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湖北省武汉市华中师大第一附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷【word解析版】

湖北省武汉市华中师大第一附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷【word解析版】


2014-2015 学年湖北省武汉市华中师大第一附中高一(上)期中 数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的 1. (5 分)设全集 U=A∪B={x∈N |lgx<1},若 A∩(CUB)={1,3,5,7,9},则集合 B= () A.{2,6,8} B.{2,4,6,8} C.{0,2,4,6,8} D.{0,2,6,8} 2. (5 分)下列对应能构成集合 A 到集合 B 的函数的是() A.A=Z,B=Q,对应法则 f:x→y= B. A={圆 O 上的点 P},B={圆 O 的切线}, 对应法则:过 P 作圆 O 的切线 2 C. A=R,B=R,对应法则 f:a→b=﹣2a +4a﹣7,a∈A,b∈B D.A={a|a 为非零整数},B= ,对应法则 f:a→b=
*

3. (5 分)若 A.f(x)=x +2
2

,则 f(x)=() B.f(x)=x ﹣2
2

C.f(x)=(x+1)

2

D.f(x)=(x﹣1)
x

2

4. (5 分)已知函数 A.[﹣1,0] 5. (5 分)已知函数 值是() A.2 B.[0,2]

的定义域为

,则函数 y=f(2 )的定义域为() D.[0,1]

C.[﹣1, 2]

的反函数图象的对称中心是(﹣1,3) ,则实数 a 的

B. 3

C.﹣3

D.﹣4

6. (5 分)已知函数 f(x)= 围是() A.[ , ) B.(0, )

是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范

C.(0, )

D.( , )

7. (5 分)定义在(﹣∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一 x 个偶函数 h(x)之和,若 f(x)=ln(e +1) ,那么() x ﹣x A.g(x)=x,h(x)=ln(e +e +2)

1

B. g(x)= [ln(e +1)+x],h(x)= [ln{e +1)﹣x] C. g(x)= ,h(x)=ln(e +1)﹣ D.g(x)=﹣ ,h(x)=ln(e + 1)+
x x

x

x

8. (5 分)若 x0 是方程 A.( ,1)

的解,则 x0 属于区间() C. ( , ) D.(0, )

B. ( , )

9. (5 分)设 min 解集为() A.( ,+∞) B.(0,

,若函数 f(x)=min{3﹣x,log2x},则 f(x)< 的

)∪( ,+∞)

C. (0, 2) ∪ ( , +∞)

D.(0,+∞)[来源:学科网 ZXXK] 10. (5 分)对于方程[( ) ﹣ ] ﹣|( ) ﹣ |﹣k=0 的解,下列判断不正确的是() A.k<﹣ 时,无解 C. ﹣ ≤k<0$时,4 个解 B. k=0 时,2 个解 D.k>0 时,无解
|x| 2 |x|

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 11. (5 分)已知 a>0,a≠1,则 f(x)=loga
2 m﹣1

的图象恒过点.

12. (5 分)已知 f(x)=m ?x 值为.

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的

13. (5 分)计算:log2.56.25+ln

=.

14. (5 分)函数 f(x)=

的最小值为.

2

15. (5 分) 函数 y=f (x﹣1) 为偶函数, 对任意的 x1, x2∈ (﹣1, + ∞) 都有

<0(x1≠x2)成立,则 a=f(

) ,b=f(

) ,c=f(log2 )由大到小的顺序为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤[来 源:Zxxk.Com] 2 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围.

17. (12 分)已知 x+x =3,求

﹣1

的值.

18. (12 分)已知 f(x)=log2 (1)判断 f(x)奇偶性并证明; (2)判断 f(x)单调性并用单调性定义证明; (3)若 ,求实数 x 的取值范围.

19. (12 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品 的总件数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件 产品,总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本) 20. (13 分)设 a∈R,f(x)=x +a|x﹣a|+2 (1)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2)记 f(x)的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式. 21. (14 分)已知函数 f(x)=log2[1+2 +a?(4 +1)] (1)a=﹣1 时,求函数 f(x)定义域; (2)当 x∈(﹣∞,1]时,函数 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围; (3)a=﹣ 时,函数 y=f(x) 的图象与 y=x+b(0≤x≤1)无交点,求实数 b 的取值范围.
x x 2

3

2014-2015 学年湖北省武汉市华中师大第一附中高一 (上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是满足题目要求的 * 1. (5 分)设全集 U=A∪B={x∈N |lgx<1},若 A∩(CUB)={1,3,5,7,9},则集合 B= () A.{2,6,8} B. {2,4,6,8} C. {0 ,2,4,6,8} D.{0,2,6,8} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 确定出全集 U,根据 A 与 B 补集的交集,求出 B 即可. 解答: 解:∵全集 U=A∪B={x∈N |lgx<1=lg10}={x∈N |0<x<10}={1,2,3,4,5,6, 7,8,9},且 A∩(?UB)={1,3,5,7,9}, ∴1,3,5,7,9?B, 则 B={2,4,6,8}, 故选:B. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列对应能构成集合 A 到集合 B 的函数的是() A.A=Z,B=Q,对应法则 f:x→y= B. A={圆 O 上的点 P},B={圆 O 的切线},对应法则:过 P 作圆 O 的切线 2 C. A=R,B=R,对应法则 f:a→b=﹣2a +4a﹣7,a∈A,b∈B D.A={a|a 为非零整数},B= ,对应法则 f:a→b=
* *

考点: 映射. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,根据函数的概念依次判断即可. 解答: 解:选项 A:0∈A,但在对应法则 f 作用下没有元素与之对应,故不正确; 选项 B:A={圆 O 上的点 P},B={圆 O 的切线}不是数集,故不正确; 2 选项 C:A=R,B=R,对应法则 f:a→b=﹣2a +4a﹣7,a∈A,b∈B,符合函数的定义,是函 数; 选项 D:若 a=﹣1, =﹣1?B,故不正确;

故选 C. 点评: 本题考查了函数的概念,属于基础题.

4

3. (5 分)若 A.f(x)=x +2
2

,则 f(x)=() B.f(x)=x ﹣2
2

C.f(x)=(x+1)

2

D.f(x)=(x﹣1)

2

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用配方法求解即可. 解答: 解:
2

=



∴f(x)=x +2. 故选:A. 点评: 本题考查函数的解析式的求法,基本知识的考查.

4. (5 分)已知函数 A.[﹣1,0] B.[0,2]

的定义域为

,则函数 y=f(2 )的定义域为() D.[0,1]

x

C.[﹣1,2]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 令 t= ,由条件可得即有 1≤t≤2,则 y=f(t)的定义域为[1,2],再由 1≤2 ≤2,
x

解得即可得到定义域. 解答: 解:由于 则令 t= , ,





即有 1≤t≤2, 则 y=f(t)的定义域为[1,2], x 再由 1≤2 ≤2,解得,0≤x≤1, 即有定义域为[0,1], 故选 D. 点评: 本题考查函数的定义域,注意 f(x)与 f[g(x)]的定义域的区别和联系,考查运 算能力,属于中档题.

5. (5 分)已知函数 值是() A.2

的反函数图象的对称中心是(﹣1,3) ,则实数 a 的

B. 3

C.﹣3

D.﹣4

5

考点: 反函数. 专题: 计算题. 分析: 求出原函数的对称中心, 化简函数的表达式, 即可求出 a 的值. [来源:Z+xx+k.Com] 解答: 解:函数 对称中心为(3,﹣1) , 函数化为 ,所以 a+ 1=3,所以 a=2. 的反函数图象的对称中心是(﹣1,3) ,所以原函数的

故选 A. 点评: 掌握基本函数的对称中心,反函数的对称性,是解答本题的关键,考查计算能力.

6. (5 分)已知函数 f(x)= 围是() A.[ , ) B.(0, )

是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范

C.(0, )

D.( , )

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 由题意可得可得

,由此求得 a 的范围.

解答: 解:由于函数 f(x)=

是 R 上的减函数,可得



求得 ≤a< , 故选:A. 点评: 本题主要考查函数的单调性的性质,属于基础题. 7. (5 分)定义在(﹣∞,+∞)上的任意函数 f(x)都可以表示成一个奇函数 g(x)和一 x 个偶函数 h(x)之和,若 f(x)=ln(e +1) ,那么() x ﹣x A.g(x)=x,h(x)=ln(e +e +2) B. g(x)= [ln(e +1)+x],h(x)= [ln{e +1)﹣x] C. g(x)= ,h(x)=ln(e +1)﹣
x x x

6

D.g(x)=﹣ ,h(x)=ln(e +1)+

x

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x 分析: 由题意,g(x)+h(x)=f(x)=ln(e +1)①,g(﹣x)+h(﹣x)=f(﹣x)=ln ﹣x ﹣x (e +1)化简可得﹣g(x)+h(x)=ln(e +1)②,从而解出 g(x)与 h(x) . 解答: 解:由题意, x g(x)+h(x)=f(x)=ln(e +1)①, ﹣x g(﹣x)+h(﹣x)=f(﹣x)=ln(e +1) , ﹣x 即﹣g(x)+h(x)=ln(e +1)②, ①+②得 2h(x)=ln(e +1)+ln(e +1)=2ln(e +1)﹣x, ∴h(x)=ln(e +1)﹣ , ①﹣②得, g(x)= , 故选 C. 点评: 本题考查了奇偶性的应用,属于基础题.
x x
﹣x

x

8. (5 分)若 x0 是方程 A.( ,1)

的解,则 x0 属于区间() C. ( , ) D.(0, )

B. ( , )

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 压轴题. 分析: 由题意 x0 是方程 的解, 根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题.

解答: 解:∵ ∴x0 属于区间( , ) .





故选 C. 点评: 此题主要考查函数的零点与方程根的关系, 利用指数函数的增减性来做题, 是一道 好题.

7

9. (5 分)设 min 解集为() A.( ,+∞) B.(0,

,若函数 f(x)=min{3﹣x,log2x},则 f(x)< 的

)∪( ,+∞)

C. (0, 2) ∪ ( , +∞)

D.(0,+∞) 考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

[来源:Z#xx#k.Com]

分析: 由题意原不等式等价于



,解不等式组可得答

案. 解答: 解:∵min ,

∴f(x)=min{3﹣x,log2x}=



∴f(x)< 等价于







可得 x> ,解

可得 0<x<



故 f(x)< 的解集为: (0,

)∪( ,+∞)

故选:B 点评: 本题考查新定义和对数不等式,化为不等式组是解决问题的关键,属基础题. 10. (5 分)对于方程[( ) ﹣ ] ﹣|( ) ﹣ |﹣k=0 的解,下列判断不正确的是() A.k<﹣ 时,无解 B.k=0 时,2 个解 C. ﹣ ≤k<0 时,4 个解 D. k>0 时,无解 故选:C. 点评: 本题主要考查方程根的存在性一及个数的判断, 体现了专化、 分类讨论的数学思想, 属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分
|x| 2 |x|

8

11. (5 分)已知 a>0,a≠1,则 f(x)=loga

的图象恒过点(﹣2,0) .

考点: 对数函数的图像与性 质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 结合对数函数的性质,函数恒过(1,0) ,得到 2+ =1,解出即可.

解答: 解:∵f(x)= 令 2+ =1,解得:x=﹣2,



∴函数图象过(﹣2,0) , 故答案为: (﹣2,0) . 点评: 本题考查了对数函数的性质,是一道基础题. 12. (5 分)已知 f(x)=m ?x 值为﹣1.
2 m﹣1

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,则实数 m 的

考点: 幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x)=m ?x 解得 m 即可. 解答: 解:∵f(x)=m ?x ∴
2 m﹣1 2 m﹣1

是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,可得



是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为减函数,

,解得 m=﹣1.

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了幂函数的定义及其性质,属于基础题.

13. (5 分)计算:log2.56.25+ln

=



考点: 对数的运算性质. 分析: 利用指数幂与对数的运算法则、对数恒等式即可得出. 解答: 解:原式=2+ ﹣ = + +

9

=

. .

故答案为:

点评: 本题考查了指数幂与对数的运算法则 、对数恒等式,属于基础题. 14. (5 分)函数 f(x)= 的最小值为﹣ .

考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先求解的定义为[﹣1,1]再根据单调性求解,判断最小值为 f(﹣1)即可. 解答: 解:∵f(x)= ∴定义域为[﹣1,1] ∵通过观察得出 f(x)= 单调递增, 的定义域满足 x+1≥0,1﹣x≥0,

∴f(x)min=f(﹣1)=﹣ 故答案为:﹣ 点评: 本题考查了函数的单调性,求解最值问题.

15. (5 分) 函数 y=f (x﹣1) 为偶函数, 对任意的 x1, x2∈ (﹣1, +∞) 都有

<0(x1≠x2)成立,则 a=f( <a<b. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用.

) ,b=f(

) ,c=f(log2 )由大到小的顺序为 c

分析: 由已知可得 f(x)在(﹣1,+∞)上单调递减,由





即可求得 c<

a<b. 解答: 解:∵y=f(x﹣1)为偶函数,即有 f(﹣x﹣1)=f(x﹣1) , ∵对任意的 x1,x2∈(﹣1,+∞)都有 <0(x1≠x2)成立,

∴有 x1<x2 时,f(x1)>f(x2) ,有 x1>x2 时,f(x1)<f(x2) ,所以 f(x)在(﹣1,+∞) 上单调递减,f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递增,

∴a=f(

)=f(

)=f(﹣

+1)=f(

) ;

10

b=f(

)=f(

)=f(1+

﹣1)=f(

) ;

c=f(log2 )=f(

)=f(

) ;









∴c<a<b. 故答案为:c<a<b. 点评: 本题主要考察了函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 2 16. (12 分)已知集合 A={x|x ﹣3x﹣10≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1},若 A∪B=A,求实数 m 的取值范围. 考点: 集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题. 分析: 分别解出集合 A,B,根据 A∪B=A,可得 B?A,从而进行求解; 解答: 解:∵A∪B=A,∴B?A 又 A={﹣2≤x≤5}, 当 B=?时,由 m+1>2m﹣1,解得 m<2,

当 B≠?时,则

解得 2≤m≤3,

综上所述,实数 m 的取值范围(﹣∞,3]. 点评: 此题主要考查集合关系中的参数的取值问题, 还考查子集的性质, 此题是一道基础 题;

17. (12 分)已知 x+x =3,求

﹣1

的值.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由
﹣1

,可得 ,再利用乘法公式即可得出.
﹣1

.利用(x﹣x ) =(x+x

﹣1

2

) ﹣4=5,可得

2

解答: 解:∵x+x =3,

11

∴ 又 ∴
﹣1

, , .
2
﹣1

(x﹣x ) =(x+x ) ﹣4=5, ∴ ∴ ∴原式= . , .

2

点评: 本题考查了乘法公式的灵活运用,考 查了计算能力,属于中档题. 18. (12 分)已知 f(x)=log2 (1)判断 f(x)奇偶性并证明; (2)判断 f(x)单调性并用单调性定义证明; (3)若 ,求实数 x 的取值范围.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 转化(1)求解 (2)运用单调性证明则 = 符号即可. (3)根据单调性转化 解答: 解: (1) 求解. ∴定义域为(﹣1,1) ,关于原点对称 判断 >0 即可.

∴f(x)为(﹣1,1)上的奇函数 设﹣1<x1<x2<1 则 =

又﹣1<x1<x2<1 ∴(1+x1) (1﹣x2)﹣(1﹣x1) (1+x2)=2(x1﹣x2)<0
12

即 0<(1+x1) (1﹣x2)<(1﹣x1) (1+x2) ∴

∴ ∴f(x1)<f(x2) ∴f(x)在(﹣1,1)上单调递增, (3)∵f(x)为(﹣1,1)上的奇函数 ∴ 又 f(x)在(﹣1,1)上单调递增 ∴ ∴x<2 或 x>6,

点 评: 本题综合考查了函数的性质,运用求解单调性,奇偶性,解不等式等问题. 19 . (12 分)某工厂生产一种产品的原材料费为每件 40 元,若用 x 表示该厂生产这种产品 的总件数,则电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元,又该厂职工工资固定支出 12500 元. (1)把每件产品的成本费 P(x) (元)表示成产品件数 x 的函数,并求每件产品的最低成 本费; (2) 如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 3000 件, 且产品能全部销售, 根据市场调查: 每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x,试问生产多少件 产品,总利润最高?(总利润=总销售额﹣总的成本) 考点: 基本不等式在最值问题中的应用;根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题. 分析: (1)根据每件产品的成本费 P(x)等于三部分成本和,建立函数关系,再利用基 本不等式求出最值即可; (2)设总利润为 y 元,根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数,利用二次函数 的性质求出取最值时,x 的值即可. 解答: 解: (Ⅰ)根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成,①职工工资固定支出 12500 元;②原材料费每件 40 元;③电力与机器保养等费用为每件 0.05x 元, 可得 由基本不等式得 当且仅当 ∴ ,即 x=500 时,等号成立 的最小值为 90 元.

∴每件产品的最低成本费为 90 元 (Ⅱ)设总利润为 y 元, ∵每件产品的销售价 Q(x)与产品件数 x 有如下关系:Q(x)=170﹣0.05x 2 ∴总销售额=xQ(x)=170x﹣0.05x ,
13

则 y=xQ(x)﹣xP(x)=﹣0.1x +130x﹣12500=﹣0.1(x﹣650) +29750 当 x=650 时,ymax=29750 答:生产 650 件产品时,总利润最高,最高总利润为 29750 元. 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 以及二次函数的性质, 同时考查 了建模的能力,属于中档题 2 20. (13 分)设 a∈R,f(x)=x +a|x﹣a|+2 (1)若 f(x)为偶函数,求实数 a 的值; (2)记 f(x)的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)函数 f(x)为偶函数,有 f(﹣x)=f(x) ,求 a 即可; (2)分情况把 f(a)的最小值表示出来. 解答: 解: (1)f(x)为偶函数 ∴f(﹣x)=f(x)恒成立, 2 2 即 x +a|x+a|+2=x +a|x﹣a|+2∴a=0…. (3 分) (2)当 x≥a 时,f(x)=x +ax+2﹣a ,对称轴为 若 若 即 a≤0 时, 即 a>0 时,
2 2 2 2

2

2

…(6 分)

当 x<a 时,f(x)=x ﹣ax+a +2,对称轴为 若 若 即 a≤0 时,f(x)>f(a)=a +2 即 a>0 时, ∴ …..(9 分) ,
2

a≤0 时, a>0 时, ∴ …..(11 分)



…(13 分)

点评: 本题主要考查二次函数的单调性和最值得求法,属于中档题. x x 21. (14 分)已知函数 f(x)=log2[1+2 +a?(4 +1)] (1)a=﹣1 时,求函数 f(x)定义域; (2)当 x∈(﹣∞,1]时,函数 f(x)有意义,求实数 a 的取值范围; (3)a=﹣ 时,函数 y=f(x)的图象与 y=x+b(0≤x≤1)无交点,求实数 b 的取值范围.

14

考点: 对数函数的图像与性质;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)得出 2 (2 ﹣1)<0,求解即可. (2)换元转化为令 t=2 +1∈(1,3], ,利用对钩函数的性质求解. (3)利用令 n=2 ∈[1,2],
x x x x

,求解. 解答: 解: (1)a=﹣1 时,2 ﹣4 >0,2 (2 ﹣1)<0 x ∴0<2 <1∴x<0,定义域为(﹣∞,0) , (2)由题 1+2 +a(4 +1)>0 对一切 x∈(﹣∞,1]恒成立 令 t=2 +1∈(1,3]
x x x x x x x

在 ∴ (3)

上单减,在

上单增 ∴ ,

时,



记 令 n=2 ∈[1,2], 在[1,2]上单调递减 ∴ ,
x



∴﹣2≤log2g(n)≤0, ∵图象无交点,∴b<﹣2 或 b>0, 点评: 本题综合考查了函数的性质,运用判断单调区间,求解范围问题,属于中档题.

15


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