x 2 , y 2 ) , ^ 点 C, D 在椭圆上, _ x1 + 4 x2 2 + 4 ?
2

y1 = 1 3 y2 2 = 1 3 ? , 得

2

? ?

( x 1- x 2) ( x 1+ x 2) + 4 ( y 1- y 2) ( y 1+ y 2) y 1- y 2 3 x 1+ x 2 = 0] = # , 3 x 1- x 2 4 y 1+ y 2 由 ^ Q 为弦 CD 的中点 , 有 x 1 + x 2 = 4, y 1 + y 2 = 2, y 1- y 2 3 4 3 = # , 即 k CD = . 又因 为直线 x 1- x 2 4 2 2 3 CD 过点 Q, 所以 l CD : y - 1= ( x - 2) . 下面验 2 3 证直线 l 的存在性, 把直线 y - 1= - ( x - 2) 代入 2 2 2 x y 2 椭圆方 程 + = 1 , 化简得 3 x - 12 x + 13= 0, 4 3 ^ v = 144- 156= - 12< 0, _ 直线 l 与椭圆没有 交点, 即按照题设要求的直线是不存在的 . _

等, 或请外出参观、 开会、 学习回来的老师汇报情况 谈感受体会等. 总之, 研究的课题、 活动的内容是有 的, 只要开动脑筋就会有办法 . 参考文献:
[ 1] 人民教育出版 社中学 数学室 编著 . 全日制 普通高 级中 学教科书 ( 试验修订本# 必修 ) 数学 第一册 ( 下 ) [ M ] . 北 京 : 人民教育出 版社 , 2000. 11. [ 2] 刘绍 学 主编 . 普 通 高中 课程 标 准实 验教 科 书 , 数 学 4 ( 必修 ) A 版 [ M ] . 北京 : 人民教育出版社 , 2007. 2.

[ 3] [ 4] [ 5] [ 6]

高 存明 主 编 . 普通 高 中课 程标 准 实验 教科 书 , 数 学 4 ( 必修 ) B 版 [ M ] . 北京 : 人民教育出版社 , 2004. 9. 严 士健 主 编 . 普通 高 中课 程标 准 实验 教科 书 , 数 学 4 ( 必修 ) [ M ] . 北京 : 北京师范大学出版社 , 2004. 7. 单 主编 . 普通 高中 课程标 准实 验教科 书 , 数学 4( 必 修 ) [ M ] . 南京 : 江苏教育出版社 , 2007. 6. 张景中主编 . 普 通高中 课程标 准实验 教科书 ( 必修 ) 数 学第二册 [ M ] . 长沙 : 湖南教育出 版社 , 2005 . 8 . ( 收稿日期 : 2012- 01- 06)

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分析点评 对于问题( 1 ) 的解答 , 大部分学生没有异议 ( 除 部分用韦达定理解的学生, 这里不作展开 ) . 但对于 问题 ( 2) 的解法 , 有些同学想不通: 明明是算出来了 , 怎么就变成不存在 了? 还有些 同学有他们自 己的 / 想法0 . 想不通的同学的问题是 , k CD = y 1- y 2 3 = - # x 1- x 2 4

提出过 , 因而一直没仔细考虑, 现在有学生突然提到 此问题, 笔 者还是有点措手不 及. 因为 单从结果来 看 , 可以知道这条直线过点 Q , 而且不会与椭圆 + x2 4

y2 = 1 相交, 至于为什么, 一下子也说不上来, 于 3 是就如实作了回答 . 学生略带着一点/ 失望0 的表情 坐了下去, 而笔者则在一种/ 遗憾 0 的情绪下结束这 堂课. 3 刨根究底 本着/ 解惑0 至上的态度和勇于探索的精神, 下 课后笔者/ 立马0投入到了相关问题的探索中. 若点 Q( x 0 , y 0 ) ( x 0# y 0 X 0 ) 在椭圆 x 2 + y 2 = 1 a b b2 x0 外 , 那么点差法求出的直线方程: y - y 0 = - 2 # a y0 ( x - x 0 ) 到底会是什么? 要寻找答案 , 必须对点差 法解题过程展开分析. 点差法的前提条件是, 假设过 点 Q 的直线与椭圆相交于 A , B 两点 , 且 Q 为 A , B 的中点, 设点 A , B 的坐标 分别为 ( x 1 , y 1 ) 和 ( x 2 , y 2 ) , 然后把点代入椭圆方程 , 得 x2 y2 1 1 = 1 2+ a b2 x2 y2 2 2 + = 1 a2 b 2 然后再作差 ? - ?, 得到 y 1- y 2 b2 x 1 + x 2 = - 2# x 1- x 2 a y 1+ y 2 ? ? ?
2 2

x 1+ x 2 3 4 3 = # = , 斜率 算出来了 , 点也 有 y 1+ y 2 4 2 2 了, 直线不是有了吗 ? 怎么又变不存在了? 笔者给出的解释是, 在假设直线 l 与椭圆相交 y 1- y 2 x 1+ x 2 的前提条件下 , k CD = = - 3# 是没 x 1- x 2 4 y 1+ y 2 有错 , 错就错在 x 1 + x 2 和 y 1 + y 2 不可能同时等于 4 和 2 , 用 4 和 2 代 x 1 + x 2 和 y 1 + y 2 显然是/ 张冠 李戴0 了. 因为 C ( x 1 , y 1 ) 和 D ( x 2, y 2 ) 是直线与椭 x 1+ x 2 y 1+ y 2 圆的交点 , 而( , ) 为弦 CD 的中点, 即 2 2 一定 在 椭 圆 内 部 , 而 点 Q 则 在 椭 圆 外, 所 以 点 x 1+ x 2 y 1+ y 2 ( 2 , 2 ) 不可能是 Q ( 2, 1) . 因此假设 l 与 椭圆交于 A , B 两点是可以, 但若再假设 Q 为 A B 的中点, 显然不成立 , 即 l 不存在. 这样分析之后, 想 不通的同学终于展现了/ 豁然开朗0 的神情. 有/ 想法0同学的考虑是, 第二问给出的点 Q 在 椭圆的外部, 所以不用算也能知道 , 根本不可能存在 一条椭圆的弦 , 使得点 Q 为弦的中点, 所以满足问 题( 2 ) 要求的直线显然是不存在的 , 因此根本不需要 求, 当然也就不存在验证了. 笔者给出的解释是, 如果问题中所给出的圆锥 曲线是椭圆或抛物线 , 那么用此方法判断, 确实简单 明了 , 但是若题目所给的曲线是双曲线 , 那你怎么判 断? 所以, 上述问题 ( 2 ) 所给出的解法是一种通法 , 特别适合用在双曲线中点差法结果的存在性验证 . 如此一说 , 有/ 想法0 的学生也就欣然接受了. 在笔者如此的/ 循循善诱 0 下, 学生/ 终于0 对点 差法结果存在性验证与失效原因 , 有了进一步的理 解. 正当笔者沉浸在良好的自我感觉中时, 有位同学 又抛出了一个问题: 问题 ( 2) 的解法确实是 / 张冠李 戴0 了 , 但也算出了一条直线, 那么这条直线是什么 ? x y + = 1 与点 Q 有 4 3 关系吗? 对于这个问题, 笔者以前不是没碰到过, 只 更确切地说 , 这条直线和椭圆 是觉得没什么/ 实际价值0 , 而且也没有学生慎重地
2 2

到此为止肯定没有问题 , 但此时若用 x 1 + x 2 = 2 x 0 , y 1 + y 2 = 2y 0 代入 ? 式, 显然/ 张冠李戴0 了 . 现 在研究的重点是, 即使/ 代入0 了, 那结果会是什么? 问题的核心指向已经非常明确了 , 关键是 x 1 + x 2 = 2 x 0 , y 1 + y 2 = 2y 0 能否同时成立. 如果成立, 那么直 b2 x 0 # ( x - x 0 ) 就一定是 / 椭圆0 a2 y 0 以 Q 为中点的一条弦所在直线方程 . 那么怎样才能 让 x 1 + x 2 = 2 x 0 , y 1 + y 2 = 2 y 0 成立? 在反复研究 线方程 y - y 0 = 点差法解题的过程中 , 笔 者终于发现: y 1- y 2 = x 1- x 2

b2 x 1 + x 2 x 2 y2 的获得 , 与椭圆方程/ 2 + 2 = 10 中 , 等 2# a y 1+ y 2 a b 式右边是不是 等于/ 10 无关, 也即 只要椭圆方程为 / x y > 0) 0 , 用点差法求得的直线方程永 2+ 2= K ( K a b b2 x 0 x2 y2 远是 y - y 0 = - 2 # ( x - x 0 ) . 而在 2 + 2 = K a y0 a b
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的条件下 , 要使 x 1 + x 2 = 2 x 0 , y 1 + y 2 = 2y 0 成立 , x2 y2 0 0 即可 , 因为此时 2+ a b2 x 2 y2 点 Q( x 0 , y 0 ) 已在椭圆/ 2 + 2 = K 0 内部 . 因此点 a b b2 x 0 差法所得的直线方程 y - y 0 = - 2 # ( x - x 0 ) , 就 a y0 2 2 2 2 x y x y 0 0 是椭圆 2 + 2 = K( K > 2 + 2 ) 以点 Q( x 0 , y 0 ) 为 a b a b 中点的一条弦所在直线方程. 通过更加深入的探究 , 2 b x0 笔者还发现 , 点差法所得的直线 y - y 0 = - 2 # y 0 a 2 2 x y ( x - x 0 ) , 更加精确地说 , 就是当椭圆 2 + 2 = K 过 a b 2 2 x 0 y0 点 Q( x 0 , y 0 ) ( 即 K = 2 + 2 ) 时, 在点 Q 处的切线 . a b ( 限于篇幅 , 证明略去 ) 4 拓展发散 显然非常简单, 只要令 K > 既然点差法在椭圆中失效的成因与结 果的解 读, 都得到了圆满的解决 , 那么点差法在抛物线与双 曲线中会出现的问题一定也可以用类似的方法给出 合理的解释. 4. 1 抛物线中的点差法 若点 Q ( x 0 , y 0 ) ( y 0 X 0) 在抛物线 y = 2 p x 开 口内部 ( y 2 0 < 2 p x 0 ) , 那么类似于椭圆 , 以点 Q 为中 点的抛物线的弦是一定存在的 , 而且用点差法即可 p 求得直线方程: y - y 0 = #( x - x 0 ) . y0 现在的问题是 , 若点 Q( x 0 , y 0 ) ( y 0 X 0) 在抛物 线 y 2 = 2 px 开口外( y 2 0 > 2 p x 0 ) , 那么用点差法求得 的直线方程: y - y 0 = p #( x - x 0 ) 又会是什么 ? 显 y0 然, 它不可能是以点 Q 为中点的抛物线 y 2 = 2 px 的 弦所在直线 , 因为 Q( x 0 , y 0 ) 在抛物线开口外. 继续 过程分析, 点差法在抛 物线中运用时 , 是假设 以点 Q 为中点的弦与抛物线相交于 A , B 两点 , 并设为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 然后把点 A , B 的坐标代入抛物 线方程, 得 y2 1 = 2p x 1 y 2 = 2p x 2 然后由 ? - ? 得
2 2

线/ y 2 - 2 px = K 0, 当 K > y2 0 - 2 px 0 时, 以点 Q ( x 0 , y 0) 为中点的弦所在直线的方程. 特别地, 当 K = y2 0 - 2 p x 0 时, 直线 y - y 0 =
2

p #( x - x 0 ) 即为抛物线 y0

/ y - 2p x = K 0 在点 Q 处的切线 . 4. 2 双曲线中的点差法 因为双曲线的形状和性质比椭圆、 抛物线 / 繁0 一点, 因此点差法可能出现的问题也比椭圆、 抛物线 复杂, 但通过更加细致、 深入的探索, 点差法在双曲 线中会出现的情况也可以得到全面归类 . 下面以点 Q 在第一象限为例 , 分四类情况作具体说明 . ( 1) 若点 Q( x 0 , y 0 ) ( x 0 # y 0 X 0) 在双曲线 x 2 - y 2 = 1 a b 开口内部( 如图 1 中区域 ? ) , x2 y2 0 0 即当 2 - 2 > 1 时 , 由点差法 a b 得 , 以 Q 为中 点的双 曲线的 弦所在直线方程为: y - y 0 = b2 x 0 # ( x - x 0) . a2 y 0 此时, 直线不仅与双曲线
2 2



1

x2 y2 = 1 有两个交 a2 b 2 点 , 而且这两个交点一定在同一支上 . 所以双曲线以 点 Q 为中点的弦是存在的 , 即为点差法所得直线方 程 ( 证明略) . ( 2 ) 若点 Q ( x 0 , y 0 ) ( x 0 #y 0 X 0 ) 在双曲线 + x2 a2

y2 = 1 两条渐近线夹 y 轴的区域为 ( 如图 1 中区 b2 x0 a 域 ? ) , 即当 | y | < b 时, 由点差法可得 , 以点 Q 为 0 b2 x 0 中点 的弦 所在直 线方 程为 : y - y 0 = 2 # ( x a y0 x 0) . 简证如下 : 设过 点 Q 的直线 与双曲线 相交于 A , B 两点 , 并设为( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , 由点差法可得 y 1- y 2 b2 x 1 + x 2 b2 x 0 = 2# = 2 # , 因为 点 Q x 1- x 2 a y 1+ y 2 a y0 ( x 0 , y 0 ) 在两渐近线夹 y 轴的区域内 ( 不妨设点 Q k AB = 在第一象限) , 则有 x0 a b 2 x 0 b2 < , 所以 k AB = 2 # < 2 # y0 b a y0 a 2 x 0 a b b b = a , 此时直线 y - y 0 = a 2# y 0 ( x - x 0 ) 不仅与双

? ?

y 1- y 2 = 2p ? x 1- x 2 y 1+ y 2 类似于点差法在椭圆中的情况 , 等式 ?的获得 , 并不一定要求点 A , B 在 y 2 = 2 px 上 , 实际上只需 要点 A , B 在 抛物线 / y 2 - 2p x = K ( KI R0) 上即 p 可. 由此可知 , 直线 y - y 0 = # ( x - x 0 ) 就是抛物 y0

x 2 y2 = 1 会有两个交点, 而且这两个交点一 a 2 b2 定在两支上 . 所以双曲线以点 Q 为中点的弦是存在 曲线

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圆锥曲线的一个优美性质
张 俊
( 江苏省兴化市第 一中学 , 225700 )

本文旨在介绍笔者新近发现的圆锥曲线的一个 优美性质 . 定理 1 过椭圆的非对 称轴的弦 PQ 的 中点 Oc任作两条与 PQ 不重合的弦 A B , CD, 过 A , B 分 别作椭圆的切线交于点 M , 过 C , D 分别作椭圆的 切线交于点 N , 则 MN MPQ. 证明 以椭圆的长、 短轴 所在 直线 为坐 标 轴 建立如 图 1 所 示的 平 面 直角坐标系 , 设椭圆的标 准方 程为 x 2 + y 2 = 1, 又 a b 设 Oc ( x 0 , y 0 ) , A ( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , C( x 3 ,
图 1
2 2

y 3 ) , D( x 4 , y 4 ) , M ( x 5 , y 5 ) , N ( x 6 , y 6 ) . x2 y2 2+ 2 = 1 切线, a b x 1x y1y x 2x y2y _ + 2 = 1, 2 + 2 = 1, a b a2 b 由于点 M ( x 5 , y 5 ) 在直线 A M , BM 上 , ^ 直线 A M , BM 是椭圆的 x 5 x 1 y 5y 1 x5x 2 y5y2 + = 1, 2 + 2 = 1, a b a2 b2 x 5x y5y 即 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 在直线 2 + 2 = 1 a b _ 上, 而/ 两点确定一条直线 0, _ 直线 A B 的方程为 x 5x y5y 2 + 2 = 1, a b x 6x y6y 同理直线 CD 的方程为 2 + 2 = 1. a b

的, 即为点差法所得直线方程 . ( 3) 若点 Q( x 0 , y 0 ) ( x 0# y 0 X 0) 在双曲线两条 渐近线夹 x 轴的区域 内 ( 如图 1 中区 域 ? ) , 即 当
2 2 x0 a x 0 y0 | |> 且 2 - 2 < 1 时, 用点差法求得 , 以点 Q y0 b a b

- x 0 ) 是双曲线

x2 y2 x 2 y2 0 0 = K ( 其中 K < ) 以点 a2 b 2 a 2 b2 Q ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线方程. 特别地 , 当 K

为中点的弦所在的直线方程为: y - y 0 = - x 0 ) . 因为此直线的斜率 k =

b2 x 0 # (x a2 y 0

x2 y2 0 0 b2 x0 时 , 直线 y y = # ( x - x 0 ) 即为双 0 a 2 b2 a2 y 0 曲线在点 Q 处的切线 . = ( 4) 若点 Q( x 0 , y 0 ) ( x 0#y 0 X 0 ) 在双曲线 x2 a2

2 b x0 # ( 设点 Q 在第 a2 y 0 x0 a b 一象限) , 因为 > , 显然 k > , 所以直线 y - y 0 y0 b a 2 x0 = b 2 # ( x - x 0 ) 不可能与双曲线交于两支 , 也即 a y0

y2 b = 1 的渐近线上, 即当 y 0 = ? x 0 时, 用点差法 a b2 得到的方程 , 就是 / 渐近线 y 0 = ? b x 00 , 显然 y 0 = a

x 2 y2 22= 1 a b 的弦所在的直线 ( 点 Q 在开口外 ) , 此直线也不会与 此直线不可能是以 Q 为中点的双曲线
2 2

b x 2 y2 ? a x 0 不可能与双曲线 2 - 2 = 1 有交点, 因此点 a b 差法在此/ 完全失效0 , 即过双曲线渐近线上的任意 一点 Q( 除原点外 ) 作双曲线的弦 , Q 不可能为弦的 中点.
( 收稿日期 : 2011- 12- 10)

双曲线 x 2 - y 2 = 1 相交, 用判别式可以给出严格的 a b b2 x 0 证明 . 实际上 , 上面求出的直线 y - y 0 = 2 # #( x a y0


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