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高中数学:4.2.1《直线与圆的位置关系》课件2(新人教A版必修2)_图文

高中数学:4.2.1《直线与圆的位置关系》课件2(新人教A版必修2)_图文

4.2.1直线与圆的位置关系 1 实例引入 一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台 的台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响 的范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台 风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么 它是否会受到台风的影响? y 为解决这个问题,我们以 台风中心为原点 O,东西方向 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系,其中取 10km 为单位 长度. 港口 O 轮船 x 2 实例引入 这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的 圆的方程为: x ? y ?9 2 2 轮船航线所在直线 l 的方程为: y 港口 4 x ? 7 y ? 28 ? 0 问题归结为圆心为O的 圆与直线l有无公共点. O 轮船 x 3 直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系? 平面几何中,直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. (1) (2) (3) 4 直线与圆的位置关系 在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关 系?现在,如何用直线和圆的方程判断它们之 间的位置关系? 先看几个例子,看看你能否从例子中总结 出来. (1) (2) (3) 5 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由 它们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系. 6 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得: ?3x ? y ? 6 ? 0, ? 2 2 ? x ? y ? 2 y ? 4 ? 0. 消去y,得: x 2 ? 3x ? 2 ? 0 因为: ? ? (?3) 2 ? 4 ? 1? 2 =1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共 点. 7 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 解法二:圆 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0可化为 x ? ( y ?1) ? 5. 2 2 2 2 其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 直线 l 的距离 5,点C (0,1)到 d? | 3? 0 ?1? 6 | 32 ? 12 5 ? ? 5 10 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点. 8 典型例题 3x ? y ? 6 ? 0 和圆心为C的 例1 如图,已知直线l: 2 2 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 ,判断直线 l 与圆的位置关系;如 圆 果相交,求它们交点的坐标. 解: 由 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,解得: x1 ? 2, x2 ? 1 把 y1 ? 0 x1 ? 2,代入方程①,得 x2 ? 1 ; x1 ? 把 2, x2 ? 1代入方程① ,得 y2 ? 3. 所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是: A(2,0),B(1,3) 9 典型例题 例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得: x ? ( y ? 2) ? 25 2 2 如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为 4 5 2 5 ?( ) ? 5 2 2 即圆心到所求直线的距离为 5. 10 典型例题 例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:因为直线l 过点 M (?3,?3) , 所以可设所求直线l 的方程为:y ? 3 ? k ( x ? 3) 即: kx ? y ? 3k ? 3 ? 0 根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离: d? 因此: | 2 ? 3k ? 3 | k2 ?1 k ?1 2 | 2 ? 3k ? 3 | ? 5 11 典型例题 例2 已知过点 M (?3,?3) 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 21 ? 0 所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:即: | 3k ? 1 |? 5 ? 5k 2 2 两边平方,并整理得到: 2k ? 3k ? 2 ? 0 1 解得: k ? ? ,或k ? 2 2 所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为: 1 y ? 3 ? ? ( x ? 3) 或 y ? 3 ? 2( x ? 3) 2 即: x ? 2 y ? 9 ? 0,或2x ? y ? 3 ? 0 12 直线与圆的位置关系 回顾我们前面提出的问题:如何用直线和 圆的方程判断它们之间的位置关系? 判断直线与圆的位置关系有两种方法: 方法一:判断直线l与圆C的方程组成的方程组是 否有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.有两组实 数解时,直线l与圆C相交;有一组实数解时,直线l与 圆C相切;无实数解时,直线l与圆C相离. 方法二:判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半 径r的关系.如果d< r ,直线l与圆C相交;如果d= r , 直线l与圆C相切;如果d> r ,直线l与圆C相离. 13 知识小结 有无交点,有几个. 判断

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