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#《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第三篇 第4讲 定积分的概念与微积

#《创新设计》2014届高考数学人教A版(理)一轮复习【配套word版文档】:第三篇 第4讲 定积分的概念与微积

第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理

A 级 基础演练(时间:30 分钟 满分:55 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)

1 . (2013·大 连 模 拟 ) 已 知 f(x) 为 偶 函 数 且 ??06 f(x)dx = 8 , 则 ??6 - 6f(x)dx 等 于 ( ).

A.0

B.4

C.8

D.16

解析 因为 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴对称,所以

??6-6f(x)dx=2??60f(x)dx=8×2=16.

答案 D

2.(2013·唐山模拟)已知 f(x)=2-|x|,则??2-1f(x)dx 等于

( ).

A.3

B.4

7 C.2

9 D.2

??2-x?x≥0?, 解析 f(x)=2-|x|=?
??2+x?x<0?,

∴??2-1f(x)dx=??0-1(2+x)dx+??02(2-x)dx= ???2x+x22??????0-1+??? 2x-x22??????02=32+2 =72. 答案 C 3.函数 f(x)满足 f(0)=0,其导函数 f′(x)的图象如图所 示,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为
( ).

1

4

A.3

B.3

C.2

8 D.3

解析 由导函数 f′(x)的图象可知函数 f(x)为二次函数,且对称轴为 x=-1,

开口方向向上.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),由 f(0)=0,得 c=0.f′(x)=2ax

??2a×?-1?+b=0, ??a=1,

+b,因过点(-1,0)与(0,2),则有?

∴?

∴f(x)=x2+

??2a×0+b=2,

??b=2.

2x,则 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S=??0-2(-x2-2x)dx=

???-13x3-x2??????-0 2=13×(-2)3+(-2)2=43.

答案 B

4.若??1a???2x+1x???dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是

A.2

B.3

C.4

D.6

( ).

解析

??a1???2x+1x???dx=(x2+ln

?a x)??1

=a2+ln a-1=3+ln 2,即 a=2.

答案 A

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

5.已知 t>0,若??t0(2x-1)dx=6,则 t=________. 解析 ??t0(2x-1)dx=(x2-x)???t0 =t2-t=6,

解得 t=3(t=-2 舍去).

答案 3 6.(2012·山东)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积
为 a2,则 a=________. 解析 S=??a0 xdx= 23x32???0a=23a32=a2,∴a=49.

答案

4 9

三、解答题(共 25 分)

7.(12 分)已知 f(x)是一次函数,且??10f(x)dx=5,??10xf(x)dx=167,求??12f?xx?dx 的值.

解 ∵f(x)是一次函数,∴可设 f(x)=ax+b(a≠0).

∴??10f(x)dx=??10(ax+b)dx=???12ax2+bx??????10 =12a+b. ∴12a+b=5.①

又??10xf(x)dx=??01x(ax+b)dx =???13ax3+12bx2??????01 =13a+12b.

∴13a+12b=167.②

解①②得 a=4,b=3,∴f(x)=4x+3,

∴??21f?xx?dx=??214x+x 3dx=??12???4+3x???dx

=(4x+3ln

?2 x)?

=4+3ln 2.

?1

8.(13 分)如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与

x 轴所围图形为面积相等的两部分,求 k 的值. 解 抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1 =0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 S=??10(x-x2)dx= ???x22-13x3??????01=16. 又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, S2=∫10-k(x-x2-kx)dx=??? 1-2 kx2-13x3??????10-k

=16(1-k)3. 又知 S=16,所以(1-k)3=12,

于是 k=1-

3

12=1-

34 2.

B 级 能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)

1.由曲线 y=x2+2x 与直线 y=x 所围成的封闭图形的面积为

1

1

5

2

A.6

B.3

C.6

D.3

解析 在直角坐标系内,画出曲线和直线围成的封闭

图形,如图所示,由 x2+2x=x,解得两个交点坐标为

( ).

(-1,-1)和(0,0),封闭图形的面积为 S=

??0-1[x-(x2+2x)]dx=??? -13x3-12x2??????-0 1=-13-12=16.

答案 A 2.(2013·郑州质检)如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x2

和曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形 AOBC 内随机投一点(该

点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的

概率是

( ).

1

1

1

1

A.2

B.6

C.4

D.3

解析 依题意知,题中的正方形区域的面积为 12=1,阴影区域的面积等于??01

( x-x2)dx= ???23x32-13x3??????01=13,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13,

选 D. 答案 D

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分)

?2x+1,x∈[-2,2], 3.已知 f(x)=??1+x2,x∈[2,4]

若??3kf(x)dx=430(k<2).则 k=________.

解析 ??3kf(x)dx=??2k(2x+1)dx+??23(1+x2)dx=430,所以得到 k2+k=0,即 k=0

或 k=-1.

答案 0 或-1 4.设 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1 且??12f(-x)dx=m,则???mx+16???12 展开
式中各项的系数和为________. 解析 因为 f(x)=xn+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1.故 n=2,a=1.所以??21f(-

x)dx=??21(x2-x)dx=???13x3- 12x2??????12=56=m 所以???mx+16???12 展开式中各项的系数 和为???56+16???12=1. 答案 1

三、解答题(共 25 分)

5.(12 分)已知 f(x)为二次函数,且 f(-1)=2,f′(0)=0,

??10f(x)dx=-2, (1)求 f(x)的解析式;

(2)求 f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则 f′(x)=2ax+b.

由 f(-1)=2,f′(0)=0,

?a-b+c=2, ?c=2-a,

得??b=0,

即??b=0,

∴f(x)=ax2+2-a.

又??10f(x)dx=??10(ax2+2-a)dx

= ???13ax3+?2-a?x??????10=2-23a=-2, ∴a=6,从而 f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当 x=0 时,f(x)min=-4;当 x=±1 时,f(x)max=2. 6.(13 分)在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确
定点 t 的值,使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和 最小,并求最小值. 解 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积, 即 S1=t·t2-??0t x2dx=23t3. S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩形面积,矩形 边长分别为 t2,1-t, 即 S2=??t1x2dx-t2(1-t)=23t3-t2+13. 所以阴影部分面积 S=S1+S2=43t3-t2+13(0≤t≤1). 令 S′(t)=4t2-2t=4t???t-12???=0 时,得 t=0 或 t=12. t=0 时,S=13;t=12时,S=14;t=1 时,S=23. 所以当 t=12时,S 最小,且最小值为14. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见
《创新设计·高考总复习》光盘中内容.


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