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2014-2015学年高二数学同步课件第4章§22.2《最大值、最小值问题》(北师大版选修1-1)_图文

2014-2015学年高二数学同步课件第4章§22.2《最大值、最小值问题》(北师大版选修1-1)_图文

2.2 最大值、最小值问题

函数的最值点与最值 1.最大值点及最大值 对于区间[a,b],函数f(x)满足: (1)x0∈[a,b]. (2)f(x)≤_f_(_x_0)_, 则最大值点为_x_0 ,最大值为_f_(_x_0)_.

2.最小值点及最小值 对于区间[a,b],函数f(x)满足: (1)x0∈[a,b]. (2)f(x)≥_f_(_x_0)_, 则最小值点为_x_0 ,最小值为_f_(_x_0)_.

思考:(1)函数的极值是否一定是函数的最值? 提示:不一定.端点值也可能是函数的最值. (2)若连续函数f(x)在区间[a,b]上有唯一的极值点且为极 小值点x0,则f(x0)是否是最小值? 提示:是.函数y=f(x)在[a,x0]上是减少的,在[x0,b]上是 增加的,故f(x)在x0点取得最小值,f(x0)是最小值.

【知识点拨】 1.对最值概念的两点说明 (1)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是一条连续不断 的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值, 函数的最值必在极值点或区间端点处取得. (2)函数的最大(小)值是一个整体性概念,是对整个定义域 而言的.最大值必须是定义域上所有函数值中的最大值,最 小值必须是定义域上所有函数值中的最小值.

2.函数极值与最值的内在联系 (1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念,函数的最值 是一个整体性概念,最大值必须是整个区间内所有函数值中 的最大值;最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值. (2)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的,函数的 极值是比较极值点附近的函数值得出的,函数的极值可以有 多个,但最值只能有一个. (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得;有极值 的未必有最值,有最值的未必有极值;极值有可能成为最值, 最值不在端点处取得必定是极值.

类型 一 求函数的最值

【典型例题】

1.函数y= x3 +x2-3x-4在[0,2]上的最小值是 ( )

A. ? 17
3

3
B. ?10
3

C.-4

D.? 64
3

2.求函数f(x)=-x3+3x,x∈( ? 3,3 )的最值.

【解题探究】1.怎么判断函数y在[0,2]上是否有极值点? 2.求函数f(x)的最值时,还求函数f(x)的极值吗? 探究提示: 1.令y'=0,看是否在[0,2]上有解,如果有,则此解就是极 值点,否则没有. 2.要求函数f(x)的极值,并与端点值进行比较.

【解析】1.选A.

令y'=x2+2x-3=0,知x=-3,x=1为极值点.又∵x∈[0,2],

∴当x<1时,f'(x)<0;

当x>1时,f'(x)>0;

所以ymin=f(1)=

?17 . 3

2.令f'(x)=-3x2+3=0,解得x=±1,

f(-1)=-2,f(1)=2,f( ? 3 )=0,f( 3 )=0. ∴y=f(x)的最大值为2,最小值为-2.

【拓展提升】求函数最值的四个步骤 第一步 求函数的定义域, 第二步 求f'(x),解方程f'(x)=0, 第三步 列出关于x,f(x),f'(x)的变化表, 第四步 求极值、端点值,确定最值.

【变式训练】函数f(x)= 4x , x∈[-2,2]的最大值
x2 ?1



,最小值是

.

【解析】由

f

'(x)

?

4(x2 ?1) ? 8x2 (x2 ?1)2

?

4(1? x2 ) (x2 ?1)2

?

0

得x=±1,

列表:

x (-2,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2)

f'(x)

-

0

+

0

-

f(x)



-2



2



所以当x=-1时,f(x)有极小值-2,

当x=1时,f(x)有极大值2.

又 f (2) ? 8 ,f (?2) ? ? 8 .

5

5

∴f(x)在[-2,2]上的最大值为2,最小值为-2.

答案:2 -2

类型 二 函数最值的简单应用

【典型例题】 1.函数f(x)=ax2+4x-3在[0,2]上有最大值是f(2),则a的取值

范围是

.

2.已知a,b为常数,且a>0,f(x)=x3+ 3 (1-a)x2-3ax+b.
2
(1)若函数f(x)的极大值为2,求a,b间的关系式.

(2)若函数f(x)的极大值为2,且在区间[0,3]上的最小值为 ? 23,求a,b的值.
2

【解题探究】 1.题1中二次项系数含有字母系数a,是否需要讨论? 2.题2(2)中若函数f(x)只知道它有极大值,能否求出a,b的 值? 探究提示: 1.需要讨论.讨论a是否等于零,若a=0,则函数f(x)是一次 函数,若a≠0,则函数f(x)是二次函数. 2.不能.只能求出a,b间的关系式.

【解析】 1.当a=0时,f(x)=4x-3在[0,2]上的最大值是f(2); 当a>0时,f(0)=-3,f(2)=4a+5,这时f(0)<f(2), ∴f(2)为最大值;当a<0时,使f(2)最大只需 ? 2 ≥2即可,
a
解得-1≤a<0. 综上,所求a的取值范围是[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

2.(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1).

令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a. 因为a>0,所以x1<x2. 列表:

x (-∞,-1) -1 (-1,a)

f'(x)

+

0

-

f(x)



极大值 ↘

所以当x=-1时,f(x)有极大值2,

a (a,+∞)

0

+

极小值 ↗

即3a+2b=3.

(2)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,a)上是减少的,

在[a,3]上是增加的.

∴f(a)为最小值,f (a) ? ? 1 a3 ? 3 a2 ? b ? ? 23 ,

22

2

又由 b ? 3 ? 3a , ∴a3+3a2+3a-26=0,

2

即(a+1)3=27,即a=2,b= ? 3;

2

当a≥3时,f(x)在[0,3]上的最小值为f(3),

∴f(3)=27+ 27 (1-a)-9a+b= ? 23,

2

2

又3a+2b=3,解得a= 107 <3(舍去).

48

综上得a=2,b= ? 3 .
2

【互动探究】题1中若改为在[0,2]上有最小值是f(0),

则a的取值范围是

.

【解析】当a=0时,f(x)=4x-3在[0,2]上的最小值是f(0);

当a>0时,f(0)=-3,f(2)=4a+5,这时f(0)<f(2),

∴f(0)为最小值;
当a<0时,使f(0)最小,只需 ? 2 ≥1即可,解得-2≤a<0.
a
故所求a的取值范围是[-2,+∞).

答案:[-2,+∞)

【拓展提升】 1.含参数的函数最值问题的两类情况 (1)能根据条件确定出参数,从而化为不含参数函数的最值 问题. (2)不能求出参数时,常需分类讨论.若参数对导数的正负有 影响时,需讨论参数如本例;若极点值与函数端点值比较大 小不能确定,也需分类讨论以确定最值.

2.已知函数最值求参数值(范围)的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向 思维,一般先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点, 探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解决问题.

【变式训练】已知函数f(x)=ax3+c,且f′(1)=6,

函数在[1,2]上的最大值为20,则c的值为

.

【解析】f'(x)=3ax2,∴f'(1)=3a=6,a=2.

当x∈[1,2]时,f'(x)=6x2>0,

即f(x)在[1,2]上是增加的,

∴f(x)max=2×23+c=20,c=4. 答案:4

类型 三 生活中的优化问题
【典型例题】 1.某厂生产某种商品x单位的利润是L(x)=500+x-0.001x2, 生产_____________单位这种商品时利润最大,最大利润 是_____________.

2.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式 y ? a ?10(x ? 6)2, 其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为
x?3
5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值. (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值, 使商场每日销售该商品所获得的利润最大.

【解题探究】1.如何求函数L(x)的极值点?此极值点唯一吗? 2.利润等于什么?题2中每千克的利润是多少? 探究提示: 1.令L'(x)=0,此方程是一元一次方程,所以只有一解,此 极值点唯一. 2.利润=(零售价-成本价)×销售量;题2中每千克的利润是 (x-3)元.

【解析】
1.由L'(x)=1-0.002x=0知x= 1 =500,
0.002
此时L(500)=500+500-250=750.
答案:500 750

2.(1)因为x=5时,y=11,所以 a +10=11,a=2.
2
(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y= 2 +10(x-6)2.
x?3
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)[ 2 +10(x-6)2]
x?3
=2+10(x-3)(x-6)2,
3<x<6.
从而f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).

列表:

x

(3,4)

4

(4,6)

f'(x)

+

0

-

f(x)



极大值42



由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,

也是最大值点.

所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.

答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得

的利润最大.

【拓展提升】 1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以 产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导 数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润=收入-成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数.

【变式训练】已知某工厂生产x件产品的成本为C=25000+200x
+ 1 x2(元),要使平均成本最低,应生产多少件产品?
40

【解析】设平均成本为y元,



y?

25000 ? 200x ?

1 x2 40

? 25000 ? 200 ? x (x ? 0),

x

x

40

?25000 1

y' ?

x2

?, 40

令y'=0,得x=1000或x=-1000(舍去).

当0<x<1000时,y'<0;当x>1000时,y'>0,

故当x=1000时,y取极小值,

又只有一个点使y'=0,

故函数在该点处取得最小值.

因此,要使平均成本最低,应生产1000件产品.

【误区警示】在判断导数的符号时,易忽视定义域而失分, 要树立定义域优先的意识.

其他优化问题

【典型例题】 1.若一球的半径为r,则内接于球的圆柱的最大侧面积

为( ) A.2π r2

B.π r2

C.4π r2

D.1π r2
2

2.一批物资用13辆汽车从A地运到300km外的B地,若车速为
vkm/h,则两车的距离不能小于( v )2km时,这批物资全部从
10
A地运到B地至少要花( )

A.6 h

B.12 h

C.18 h

D.24 h

3.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π ,且用料最

省,则圆柱的底面半径为

.

【解析】1.选A.

设内接圆柱的底面半径为R,母线长为l,则R=rcosθ,

l=2rsinθ,其中θ为球半径与圆柱底面的夹角,

∴S侧=2πrcosθ·2rsinθ=4πr2sinθcosθ.

令S'侧=4πr2(cos2θ-sin2θ)=0,

又0<θ< ?,
2

∴θ= ? . 当θ= ? , 即 R ? 2 r 时,

4

4

2

S侧最大且S侧max=2πr2.

2.选B.最后一辆汽车从A地运到B地所用的时间为:

300 ?12 ? ( v )2

t?

10

v



t'

?

300 ? v2

?

3, 25

∴v=50.

? 300 ? 3v , v∈(0,+∞).
v 25
令t'=0,即 ? 300 ? 3 ? 0,
v2 25

又∵函数 t ? 300 ? 3v 在(0,+∞)内只有一个极值点v=50,
v 25
且这是极小值点.

∴当v=50时,所花费的时间最少,最少时间为12h.

3.设底面半径为r,高为h,

则πr2h=27π,r2h=27,

∴ h ? 27 ,
r2
∴表面积S(r)=2πr·h+πr2=

54?+πr2,
r

∴S'(r)=2πr-54πr-2,令S'(r)=0,得r=3.

答案:3

【拓展提升】 1.解决最优化问题的基本思路

2.导数法求解“面积”“容积”“利润”“成本”等最值问 题的五个步骤 (1)根据题意列出目标函数关系式,并注明定义域. (2)求函数导数. (3)求函数的极值及单调性. (4)判断函数的最值并检验最值及最值点是否符合实际问题. (5)写答案.

【规范解答】生活中的优化问题 【典例】

【条件分析】

【规范解答】

(1)设容器的容积为V,由题意知,V=πr2l+ 4 πr3= 80? .

3

3

80? ? 4 ?r3

?l ?

33 ?r 2

?

80 3r 2

?

4 3

r

?

4 3

20 ( r2

?

r)① ,

……………………2分

由于l≥2r,因此0<r≤2,…………………………………3分

所以建造费用y=2πrl×3+4πr2c=2πr×

4 3

(

20 r2

?

r)

×3+4πr2c,

因此y=4π(c-2)r2+ 160?, r∈(0,2].…………………5分
r

(2)由(1)得

y'

? 8?(c ? 2)r

?

160? r2

?

8?(c r2

2)

(r3 ? 20 ), c?2

0<r≤2,

由于c>3,所以c-2>0,当r3 ? 20
c?2

?0

时,r ?

3

20 c?2

,令 3

20 c?2

? m,

则m>0,所以

y

'

?

8?(c r2

2)

(r

-

m)(r 2

?

rm

?

m2 )② .

………………8分

①当0<m<2,即 c ? 9 时③,当r=m时,y'=0;r∈(0,m)时,y'<0,
2

r∈(m,2)时,y'>0,∴r=m是函数y的极小值点,也是最小值点.

………………………………………………………………10分

②当m≥2,即 3 ? c ? 9 时③ ,
2
r∈(0,2)时,y'<0,函数是减少的,

所以r=2是函数y的最小值点.

综上所述,当3<c≤ 9 时,建造费用最小时r=2;

2

当c> 9 时,建造费用最小时 r ? 3 20 . …………………12分

2

c?2

【失分警示】

【防范措施】 1.实际问题中自变量的取值范围 在求实际问题的最值时,一定要注意考虑实际问题的意义, 不符合实际意义的值应舍去. 2.实际问题中最值的处理 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f'(x)=0的情形,如果函数在这点有极值,那么不与端点值 比较,也可以知道这是最值.

3.分类讨论思想的应用 在解决实际问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数式给予表示,还应确定函数式中自变量的定义域,另外 有些题目函数式比较复杂,有的还含有参数,化简时一定要 细心,还要注意分类讨论思想的应用,如本例中求建造费用 最小时的r,需对m分0<m<2与m≥2两种情况讨论.

【类题试解】 请你设计一个包装盒,如图 所示,ABCD是边长为60cm的 正方形硬纸片,切去阴影部 分所示的四个全等的等腰直 角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于 图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在 AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点, 设AE=FB=x(cm).

(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何 值? (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并 求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

【解析】设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm, 由已知得a= 2 x,h= 60 ? 2x = 2(30-x),0<x<30.
2
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800,
所以当x=15时,S取得最大值.
(2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V'=6 2 x(20-x). 由V'=0得,x=0(舍)或x=20.当x∈(0,20)时V'>0;
当x∈(20,30)时V'<0. 所以当x=20时取得极大值,也是最大值,此时 h ? 1 ,
a2
即包装盒的高与底面边长的比值为 1 .
2

1.下列说法正确的是 ( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 【解析】选D.根据最值的定义与性质可知D正确.

2.函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是M,最小值是m,

若M=m,则f′(x) ( )

A.等于0

B.大于0

C.小于0

D.以上都有可能

【解析】选A.因为最大值等于最小值,所以函数f(x)在

[a,b]上没有单调性,即f'(x)=0.

3.函数y=x+2cosx在[0,? ]上取得最大值时,x的值为( )

2

A.0

B. ?

C. ?

D. ?

6

3

2

【解析】选B.令y'=1-2sinx=0,

且x∈[0,? ]时,x= ?,

2

6

当x∈[ ?, ? ]时,f'(x)≤0,y=f(x)是减少的,
62

x∈[0,? )时,f'(x)>0,y=f(x)是增加的,

6

∴f(x)max=f(

? 6

).

4.函数f(x)=x2+2ax+1的最小值为1,则a=

.

【解析】令f'(x)=2x+2a=0,∴x=-a.

又f(-a)=1,即a=0.

答案:0

5.做一个圆柱形锅炉,容积为V,两个底面的材料每单位面

积的价格为a元,侧面的材料每单位面积的价格为b元,当造

价最低时,锅炉的底面直径与高的比为

.

【解析】如图,设圆柱的底面半径为R,高为h,则V=πR2h.

设造价为y=2πR2a+2πRhb

?

2?aR 2

? 2?Rb

V ?R 2

? 2?aR 2

?

2bV , R

∴y'=4πaR-

2bV R2 .

令y'=0,得 2R ? b .
ha

答案: b
a

6.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在[-3,3]上有最小值3, 求f(x)在[-3,3]上的最大值. 【解析】f'(x)=3x2+6x, 令f'(x)=0,得3x(x+2)=0, ∴x=0或x=-2. ①当0≤x≤3或-3≤x≤-2时, f'(x)≥0,f(x)是增加的,

②当-2<x<0时,f'(x)<0,f(x)是减少的, 由最小值为3知, 最小值为f(-3)或f(0), f(-3)=(-3)3+3×(-3)2+a=a,f(0)=a, 则a=3,∴f(x)=x3+3x2+3, 其最大值为f(-2)或f(3), f(-2)=(-2)3+3×(-2)2+3=7, f(3)=33+3×32+3=57, 则最大值为57.


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