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高三数学复习专题:平面向量与解析几何(1)

高三数学复习专题:平面向量与解析几何(1)


高三数学复习专题:平面向量与解析几何(1)
班级 1.平面向量重要公式
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姓名
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学号
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设 a 与 b 都是非零向量, ? ?? a , b ? , a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 (1) a ⊥ b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ; a ∥ b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0 。(2)当 a
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与 b 同向时, a ? b ?| a | ? | b | ;当 a 与 b 同向时, a ? b ? ? | a | ? | b | ;特殊地,
( a ) 2 ?| a | 2 。(3) cos? ?
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a? b

| a |?| b |

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x1 x 2 ? y1 y 2 x12 ? y12 x 2 2 ? y 2 2

;(4) | a ? b |?| a | ? | b | ;

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x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? (5) 设 P1 ( x1 , y1 )、 P2 ( x 2 , y 2 ) 、 P( x, y) , ? ? ? ,则 ? 。 ? y ? y1 ? ?y 2 PP2 ? 1? ? ?

P1 P

?

2.平面解析几何重要公式 ① 点线距离公式: d ?
| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

;平行直线间的距离公式: d ?

| C1 ? C2 | A2 ? B2

② l1 到 l 2 的角为 ? ,则 tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

③ 若 B( Ax0 ? By0 ? C ) ? 0 ,则点 P( x 0 , y 0 )在直线 Ax ? By ? C ? 0 上方 ④ 抛物线 y2 ? 2px (p ? 0) 的焦点弦长公式: | AB |? 2p csc2 ? ⑤ 椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的焦半径公式: | PF |? a ? ex0
p ?x 2

⑥ 抛物线 y 2 ? 2px (p>0)的焦半径公式: | PF |? ⑦ 弦长公式: | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x 2 |? 1 ? 练习题:
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1 k2

| y1 ? y 2 | .

1.若向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos ? , sin ? ) ,则 a 与 b 一定满足( ) A. a 与 b 的夹角为 ? ? ?
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B

(a? b) ? (a? b)
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C

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a∥b
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D

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a ⊥b

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2.已知平面内三点 A、B、C 在一条直线上, OA ? (?2, m) 、 OB ? ( n,1) 、 OC ? (5,?1) , 且 OA ⊥ OB ,则实数 m=
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3.把函数 y ? cos 2 x 的图象按向量 a 平移,得到 y ? sin 2 x 的图象,则 a = 4.若 a ? (2,3), b ? (?4,7) ,则 a 在 b 方向上的投影为
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5 .给出下列命题:①若 ( a ) 2 ? ( b ) 2 ? 0 ,则 a ? b ? 0 ;②若 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,则
? ? ? ? ? ? x ? x 2 y1 ? y 2 1 ? AB ? ( 1 , ) ; ③ 已 知 a 、 b 、 c 是 三 个 非零 向 量 , 若 a ? c ? 0 , 则 2 2 2

| a ? b |?| b ? c | ;④已知 ?1 ? 0, ? 2 ? 0 , e1 , e 2 是一组基底, a ? ?1 e1 ? ? 2 e2 ,则 a 与 e1 不

??

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共 线 , a 与 e 2 也 不 共 线 ; ⑤ a ∥ b ? a ? b ?| a | ? | b | 。 以 上 正 确 的 命 题 序 号 为 。 6.抛物线 y 2 ? 4 x 按向量 e 平移后的焦点坐标为(3,2) ,则平移后的抛物线的顶点 坐标为 。 7 .椭圆 是
2

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x2 a2

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y2 b2

? 1 上对两焦点张角为直角的点有四个,则此椭圆离心率的范围



y2 x 8.椭圆 ? ? 1 上的一点 P,如果 P 与椭圆左焦点的距离是 2,那么 P 到椭圆右 25 9

准线距离等于 。 9. 如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M、 N 两点, 且 M、 N 关于直线 x ? y ? 0
?kx ? y ? 1 ? 0 对称,则不等式组 ? ?kx ? my ? 0 表示的平面区域孤面积是 ?y ? 0 ?



10.设 F1 、 F2 是双曲线 时, PF1 ? PF2 的值为
? ?

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积为 1 4


2 2

11 .实数 x 、 y 满足 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 ,且 x ? 2 y ? c ? 0 恒成立,则 c 的取值范围 是 。 12.在直角坐标平面上,向量 OA ? (1,3) 、 OB ? (?3,1) 在直线 l 上的射影长度相等,且 直线 l 的倾斜角为锐角,则 l 的斜率为 。 13. 已知 P 是椭圆
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1 1 x2 y2 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? Q、 R 分别是圆 ( x ? 4) 2 ? y 2 ? 、 ? ? 1 上的一点, 4 4 25 9

上的点,则|PQ|+|PR|的最小值是 14.已知 | p |? 2 2 、| q |? 3 ,? p , q ??
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。 , 则以 a ? p ? 2 q , b ? 2 p ? q 为邻边的平行四
? ? ? ? ? ?

?
4

边形的一条较长的对角线的长为 。 15.以原点和 A(5,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标 为 。

高三数学复习专题:平面向量与解析几何(2)
班级 姓名 学号 例 1. 已知 O(0,0)、B(1,0)、C(b,c)是△OBC 的三个顶点,(1)写出△OBC 的重 心 G,外心 F,垂心 H 的坐标,并证明 G、F、H 三点共线;(2)当直线 FH 与 OB 平行时,求顶点 C 的轨迹。

x2 ? 1 的焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率为 2。 3 a2 (1)求双曲线的渐近线 l1 、 l 2 的方程;

例 2.设双曲线

y2

?

(2)若 A、B 分别为 l1 、 l 2 上的动点,且 2 | AB |? 5 | F1 F2 | 。求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线?

x2 y2 ? ? 1 ,能否在椭圆上位于 y 轴左侧部分上找到一点 M, 4 3 使点 M 到左准线 l 的距离|MN|为点 M 到两焦点 F1 、 F2 的距离的等比中项?并说

例 3.已知椭圆

明理由。

例 4.已知 l1 、 l 2 是过点 P(? 2 ,0) 的两条互相垂直的直线,其中 l1 的倾斜角为锐 角,如果 l1 、 l 2 与双曲线 y 2 ? x 2 ? 1 各有两个交点,分别为 A1 、 B1 、 A2 、 B2 。 (1)求 l1 的斜率 k 1 的取值范围; (2)若 A1 恰是双曲线的上顶点,且点 M 满足 MA2 ? MB2 ? 1 ,求点 M 的轨迹。
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练习: 1.已知抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ,F 为抛物线的焦点。 (1)求圆心在抛物线 C 上,且与 x 轴及抛物线的准线都相切的圆的标准方程。 (2)如图,过点 A(2,0)的直线 l 与抛物线 C 交于 P、Q 两点,F 为抛物线的焦 点,且 FR ? FQ? FP 。求点 R 的轨迹方程。
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y P

O

F
Q

A

x

2.在直角坐标系中,已知 A1 ( ?3,0) 、 A2 (3,0) 、 P( x, y ) 、 M ( x 2 ? 9 ,0) 。若实数 ? 使 向量 A1 P 、 ? OM 、 A2 P 满足 ?2 ? (OM ) 2 ? A1 P? A2 P 。 (1)求 P 点的轨迹方程,并判断 P 点的轨迹是怎样的曲线; (2)若点 P 的轨迹是椭圆,设椭圆的一焦点到相应准线的距离为 f (? ) ,求 f (? ) 的值域。
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3.已知射线 OA、OB 的方程分别为 y ?
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3 3 x ( x ? 0) 、 y ? ? x ( x ? 0) 。动点 M、N 3 3

分别在 OA、OB 上滑动,且 | MN |? 4 3 。 (1)若 MP ? PN ,求 P 点的轨迹 C 的方程; (2)已知 F1 (?4 2 ,0) 、 F2 (4 2 ,0) 。请问在曲线 C 上是否存在动点 P 满足条件
PF1 ? PF2 ? 0 ?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由。
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4.已知点 H ( ?3,0) ,点 P 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上,且满足
3 ? MQ 。 2 (1) 当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C; (2) 过点 T (?1,0) 作直线 l 与轨迹 C 交于 A、 B 两点, 若在 x 轴上存在一点 E ( x 0 ,0) , HP? PM ? 0 , PM ? ?
? ? ?

使得 ?ABE 是等边三角形。求 x 0 的值。


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