9299.net
大学生考试网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念学案苏教版选修1_1

2017_2018学年高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念学案苏教版选修1_1

3.1 导数的概念 3.1.1 平均变化率 某病人吃完退烧药,他的体温变化如下: x(min) y(℃) 0 39 10 38.7 20 38.5 30 38 40 37.6 50 37.3 60 36.8 问题 1:试比较时间 x 从 0 min 到 20 min 和从 20 min 到 30 min 体温变化情况,哪段时 间体温变化较快? 提示:从 20 min 到 30 min 变化快. 问题 2:如何刻画体温变化的快慢? 提示:用平均变化率. 问题 3:平均变化率一定为正值吗? 提示:不一定.可正、可负、可为零. 1.平均变化率 一般地,函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为 2.平均变化率与曲线变化关系 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视 觉化”. f x2 -f x1 . x2-x1 对平均变化率的理解 (1)由平均变化率的定义知,平均变化率可正、可负、可为零. (2)平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢. [对应学生用书P39] 求平均变化率 -1- [例 1] 已知函数 f(x)=2x +1. (1)求函数 f(x)在区间[1,1.1]上的平均变化率; (2)求函数 f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率. [思路点拨] 直接利用平均变化率的定义求解即可. [精解详析] (1) (2) 2 f -f 1.1-1 2 2×1.1 -2×1 0.42 = = =4.2. 0.1 0.1 2 2 2 f -f 2.01-2 = 2×2.01 -2×2 8.080 2-8 0.080 2 = = =8.02. 0.01 0.01 0.01 [一点通] 求函数 f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的步骤: 第一步:求 x2-x1; 第二步:求 f(x2)-f(x1); 第三步:由定义得出 f x2 -f x1 . x2-x1 1.求函数 y=sin x 在 0 到 π π π 之间和 到 之间的平均变化率. 6 3 2 π sin -sin 0 6 π 3 解:在 0 到 之间的平均变化率为 = ; 6 π π -0 6 π π sin -sin 2 3 π π 在 到 之间的平均变化率为 = 3 2 π π - 2 3 - 3 π . 2.如图是函数 y=f(x)的图像,则:(1)函数 f(x)在区间[-1,1] 上的平均变化率为________; (2)函数 f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________. 解 析 : (1) 函 数 f(x) 在 区 间 [ - 1,1] 上 的 平 均 变 化 率 为 f -f - 1- - = 2-1 1 = . 2 2 (2)由函数 f(x)的图像知, x+3 ? ? ,-1≤x≤1, f(x) = ? 2 ? ?x+1,1<x≤3. 所 以 函 数 f(x) 在 区 间 [0,2] 上 的 平 均 变 化 率 为 -2- f -f 2-0 3 3- 2 3 = = . 2 4 1 3 答案:(1) (2) 2 4 平均变化率的应用 4 3 [例 2] 已知气球的体积为 V(单位: L)与半径 r(单位: dm)之间的函数关系是 V(r)= π r . 3 (1)求半径 r 关于体积 V 的函数 r(V); (2)比较体积 V 从 0 L 增加到 1 L 和从 1 L 增加到 2 L 时半径 r 的平均变化率,哪段半径 变化较快(精确到 0.01)?此结论可说明什么意义? [思路点拨] 首先由球的体积公式变形得到函数 r(V)的解析式,再根据求平均变化率的 步骤运算. 3 3V 4 3 3V 3 [精解详析] (1)∵V= π r ,∴r = ,r= , 3 4π 4π ∴r(V)= 3 3V . 4π (2)函数 r(V)在区间[0,1]上的平均变化率约为 3 1 3× -0 4π ≈0.62(dm/L). 1 r -r 1-0 = 函数 r(V)在区间[1,2]上的平均变化率约为 r -r 2-1 3 =- 3 2 1 3× - 3× ≈0.16(dm/L). 4π 4π 显然体积 V 从 0 L 增加到 1 L 时,半径变化快,这说明随着体积的增加,气球的半径增 加的越来越慢. [一点通] 平均变化率在实际问题中有很大作用,要把实际问题中的量与函数中的量对 应起来,从而能利用平均变化率的定义来解决实际问题. 3.已知某一细菌分裂的个数随时间 t s 的变化满足函数关系式 f(t)=3 +1,分别计算 该细菌在[1,2],[3,4],[5,6]时间段内分裂个数的变化率,由此你能得出什么结论? 解:细菌分裂的个数在[1,2]内的平均变化率为 -3- t f -f 2-1 =3 -3=6, 2 细菌分裂的个数在[3,4]内的平均变化率为 f -f 4-3 =3 -3 =54. 4 3 细菌分裂的个数在[5,6]内的平均变化率为 f -f 6-5 =3 -3 =486. 6 5 由此得出随时间的增加,细菌分裂的个数增加速度越来越快. 4.一底面半径为 r cm,高为 h cm 的倒立圆锥形容器,若以 n cm /s 的速率向容器里注 水,求注水时前 t s 水面上升的平均速率,并说明由此得出什么结论. 解:设注水 t s 时,水面高度为 y cm,此时水面半径为 x 则 = ,∴x= y, π 2 πry 由题意知 nt= x y= 2 , 3 3h 3 3nh2 3 ∴y= t, 2· πr 在[0,t]内水面上升的平均速率为: 3 3nh2 3 t-0 3 2· 2 πr 3nh 3 = = 2 2(cm /s),可见当 t 越来越大时,水面 t-0 πrt 2 3 3 cm. y x h r r h

网站首页 | 网站地图 | 学霸百科
All rights reserved Powered by 大学生考试网 9299.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com