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浙江省嘉兴市2011届高三教学测试(二)理科数学试题

浙江省嘉兴市2011届高三教学测试(二)理科数学试题


浙江省嘉兴市 2011 届下学期高三教学测试(二)理科数学试题卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) . 1.设 U ? R, P ? { x | x ? 1 } , Q ? { x | x( x ? 2) ? 0 } ,则? U ( P ? Q ) ? A. { x | x ? 0 } C. { x | x ? 2 } B. { x | x ? 1 } D. { x | x ? 1 或 x ? 2 }

2.设 f ( x ) ? log2 x ,则“ a ? b ”是“ f (a ) ? f (b) ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试,若甲、乙能通过面试的概率都是 过的人数 ? 的数学期望 E? 是 A.

2 ,则面试结束后通 3

4 3

B.

11 9

C. 1

D.

8 9

开始 S ? 0, i ? 1, a ? 1

4.函数 y ? 3 sin x ? cos x 的一个零点是 A. C.

?
6
4? 3

B. D.

2? 3 11? 6

S? S?a i ? i?1
结束

5.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 a 的值为 A. ? 1 C.1 B.0 D.2 否

a ? a2 ? S
i ? 2011?
(第 5 题)

输出 a



6.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是 BC 1 ,CD1 的中点,则下列判断错误的是 .. A. MN 与 CC 1 垂直
A1 D1 C1

B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1 B1 平行
A D

N

B1

M
C

B
(第 6 题)

7.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线的两条渐近线与

1

椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为 A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

8. 对于函数 f ( x ) 与 g( x ) 和区间 E, 如果存在 x 0 ? E , | f ( x 0 ) ? g( x 0 ) |? 1 , 使 则我们称函数 f ( x ) 与 g( x ) 在区间 E 上“互相接近”.那么下列所给的两个函数在区间 (0,??) 上“互相接近”的是 A. f ( x) ? x 2 , g( x ) ? 2 x ? 3 C. f ( x ) ? e ? x , g( x ) ? ? B. f ( x ) ? x , g( x ) ? x ? 2 D. f ( x ) ? ln x , g( x ) ? x

1 x

9.已知 x,

?x ? 0 ? y 满足不等式 ? y ? 0 ,且目标函数 z ? 9 x ? 6 y 最大值的变化范围为 [20, 22] ,则 t 的取值范 ? x ? 2y ? t ? ?2 x ? y ? 4 ?

围是 A. [2,4] B. [4,6] C. [5,8] D. [6,7]

10.若函数 f ( x) ? x 3 ? a | x 2 ? 1 | (a ? R) ,则对于不同的实数 a ,函数 f ( x ) 的单调区间个数不可能 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.5 个

二.填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) . 11.已知 m ? R,复数

m?i 为纯虚数(i 为虚数单位) ,则 m ? 1? i



6 6

? 5 ? x 2 ? 1 ( x ? 0) 12.若 f ( x ) ? ? ,则 f ( ) ? 2 ? f ( x ? 1) ( x ? 0) ?

10

13.若几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为


2
R ? 3

14 . 圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 被 直 线 y ? ? x ? 2 所 截 得 的 弦 长 为 .

(第 13 题)

15.已知 (ax ? 1)n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,若 a1 ? 4 , a 2 ? 7 ,则 a 的值为 . .

16.已知非零向量 a, b 夹角为 60 ? ,且满足 | a ? 2b |? 2 ,则 a ? b 的最大值为

17.甲、乙两个乒乓球队进行一次乒乓球擂台赛,双方各派出水平相当的 3 名选手按事先排好的顺序出场 比赛,先有双方的 1 号选手比赛,负者淘汰,胜者再与负方 2 号选手比赛,如此比赛下去,直到一方选手 全部淘汰为止,则另一方获胜.假设比赛双方每一名选手获胜的概率都是相同的,则在所有可能出现的比 赛结果中,甲方由 2 号选手出战并获胜的概率是 .
2

三.解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) . 18. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 2 cos(B ? C ) ? 4 sin B sin C ? 1 . (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 3 , sin 19. (本题满分 14 分) 如图,已知平行四边形 ABCD 中, AD ? 2 , CD ? 2 , ?ADC ? 45? , AE ? BC ,垂足为 E ,沿直 线 AE 将△ BAE翻折成△ B?AE ,使得平面 B?AE ? 平面 AECD .连接 B?D , P 是 B?D 上的点. (Ⅰ)当 B?P ? PD时,求证 CP ? 平面 AB?D ; (Ⅱ)当 B?P ? 2PD 时,求二面角 P ? AC ? D 的余弦值.

B 1 ? ,求 b . 2 3

A

B?

D

P

A

D

B
20. (本题满分 14 分)

E

C

(第 19 题)

E

C

设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 等比数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn , 已知 bn ? 0( n ? N*) a1 ? b1 ? 1 , ,
a 2 ? b3 ? a 3 , S5 ? 5(T3 ? b2 ) .

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 、 ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)求和:
bn b1 b ? 2 ??? . T1T2 T2 T3 Tn Tn ? 1

21. (本题满分 15 分) 设直线 l 与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 交于 A、B 两点,已知当直线 l 经过抛物线的焦点且与 x 轴垂直时,
?OAB 的面积为

1 (O 为坐标原点) . 2

y A

(Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)当直线 l 经过点 P (a ,0) (a ? 0) 且与 x 轴不垂直时,若在 x 轴上存在 点 C ,使得 ?ABC 为正三角形,求 a 的取值范围. 22. (本题满分 15 分) 设 a ? 0 , f ( x) ?
O

P B
(第 21 题)

C

x

x , g( x ) ? e x f ( x ) (其中 e 是自然对数的底数) , x?a

(Ⅰ)求证:曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 在 x ? 0 处有相同的切线;
3

(Ⅱ)设函数 g( x ) 的极大值为 g (t ) ,是否存在整数 m ,使 g( t ) ? m 恒成立?若存在,则求 m 的最小值; 若不存在,则说明理由.

参考答案
一.选择题: 1.A; 6.D; 二.填空题: 11.1; 16.1; 三.解答题:
( C B C C 18 . 解 : Ⅰ ) 由 2 c o s B ? C ) ? 4 s i nB s i n ? 1 , 得 2( c o s c o sC ? s i nB s i n ) ? 4 s i nB s i n ? ?1 , 即 ( 2( c o s c o s ? s i nB s i n ) ? ?1 .从而 2 cos(B ? C ) ? ?1 ,得 cos(B ? C ) ? ? B C C

2.B; 7.D;

3.A; 8.C;

4.D; 9.B;

5.C; 10.B.

12. 17.

5 ; 4

13. 96? ;

14. 2 3 ;

15.

1 ; 2

3 . 20

1 2? ? .∴ B ? C ? ,故 A ? . 2 3 3

(Ⅱ) n 由i s

B 1 s 得c ? , o 2 3

B 2 2 B B 4 2 b 3 b a ? , sin B ? 2 sin cos ? ∴ .∵ , ∴ , ? ? 2 3 2 2 9 sin B sin A 4 2 3 9 2

解得 b ?

8 6 . 9
z
y

19. (Ⅰ)证明:∵ AE ? BC ,平面 B?AE ? 平面 AECD ,∴ B' E ? EC . 如图建立空间直角坐标系,则 A(0,1,0) , B ?(0,0,1) , C (1,0,0) , D( 2,1,0) , B?

P

1 1 1 1 E (0,0,0) , P(1, , ) . AB? ? (0,?1,1) , AD ? (2,0,0) , CP ? (0, , ) . 2 2 2 2
∵ CP ? AB ? ? ?

A

D

1 1 ? ? 0 , CP ? AD ? 0 ,∴ CP ? AB ? , CP ? AD . 2 2

E

C

x

又 AD ? AB ? A ,∴ CP ? 平面 B?AD.
?x ? 4 ? 2x ? ?P ? ( x, y, z ? 1) , PD ? (2 ? x,1 ? y,? z) ,由 B ?P ? 2 PD 得 ? y ? 2 ? 2 y 解 (Ⅱ)解:设 p( x , y , z ) ,则 B ? z ? 1 ? ?2 z ?

得x?

4 2 1 4 2 1 4 1 1 , y ? , z ? ,∴ P ( , , ) , AP ? ( ,? , ) , AC ? (1,?1,0) . 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4

4x y z ?? ? ? ?0 ? ? ? n ? AP ? 3 3 3 设面 PAC 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? .取 x ? y ? 1 , z ? ?3 ,则 n ? (1,1,?3) , ? ? n ? AC ? x ? y ? 0 ?

? ? ? | m ? n | 3 11 又平面 DAC 的法向量为 m ? (0,0,1) ,设二面角 P ? AC ? D 的大小为 ? ,则 cos? ? ? ? ? . mn 11

20. (Ⅰ) a 2 ? b3 ? a 3 , b3 ? a3 ? a2 , q 2 ? d ①. 又 S 5 ? 5a 3 ? 5(T3 ? b2 ) , 解: 由 得 得 所以 a 3 ? T3 ? b2 , 即 1 ? 2d ? 1 ? 2q ? q 2 ②. 由①②得 q 2 ? 2q ? 0 ,解得 q ? 2 , d ? 4 .所以 a n ? 4n ? 3 , bn ? 2 n?1 . (Ⅱ)因为 所以
bn bn ?1 T ? Tn 1 1 1 ? ? n?1 ? ( ? ), Tn Tn ?1 qTn Tn ?1 qTn Tn ?1 2 Tn Tn ? 1

bn b1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ??? ? )? ( ? ) ? 2 ??? 2 T1 T2 T2 T3 Tn Tn ? 1 2 T1 Tn ?1 T1T2 T2 T3 Tn Tn ? 1

?

1 1 (1 ? n?1 ). 2 2 ?1

21.解: (Ⅰ)由条件可得 | AB |? 2 p ,O 点到 AB 距离为 ∴ S ?AOB ?

p , 2

y A

p 1 1 1 ? 2 p ? ? p 2 , S ?AOB ? , p ? 0 得: p ? 1 , 2 2 2 2
O

P B
(第 21 题)

C

x

∴ 抛物线的方程为 y 2 ? 2 x . (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,AB 的中点为 M ( x 0 , y 0 ) , 又设 C (t , 0) ,直线 l 的方程为 x ? my ? a ( m ? 0 ) .

? x ? my ? a 由? 2 ,得 y 2 ? 2my ? 2a ? 0 . ? y ? 2x
∴ ? ? 4(m 2 ? 2a ) , y1 ? y 2 ? 2m , y1 y 2 ? ?2a . 所以 y 0 ? ∵ ?ABC 为正三角形,∴ MC ? AB , | MC |? 由 MC ? AB ,得 由 | MC |?
3 | AB | . 2

y1 ? y 2 ? m ,从而 x 0 ? m 2 ? a . 2

y0 1 ? ? ?1 ,所以 t ? m 2 ? a ? 1 . x0 ? t m

3 3 2 | AB | ,得 ( x 0 ? t ) 2 ? y 0 ? ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 , 2 2 3 ( m 2 ? 1) ? 4( m 2 ? 2a ) ,又∵ m 2 ? a ? t ? ?1 , 2
1 m2 1 ? .∵ m ? 0 ,∴ m 2 ? 0 ,∴ 0 ? a ? . 6 2 6

即 (m 2 ? a ? t ) 2 ? m 2 ?

∴ 1 ? m 2 ? 3(m 2 ? 1)(m 2 ? 2a) ,从而 a ?

1 ∴ a 的取值范围 (0, ) . 6

5

22. Ⅰ) ( 证明:f ' ( x ) ?

?a ( x ? a)2

, ' ( x ) ? e x [ f ( x ) ? f ' ( x )] ? g

( x 2 ? ax ? a )e x ( x ? a)
2

.f ' (0) ? ?

1 1 , ' (0) ? ? . 又 g a a x . a

f (0) ? 0 , g(0) ? f (0) ? 0 .所以,曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 在 x ? 0 处有相同的切线 y ? ?

(Ⅱ)解:设 h( x) ? x 2 ? ax ? a ,则 ? ? a 2 ? 4a ? 0 ,方程 h( x ) ? 0 有两个不同实根 x1 , x 2 . (事实上, x 1 ?
a ? a 2 ? 4a a ? a 2 ? 4a , x2 ? ) 2 2

不妨设 x 1 ? x 2 ,因为 h(a ) ? ? a ? 0 ,所以 x1 ? a , x 2 ? a .当 x 变化时, g' ( x ) 、 g( x ) 的取值情况是:

x
g' ( x ) g( x )

(??. x1 )

x1

( x1 , a )

(a , x 2 )

x2

( x 2 ,??)

+ 递增

0 极大

递减
x 1 e x1 . x1 ? a

递减

0 极小

+ 递增

所以 t ? x 1 ,函数 g( x ) 的极大值是 g( x 1 ) ?

又因为 h(0) ? ? a ? 0 , h( ?1) ? 1 ? 0 ,所以 ? 1 ? x1 ? 0 .从而 0 ? e x1 ? 1 , 0 ?

x1 ?1. (事实上, x1 , x1 ? a

x 2 是 x 2 ? ax ? a ? 0 的 两 根 , 所 以 x1 x 2 ? ?a ? 0 , 又 x 1 ? x 2 , 所 以 x1 ? 0 , 从 而 就 有 0 ? e x1 ? 1 ,
0? x1 ? 1 )所以 0 ? g( t ) ? 1 . x1 ? a

因此,这样的整数 m 存在,且 m 的最小值为 1.

6


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