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2016_2017年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性课件苏_图文

2016_2017年高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性课件苏_图文

第1章

三角函数

1. 3

三角函数的图象和性质

1.3.1 三角函数的周期性

第1章

三角函数

学习导航
1.了解三角函数的周期性. 2.理解周期函数的定义.(难点) 学习 3.掌握 y=Asin(ωx+φ)、y= Acos(ωx+φ)的周期 目标 2π T= .(重点) ω

第1章

三角函数

学 法 指 导

1.在函数的周期定义中是对定义域中的每一个 x 值来说, 对于个别的 x0 满足 f(x0+ T)=f(x0),并不能说 T 是 f(x)的 π π? π π ? + 周期. 例如: 即使 sin?4 2 ?= sin 成立, 也不能说 是 f(x) 4 2 = sin x 的周期. 2.在周期函数 y=f(x)中, T 是周期,若 x 是定义域内的 一个值,则 x+ kT 也一定属于定义域,因此周期函数的定 义域一定是无限集,而且定义域一定无上界或者无下界. 3.周期函数的周期不止一个,若 T 是周期,则 kT(k∈ N+) 一定也是周期 .

1.周期函数的概念 (1)周期函数的定义

非零 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个____________ 的常数
f(x+T)=f(x) T, 使得定义域内的每一个 x 值, 都满足__________________ ,
那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的

周期 ____________ .

(2)最小正周期
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小 正数 那么这个最小的正数就叫做f(x)的____________. 最小正周期 的________,
2.三角函数的周期 (1)正弦函数 y= sin x(x∈ R)的周期是

2kπ(k∈Z且k≠0) 2π ________________________ ,最小正周期是_________ .
(2)余弦函数 y= cos x(x∈ R)的周期是

2kπ(k∈Z且k≠0) 2π ________________________ ,最小正周期是_________ .

π kπ(k∈Z且k≠0) , (3)正切函数 y=tan x(x≠kπ+ )的周期是 ________________ 2 π . 最小正周期是_______ (4)函数 y= Asin(ωx+φ)及 y= Acos(ωx+ φ)(其中 A、 ω、 φ 为

2π 常数,且 A≠0,ω> 0)的周期 T=____________ . ω

温馨提示:三角函数的周期,如没有特别说明,指的 是 最 小正周期.

4π 3 1.函数 y= sin x 的周期是________ . 3 2
2π 4 解析: T= = π. 3 3 2

π ±2 . 2.函数 f(x)=cos(ωx+ )的周期为 π,则 ω=________ 3
2π 解析: T= =π,∴|ω|=2,ω=± 2. |ω|
π ④ 3.下列函数中,周期为 的是________ .(只填序号) 2 x x ①y=sin ;②y=sin 2x;③y=cos ;④y=cos 4x. 2 4 x x 解析:y= sin 的周期为 4π,y= sin 2x 的周期为 π,y= cos 2 4
π 的周期为 8π, y= cos 4x 的周期为 . 2

sin x 2π 4.函数 y= 的周期是________ . tan x
sin x sin x 解析: y= = = cos x,所以周期为 2π. tan x sin x cos x

求三角函数的周期
求下列函数的周期. 1 π (1)y= sin(- x+ )(x∈R); 2 3 (2)y= |cos x|(x∈R). (链接教材 P25 例 2)

1 π 1 π [解 ] (1)y= sin(- x+ )=- sin( x- ), 2 3 2 3 1 π 1 π ∵- sin( x- )=- sin( x- + 2π), 2 3 2 3 1 π 1 π 即- sin [ (x+4π)- ]=- sin( x- ), 2 3 2 3 1 π ∴ y= sin(- x+ )的周期为 4π. 2 3 (2)令 f(x)= y= |cos x|. f(x+ π)= |cos(x+ π)|= |cos x|, 所以 y= |cos x|的周期为 π.

方法归纳 求三角函数的周期,通常有三种方法. (1)定义法; (2)公式法,对 y= Asin(ωx+ φ)或 y= Acos(ωx+ φ) 2π (A, ω, φ 是常数,且 A≠0, ω≠0), T= , |ω| 2π 如本例 (1)可用公式求解如下: T= = 4π. 1 |- | 2 两种方法各有所长,要根据函数式的结构特征,选择适当 方法求解,为了避免出现错误,求周期之前要尽可能将函 数化为同名同角三角函数,且函数的次数为 1.

π π 1.在 y= |sin x|, y=cos( -2x),y=sin(2x+ ), 6 3 1 y= tan(πx- )这 4 个函数中,最小正周期为 π 的函数的 2

3 个数为________ . 解析:∵|sin(π+ x)|= |- sin x|=|sin x|. ∴ y=|sin x|的最小正周期是 π; π 由三角函数的周期公式,可知 y= cos( - 2x), 6 π y= sin(2x+ )的最小正周期都是 π; 3 1 π y= tan(πx- )的最小正周期是 T= = 1; 2 π ∴最小正周期为 π 的函数的个数为 3.

根据周期函数定义求周期
已知 f(x+1)=-f(x),求证:f(x)是周期函数,并 求出它的一个周期. (链接教材 P24 周期函数定义)
[证明] ∵f(x+2)=f[(x+1)+1]=-f(x+1)=f(x),

∴f(x)是周期函数,且 2 是它的一个周期.

方法归纳 (1)若函数 y=f(x)(x∈ R)的图象关于 x= a, x= b(b> a)都 对称,则 f(x)是周期函数且 2(b- a)是它的一个周期. (2)若函数 y= f(x)(x∈ R)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a> 0),则 f(x)是周期函数,且 6a 是它的一个周期. (3)已知 f(x+a)=-f(x)(a> 0),由定义可证得 f(x)为周期 函数,2a 是它的一个周期. 1 (4)若 f(x+ a)=- (a> 0),则 f(x)为周期函数,2a f( x) 是它的一个周期.

2.已知函数f(x)(x∈N+)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n),求证: f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
证明:由 f(n+ 2)= f(n+1)- f(n), ① 得 f(n+3)= f(n+ 2)-f(n+ 1). ② ①式+②式,得 f(n+ 3)=- f(n). ∴ f(n+ 6)=f[(n+ 3)+ 3]=- f(n+3) =-[-f(n)]= f(n). ∴ f(x)是周期函数,且 T= 6 为 f(x)的一个周期.

周期函数的求值
设 f(x)是以 1 为一个周期的函数,且当 x∈(-1, 7 0)时,f(x)=2x+1,求 f( )的值. 2 (链接教材 P25 例 1) [解 ] 设 k∈ Z,∵ f(x)是以 1 为一个周期的函数, ∴ k 也是 f(x)的周期. 7 7 ∴ f(x-k)= f(x), 故 f( )=f( - 4), 2 2 7 1 从而 f( )= f(- ), 2 2 又当 x∈(-1,0)时, f(x)= 2x+1, 7 1 1 所以 f( )= f(- )= 2×(- )+ 1= 0. 2 2 2

方法归纳 如果一个函数是周期函数,倘若要研究该函数的有关性 质,结合周期函数的定义域可知,完全可以只研究函数 一个周期上的特征,再加以推广便可以得到函数在定义 域内的有关性质.

5π 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的最小正周期为 的函数,且在 2
? ?sin x( 0≤x≤π), 11π (-π,π]上 f(x)=? 求 f(- )的值. 4 ? ?cos x(- π< x< 0),

11π 11π 5π π 解:f(- )= f(- + )= f(- ), 4 4 2 4 π π π π 2 因为- π<- < 0,所以 f(- )= cos(- )= cos = , 4 4 4 4 2 11π 2 所以 f(- )= . 4 2

易错警示

因盲目类比求周期而出错

求函数y=|tan x|的最小正周期.
[解 ] ∵ |tan(x+ π)|= |tan x|, 而 0<T<π 时,|tan (x+ T)|≠|tan x|, 故 y= |tan x|的周期为 π.

[错因与防范 ]

(1)由函数 y= |sin x|与 y= |cos x|的周期类比

得到 y= |tan x|的周期也减半,缺乏类比的依据.事实上,

?tan?x+π??≠|tan x|,故π不是 y=|tan x|的周期. ? ? 2 ?? 2
(2)函数 y= |sin x|,y= |cos x|的周期分别是 y= sin x,y= cos x 的周期的一半,但这一规律对 y= |tan x|来讲是不成立的, 应结合周期函数的定义判断.

4.已知函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)(其 中a,b是常数,且b>a),试求f(x)的一个周期.
解:∵ f(a+ x)=f(a- x),f(b+x)= f(b-x), ∴ f[x+2(b-a)]= f[b+ (b+x-2a)] = f[b-(b+ x- 2a)] = f(2a- x) = f[a+(a- x)] = f[a-(a- x)] = f(x), 所以 f(x)是周期函数,且 2(b- a)是它的一个周期.

名师解题

分段函数的周期性问题

定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x), 当-3≤x< -1 时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)

337 . +f(3)+…+f(2 014)=________
[解析 ] ∵f(x+6)= f(x),∴T=6.

∵当-3≤x<- 1 时, f(x)=- (x+ 2)2;当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴ f(1)= 1, f(2)= 2, f(3)=f(- 3)=-1, f(4)= f(-2)= 0, f(5) = f(- 1)=-1,f(6)=f(0)=0, ∴ f(1)+ f(2)+ …+f(6)=1,

内部文件,请勿外传

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∴ f(1) + f(2) + … + f(6) = f(7) + f(8) + … + f(12) = …= f(2 005)+f(2 006)+ …+ f(2 010)=1, 2 010 ∴ f(1)+ f(2)+…+f(2 010)=1× = 335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(2)+(3)+ f(4)=2, ∴ f(1)+ f(2)+…+f(2 014)=335+2=337.
[名师点评] (1)正确理解题意,领会周期函数定义的实质, 从已知 f(x+ 6)= f(x)中发现 f(x)是周期为 6 的周期函数. (2)紧扣周期函数及分段函数的定义,合理转化,先求一个 周期内的函数值,从中发现规律. (3)将最末一项的自变量化为 kT+ b(b∈Z,T 为周期)的形 式,b 即为所剩项数.

第1章

三角函数

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栏目 导引


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