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2010--2011广东省高考数学模拟试题专题分类汇编---数列

2010--2011广东省高考数学模拟试题专题分类汇编---数列

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2010--2011 广东省高考数学模拟试题专题分类汇编 数列
一、选择题: 4. ( 广 东 省 惠 州 市 2010 届 高 三 第 三 次 调 研 理 科 ) 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为

Sn , 若a2 ? a8 ? a11 ? 30 ,那么 S13 值的是
A.130 B.65 C.70 D.以上都不对

( A



7. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科)设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 , 前 n 项和 为 S n ,则 A. 2 【答案】C

S4 ?( a2

) B. 4 C.

15 2

D.

17 2

4. ( 2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科)数列 {an } 是公差不为 0 的等差数列,且

a1 , a3 , a7 为等比数列 {bn } 的连续三项,则数列 {bn } 的公比为
A. 2 【答案】C 【 解 析 】 设 数 列 {an } 的 公 差 为 d ( d ? 0 ) , 由 a3 ? a1a7 得
2

B.4

C.2

D.

1 2

(a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 6d ) ? a1 ? 2d
故q ?

a3 a1 ? 2d 2a1 ? ? ? 2 ,选 C. a1 a1 a1

2. ( 2010 年广东省揭阳市高考一模试题文科)已知数列 {an } 是等比数列,且 a1 ?

1 , 8

a4 ? ?1 ,则 {an } 的公比 q 为
A.2 【答案】C 【解析】由 B.-

1 2

C.-2

D.

1 2

a4 ? q 3 ? ?8 ? q ? ?2 ,故选 C. a1

7. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科)甲、乙两间工厂
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的月产值在 08 年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值. 乙以后每个月比 前一个月增加产值的百分比相同.到 08 年 11 月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、 乙两间工厂 08 年 6 月份的月产值大小,则有( C A. 甲的产值小于乙的产值 C. 甲的产值大于乙的产值 ) B. 甲的产值等于乙的产值 D.不能确定

8. (2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题)如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼 兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端

1 ? n≥2 ? ,每个数是它下一行左右相邻两数[来源:] n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 的和,如 ? ? , ? ? , ? ? ,…, 1 2 2 2 3 6 3 4 12
的数均为 则第10行第4个数(从左往右数)为( B )

1 1260 1 C. 504
A.

1 840 1 D. 360
B.

10. (2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题)如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼 兹调和三角形”, 它们是由整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 下一行左右相邻两数 的和,如 ?

1 ? n≥2 ? ,每个数是它 n

1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? , ? ? , ? ? ,?, 2 2 2 3 6 3 4 12 1 105 1 D. 42
B.

则第7行第4个数(从左往右数)为( A )

1 140 1 C. 60
A.

6. (广东省深圳高级中学 2010 届高三一模理科)数列 {an } 前 n 项和为 S n ,已知 a1 ?

1 , 3

且对任意正整数 m, n ,都有 am? n ? am ? an ,若 Sn ? a 恒成立则实数 a 的最小值为( A )

1 A. 2

B.

2 3

C.

3 2

D.2

4.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知点 An ( n , an ) ( n ?N*) 都在函数 y ? a x ( a ? 0, a ? 1 )的图象上,则 a3 ? a7 与 2a5 的大小关系是( A )
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A. a3 ? a7 > 2a5 B. a3 ? a7 < 2a5 C. a3 ? a7 = 2a5 D. a3 ? a7 与 2a5 的大小与 a 有关 二、填空题:

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9. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) 为确保信息安全,信息需加密传输,发 送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则如图所示,例如, 明文 1, 2,3, 4 对应密文 5,7,18,16 . 当接收方收到密文 14,9, 23, 28 时, 则解密得 到的明文为 【答案】 6, 4,1, 7 【解析】 4d ? 28 ? d ? 7,2c ? 3d ? 23 ? c ? 1,2b ? c ? 9 ? b ? 4, a ? 2b ? 14 ? a ? 6 【考点定位】本题考查实际应用能力等数学基本能力。 【备考要点】复习时,要加强新的信息与创新题,高考中几乎年年必有。 .
开始 输入 a,b,c,d

m ? a ? 2b n ? 2b ? c p ? 2c ? 3d q ? 4d
输出 m,n,p,q

9. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科)在等比 数列 {an } 中,若 a1a2 a3 ? 2 , a2 a3a4 ? 16 , 则公比 q ? 2

结束 第 9 题图

9. (2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题)在等比数列 ? an ? 中, a1 ? 1 ,公比

q ? 2 ,若 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 127 ,则 n 的值为

7



9.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列 {a n } 的前 n 项和 为 S n ,若 S 9 ? 81 ,则 a 2 ? a5 ? a8 ? 27 . 三、解答题 21. (2010 年 3 月广东省广州市高三一模数学理科试题) (本小题满分 14 分) 设数列

? an ?

的 前 n 项 和 为 S n , 且 对 任 意 的 n ? N , 都 有 an ? 0 ,
*

S n ? a13 ? a23 ? ? ? an 3 .
(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式 an ; (3)证明: a2 n ?1≥a2 n ? a2 n ?1 .
n n n

21. (本小题满分 14 分)
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(本小题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识,考查化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:当 n ? 1 时,有 a1 ? S1 ? 由于 an ? 0 ,所以 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时,有 S 2 ?
3 3 3 a13 ? a2 ,即 a1 ? a2 ? a1 ? a2 ,

a13 ,

将 a1 ? 1 代入上式,由于 an ? 0 ,所以 a2 ? 2 .

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证明 2:要证 a2 n ?1≥a2 n ? a2 n ?1 ,
n n n

只需证 ? 2n ? 1? ≥ ? 2n ? ? ? 2n ? 1? ,
n n n

只需证 ? 1 ?

? ?

1 ? 1 ? ? ? ≥1 ? ?1 ? ? , 2n ? ? 2n ?
n n

n

n

1 ? ? 1 ? ? 只需证 ?1 ? ? ? ?1 ? ? ≥1 . ? 2n ? ? 2n ? 1 ? ? 1 ? ? 由于 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? 2n ? ? 2n ?
n n

2 3 2 3 ? ? ? 0 ? 1 ? 1 ? 2? 1 ? 3 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2? 1 ? 3 ? 1 ? ? ?C0 ? C ? C ? C ? ? ? C - C ? C - C ? ? n n? n? n? n n? n? n? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? 2n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 ? 1? 1 ? ? 3 ? 1 ? 5 ? 1 ? ? 2 ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n ? ? ? ?? ? 2n ? ? 2n ? ? ? ? ? 2n ? ? 5 ? ? 1 ?3 ? 5 ? 1 ? ? 1 ? 2 ? C3 ? C n? n? ? ? ? ?? ≥1 . ? 2n ? ? ? 2n ? ? ? ?

因此原不等式成立. 21. (2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题) (本小题满分14分) 已 知 数 列

? an ?

满 足 对 任 意 的 n?N

*

, 都 有 an ? 0 , 且

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2

a13 ? a23 ? ? ? an 3 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? .
(1)求 a1 , a2 的值; (2)求数列 ? an ? 的通项公式 an ; (3)设数列 ?

?

1 ? 1 ? 的前 n 项和为 S n ,不等式 Sn ? log a ?1 ? a ? 对任意的正整数 n 3 ? an an ? 2 ?

恒成立,求实 数 a 的取值范围. 21. (本小题满分14分) (本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以 及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:当 n ? 1 时,有 a1 ? a1 ,
3 2

由于 an ? 0 ,所以 a1 ? 1 .
3 3 当 n ? 2 时,有 a1 ? a2 ? ? a1 ? a2 ? , 2

将 a1 ? 1 代入上式,由于 an ? 0 ,所以 a2 ? 2 . (2)解:由于 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ,
3 3 3 2


2

则有 a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? .
3 3 3 3


2

②-①,得 an ?1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ,
3 2

由于 an ? 0 ,所以 an ?1 ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? ? an ?1 .
2

③ ④

同样有 an ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? ? an ? n≥2 ? ,
2

③-④,得 an ?1 ? an ? an ?1 ? an .
2 2

所以 an ?1 ? an ? 1 . 由于 a2 ? a1 ? 1 ,即当 n≥1 时都有 an ?1 ? an ? 1 ,所以数列 ? an ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. 故 an ? n .

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20. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研理科) (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 中,

a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? .[来源:]
(1)写出 a2、a3 的值(只写结果)并求出数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 1 1 1 ,若对任意的正整数 n ,当 m ? ? ?1,1? 时,不等 ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 an ?3 a2 n

式 t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,求实数 t 的取值范围。 6


20、解: (1)∵ a1 ? 2, an ? an?1 ? 2n ? 0 ? n ? 2, n ? N ? 分

a2 ? 6, a3 ? 12

?????2

当 n ? 2 时, an ? an ?1 ? 2n, an ?1 ? an ? 2 ? 2 ? n ? 1? , ???, a3 ? a2 ? 2 ? 3, a2 ? a1 ? 2 ? 2 , ∴

an ? a1 ? 2 ? ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2? ?,

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n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1?
???????5 分

∴ an ? 2 ? ? n ? ? n ? 1? ? ??? ? 3 ? 2 ? 1? ??2

当 n ? 1 时,a1 ? 1? ?1 ? 1? ? 2 也满足上式, ∴数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? n ? 1? ?6 分 (2) bn ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? an ?1 an ? 2 a2 n ? n ? 1?? n ? 2 ? ? n ? 2 ?? n ? 3? 2n ? 2n ? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2n ? 2n ? 1? ? n ? 1? ? n ? 2 ? ? n ? 2 ? ? n ? 3?

?

1 1 n 1 ???????8 分 ? ? 2 ? ? n ? 1? ? 2n ? 1? 2n ? 3n ? 1 (2n ? 1 ) ? 3 n 1 1 令 f ? x ? ? 2 x ? ? x ? 1? ,则 f ? ? x ? ? 2 ? 2 , 当 x ? 1时, f ? ? x ? ? 0 恒成立 x x ?


f ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上是增函数,故当 x ? 1 时, f ? x ? min ? f ?1? ? 3
即当 n ? 1 时,

(bn )max ?

1 6

?????11 分

要使对任意的正整数 n ,当 m ? ? ?1,1 ? 时,不等式 t 2 ? 2mt ?

1 ? bn 恒成立,则须使 6

t 2 ? 2mt ?
∴ 分 另解:

1 1 ? (bn )max ? ,即 t 2 ? 2mt ? 0, 对?m ? ? ?1,1? 恒成立 , 6 6
∴ 实数 t 的取值范围为 ? ??, ?2 ? ? ? 2, ??? ?14

?t 2 ? 2t ? 0 , 解得,t ? 2或t ? ?2 ? ?t2 ? 2t ? 0

bn ?1 ? bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? n?2 2 n ? 3 n ? 1 n2 ? 1n ? 2 n ?2 ? 1 n ? 2 n ? 3
2

?1 ? ?

1

3n ? 3 3n ? 4 ? 2 ?0 2n ? 5n ? 2 2n ? 5n ? 3 1 ∴ 数列 ?an ? 是单调递减数列,∴ (bn )max ? b1 ? 6 21. (广东省惠州市 2010 届高三第三次调研文科) (本小题满分 14 分) ?
函数 f (x) 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? (1)求 f ( ) 的值. (2) 数列{an} 满足:an = f (0) + f (

1 2

1 2

数列 ? an ? 是等差数列吗?请给予证明;
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1 2 n ?1 ) ? f ( ) ? ?? ? f ( ) ? f (1) , n n n

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(3)令 bn ?

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16 . n

4 4a n ? 1

2 2 2 2 , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn , S n ? 32 ?

试比较 Tn 与 S n 的大小.

所以 Tn

? S n ??????????????????????????14 分

21. (2010 年广东省揭阳市高考一模试题理科) (本题满分 14 分) 已知: x1 , x2 ( x1 ? x2 )是方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 的两根,且 yn ?
2

n? N? .
(1)求 y1 , y2 , y3 的值;

xn ?1 1 , xn ? 2 ? (5 ? ) xn ?1 . xn yn

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(2)设 zn ? yn yn ?1 ,求证:
?
n

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?z
i ?1

i

? 26n ;

(3)求证:对 ?n ? N 有 | y2 n ? yn |?
2

1 1 ? n?2 . 625 26
w。.w.

21.解: (1)解方程 x ? 6 x ? 5 ? 0 得 x1 ? 1 , x2 ? 5 ,---------------------------------------------1 分 ∴

y1 ?

x2 ? 5, ---------------------------------------------------------------------------------------------2 分 x1 x3 ? (5 ? 1 ) x2 ? 26 , y1
y2 ? x3 26 ? x2 5




------------------------------------------------------------------------------------------3 分

x4 ? (5 ?

1 ) x3 ? 135 y2

,



y3 ?

x4 135 ? ---------------------------------------------------------4 分 x3 26

(2)由 xn ? 2 ? (5 ? 即

x 1 1 ) xn ?1 得 n ? 2 ? 5 ? yn xn ?1 yn

yn ?1 ? 5 ?

1 ? yn?1 yn ? 5 yn ? 1 ----------------------------------------------------------------6 分 yn

当 n ? 2 时 yn ? 5 ,于是 z1 ? y1 y2 ? 26, zn ? yn yn ?1 = 5 yn ? 1 ? 26 ( n ? 2 ) ∴

?z
i ?1

n

i

? z1 ? z2 ? ? ? zn ? 26n --------------------------------------------------------------------9 分

(3) 当 n ? 1 时 | y2 ? y1 |? 分
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1 25 26 , 结论成立; ------------------------------------------10 ? ? 25 625 625

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当 n ? 2 时,有 | yn ?1 ? yn |?| 5 ?

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y ? yn ?1 1 1 1 ? (5 ? ) |?| n |? | yn ? yn ?1 | yn yn ?1 yn yn ?1 26

1 1 | yn ?1 ? yn ?2 | ? ? ? n ?1 | y2 ? y1 | = 2 26 26 1 1 ? n ?1 ----------------------------------------12 分 25 26
?
∵ | y2 n ? yn |?| y2 n ? y2 n ?1 ? y2 n ?1 ? y2 n ?2 ? y2 n ?2 ? ? ? yn ?1 ? yn | ∴ | y2 n ? yn |?| yn ?1 ? yn | ? ? ? | y2 n ?1 ? y2 n ?2 | ? | y2 n ? y2 n ?1 |

1 1 1 1 [ n ?1 ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n ?2 ] 25 26 26 26 1 1 (1 ? n ) 1 26n ?1 26 ? 26 ? 1 ? 1 ? 1 = ? 1 25 625 26n ?1 625 26n ?2 1? 26 ?
∴ 对

?n ? N ?



| y2 n ? yn |?

1 1 ? n?2 (n ? N ? ) ----------------------------------------------14 分 625 26

20. (本题满分 14 分) 已知曲线 C : xy ? 4 x ? 4 ? 0 ,数列 {an } 的首项 a1 ? 4 ,且当 n ? 2 时,点 (an ?1 , an ) 恒 在曲线 C 上,数列 {bn } 满足 bn ?
1 . 2 ? an

(1)试判断数列 {bn } 是否是等差数列?并说明理由; (2)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; 2 (3)设数列 {cn } 满足 an bn cn ? 1 ,试比较数列 {cn } 的前 n 项和 S n 与 2 的大小. 20.解: (1)∵当 n ? 2 时,点 (an ?1 , an ) 恒在曲线 C 上 ∴ an ?1an ? 4an ?1 ? 4 ? 0 -----------------------------------------------1 分 由 bn ?
1 得 2 ? an

当 n ? 2 时, bn ? bn ?1 ?

an ? an ?1 1 1 ? ? 2 ? an 2 ? an ?1 4 ? 2an ?1 ? 2an ? an an ?1
an ? an ?1 4 ? 2an ?1 ? 2an ? 4an ?1 ? 4

?

?

an ? an ?1 1 ? ? ----5 分 ?2an ? 2an ?1 2

∴数列 {bn } 是公差为 ?

1 的等差数列.-------------------------------------------------------6 分 2

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(2)∵ a1 =4,∴ b1 ?
1 1 ?? 2 ? a1 2

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1 1 1 ∴ bn ? ? ? (n ? 1) ? (? ) ? ? n -----------------------------------8 分 2 2 2
由 bn ?

1 得 an ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 -----------------------------------------------10 分 2 ? an bn n
∴ cn ?

1 2 1 1 = 2( ? ? ) ----------------------12 分 2 anbn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 ∴ Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2 -----14 分 )] ? 2(1 ? n ?1 2 2 3 n n ?1
(3)∵ an bn cn ? 1
2

18. (广东省佛山市顺德区 2010 年 4 月普通高中毕业班质量检测试题理科) (本小题满分 14 分)在等差数列 {an } 中,设 S n 为它的前 n 项和,若 S15 ? 0, S16 ? 0, 且点 A(3,a3 )与

B (5, a5 ) 都在斜率为-2 的直线 l 上,
(Ⅰ)求 a1 的取值范围; (Ⅱ)指出

S S1 S 2 , ,? , 15 中哪个值最大,并说明理由. a1 a2 a15

18.解(Ⅰ)由已知可得

a5 ? a3 ? ?2 ,则公差 d ? ?2 , …………………2 分 5?3

15 ?14 ? S15 ? 15a1 ? ? d ? 15(a1 ? 14) ? 0 ? ? 2 ?? ?? 14 ? a1 ? 15 …………………7 分 ? S ? 16a ? 16 ?15 ? d ? 16(a ? 15) ? 0 16 1 1 ? ? 2
(Ⅱ)最大的值是

S8 a8

…………………8 分

? S15 ? 15a8 ? 0 ? a8 ? 0, a9 ? 0
又当 1 ? i ? 8 时,

S1 6 ? 8 (a 8 ? a 9) ? 0
即 S8 最大

…………………10 分 …………………11 分

Si S ? 0 ;当 9 ? i ? 15 时, i ? 0 ,数列 {an } 递减…………………13 分 ai ai

所以,

S S S S S1 S2 ? ? ? ? 8 ? 9 ? ??? ? 15 ? 8 最大…………………14 分 a1 a2 a8 a9 a15 a8

20 . ( 广 东 省 深 圳 高 级 中 学 2010 届 高 三 一 模 理 科 ) ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 已知 函数

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f ( x) ? x 2 ? 2 x .

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(Ⅰ)数列 {an }满足 : a1 ? 1, an ?1 ? f ?(an ), 求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅱ)已知数列 {bn }满足b1 ? t ? 0, bn ?1 ? f (bn )(n ? N *) ,求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅲ) 设 cn ?

bn ? 1 若不等式 ? ? S n 对所有的正整数 n 恒成立, , 数列{cn } 的前 n 项和为 Sn, bn ?1

求 ? 的取值范围。

20、(本小题满分 14 分)
解: (I) f ?( x) ? 2 x ? 2 ,???1 分

? an?1 ? 2an ? 2

? an?1 ? 2 ? 2 a (n ? 2 )
? an ? 3 ? 2n?1 ? 2 …………4

{an ? 2}为等比数列,? an ? 2 ? (a1 ? 2)2n ?1


(Ⅱ)由已知得 bn ? 0 , bn ?1 ? 1 ? (bn ? 1) 2 , ??1 分? lg(bn?1 ? 1) ? 2lg(bn ? 1),

(1 ? 1 ?) ∴ 又 l gb
n?1

tl ? g ( ? 1 )所 以 0 ,{ l gb( n ?

1的 ) }公 比 为 2 的 等 比 数 列 , ∴

bn ? (t ? 1) 2 ? 1 。………8 分
( Ⅲ )

? ck ?1 ? bk2 ? 2bk , ? bk ? 2 ?

bk ?1 b ? 1 (bk ? 2) ? 1 1 1 , ? ? ? , ck ? k bk ?1 bk ?1 bk bk ?1 bk

k ? 1,2,?, n

? Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ) ? ( ? ) ??? ( ? )? ? n t (t ? 1) 2 ? 1 b1 b2 b2 b3 bn bn ?1

? t ? 0, ?t ? 1 ? 1, ? Sn在n ? [1, ??) 上是增函数

1 1 t ?1 ? Sn ? S 1 ? ? ? 2 , 2 t (t ? 1) ? 1 t ? 2t
?? ? t ?1 , t ? 2t
2

又不等式 ? ? S n 对所有的正整数 n 恒成立,

故 ? 的取值范围是 (??,

t ?1 ) ????14 分 t ? 2t
2

21.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)(本小题满分 14 分) 在 单 调 递 增 数 列 {a n } 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 且 a 2 n ?1 , a 2 n , a 2 n ?1 成 等 差 数 列 ,
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a 2 n , a 2 n ?1 , a 2 n ? 2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?. a a a a (1)分别计算 3 , 5 和 4 , 6 的值; a1 a 3 a 2 a 4 (2)求数列 {a n } 的通项公式(将 a n 用 n 表示) ; 1 4n (3)设数列 { } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? , n ? N* . an n?2
解: (1)由已知,得 a3 ? 2a 2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 , a 4 ?
2 a3 32 9 ? ? , a2 2 2

a 5 ? 2a 4 ? a 3 ? 2 ?
a6 ?
2 a5 62 ? ? 8. 9 a4 2

9 ?3?6 2
??????????2 分



(2) (法 1)∵ a2n?1 , a2n , a2n?1 成等差数列,∴ a2n?1 ? 2a2n ? a2n?1 , n ? 1 , 2 , 3 , ? ; ∵ a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列,∴ a 2 n ? 2 ? 又
2 a2 n ?1 , n ?1, 2 , 3,? . a2n

a3 3 a 5 4 a 7 5 a 9 a 16 a 25 ? , ? , ? ,……; 4 ? , 6 ? , 8 ? ,…… a1 1 a 3 2 a 5 3 a2 4 a4 9 a 6 16
猜 想



a 2 n ?1 n ? 2 ? a 2 n ?1 n



a 2n?2 ? n ? 2 ? ?? ? a2n ? n ?1 ?

2



n ? N* ,

??????????4 分 以下用数学归纳法证明之.

a a 3 1 ? 2 a 2?1? 2 a 4 9 ? 1 ? 2 ? ? ? ?? ①当 n ? 1时, 2?1?1 ? 3 ? ? , ? ,猜想成立; a 2?1 a2 4 ? 1 ? 1 ? a 2?1?1 a1 1 1
②假设 n ? k (k ? 1) 时,猜想成立,即

2

a 2 k ?1 k ? 2 a 2 k ? 2 ? k ? 2 ? ?? ? , ? , a2k a 2 k ?1 k ? k ?1 ?

2

2 a2 2 ? k ?1 ? a 2 k ?1 a 2a 2 k ? 2 ? a 2 k ?1 a2k 2a ? ? 2 k ?1 ? 1 那么 2 k ? 3 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 a 2 k ?1 a2k a k?2 4 ? 2 k ?1 4? 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 k ?1 ? ?1 ? ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 k?2 1? 1? k 2 a 2 k ?1 2(k ? 2) (k ? 1) ? 2 , ? ?1 ? k ?1 k ?1

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a2k ?4 a2k ?2
2 a2 k ?3 a 2 k ? 2 ? a 2 k ?3 ? ?? a2k ?2 ? ? a2k ?2 2

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2

? ? 2a 2 k ? 2 ? a 2 k ?1 ? ? ? ? ?? ? ? a2k ?2 ? ? ?

? 2a 2 k ? 2 ? a 2 k a 2 k ? 2 ?? ? a2k ?2 ?
2

? ? ? ?

2

? a2k ?2 ? ?2 ?1? a2k ? ? ?? ? a2k ?2 ? ? ? ? a2k ? ?

2

k?2 ? ? 2 ?1? ? 2? ? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1 ? ?? . ?? k?2 (k ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? k ?1 ? ?
∴ n ? k ? 1时,猜想也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,猜想成立. ∴ ?????6 分

a3 a5 a7 a a ? ? ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3 3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) , ? 1? ? ? ? ?? ? ? 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 a a a a a2n ? a2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ? ? 2n a2 a4 a6 a 2n?2 a 2 n ?1 ? a1 ?
(n ? 1) 2 ?3? ?4? ?5? ? n ? 1? . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 ?2? ?3? ?4? ? n ?
???8 分
2 2 2 2

a2n

a 2 n ?1 n ? 2 ? , n ? N* , a 2 n ?1 n n(n ? 1) 则 由 a2 n ?1 ? 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? a ? a 2 n?1 (n ? 1) 2 2 2 ; ? 2 n?1 ? ? 2 2 2 2 a 2n?2 ? n ? 2 ? ?? 如果用数学归纳法仅证明 ? , n ? N* , a2n ? n ?1 ?
(注:如果用数学归纳法仅证明了 则 由





a2n ?

(n ? 1) 2 2





(n ? 1) 2 (n ? 2) 2 (n ? 1)( n ? 2) ? ? , 2 2 2 1 ? (1 ? 1) n(n ? 1) 又 a1 ? 1 ? 也适合,∴ a 2 n ?1 ? . ) 2 2 a 2 n ?1 ? a 2 n a 2 n ? 2 ?

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n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1)( n ? 3) ; ∴当 n 为奇数时, a n ? 2 8 2 ?n ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) . 当 n 为偶数时, a n ? 2 8 ? (n ? 1)( n ? 3) , n为奇数 ? ? 8 即数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ? . ???9 分 2 ? ( n ? 2) , n为偶数 ? ? 8 7 ? (?1) n 1 2 1 (注:通项公式也可以写成 a n ? n ? n ? ) 8 2 16 a (法 2)令 bn ? 2 n ?1 , n ? N* ,则 a 2 n ?1
2 a2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?3 2a 2 k ? 2 ? a 2 k ?1 a2k 2a ? ? ? ? 2 k ?1 ? 1 a 2 k ?1 a 2 k ?1 a 2 k ?1 a2k a 4 ? 2 k ?1 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 4bn ? ?1 ? ?1 ? ? 1. a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 1 ? bn 1? 2 a 2 k ?1

2?

bn ?1

2(bn ? 1) (b ? 1) ? 2 1 1 1 ? n ? ? , . 1 ? bn bn ?1 ? 1 2(bn ? 1) 2 bn ? 1 1 1 1 1 1 从而 , n ? N* ,又 ? ? (常数) ? , bn ?1 ? 1 bn ? 1 2 b1 ? 1 2 1 1 1 1 n 1 1 故{ } 是首项为 ,公差为 的等差数列,∴ ? ? (n ? 1) ? ? , bn ? 1 bn ? 1 2 2 2 2 2 a 2 n ?1 n ? 2 n?2 ? 解 之 , 得 , 即 , bn ? a 2 n ?1 n n ??????????6 分 n ? N* . a a a a a ∴ a 2 n ?1 ? a1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3 3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) , ? 1? ? ? ? ?? ? ? 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 n(n ? 1) (n ? 1)( n ? 2) ? a 2 n?1 ? a 2 n?1 (n ? 1) 2 2 2 从 而 a2n ? .( 余 同 法 ? ? 2 2 2
∴ bn ?1 ? 1 ? 1)????????8 分 (注:本小题解法中,也可以令 bn ?

a2n?2 a ,或令 bn ? 2 n ,余下解法与法 2 类似) a2n a 2 n ?1

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8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)( n ? 3) (3) (法 1)由(2) ,得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? ( n ? 2) 1 4 4 ?1 显然, S1 ? ; ???????10 分 ?1? ? a1 3 1? 2

②假设 n ? k (k ? 2) 时,不等式成立,即 S k ? 那么,当 k 为奇数时,

4k , k?2

S k ?1 ? S k ?

1 a k ?1

?

4k 8 ? k ? 2 (k ? 3) 2

?

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 4(k ? 1) ? 4? ? ? ? ? ; ?? 2 2 k ?3 k ? 3? k ?3 (k ? 2)( k ? 3) (k ? 1) ? 2 ? k ? 2 (k ? 3)

当 k 为偶数时,
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S k ?1 ? S k ? 1 a k ?1 ?

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4k 8 ? k ? 2 (k ? 2)( k ? 4)

? k 4(k ? 1) 2 k ? 1 ? 4(k ? 1) 8 ? 4? ? ? ? ? ? k ?3 k ?3 (k ? 2)( k ? 3)( k ? 4) ? k ? 2 (k ? 2)( k ? 4) k ? 3 ? 4(k ? 1) . ? (k ? 1) ? 2 ?
∴ n ? k ? 1时,不等式也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,不等式 S n ?

4n 成立.??14 分 n?2

说明:本题主要考查等差数列、等比数列、递推数列的有关概念,考查归纳推理、数学归纳 法、分类讨论、不等式的放缩、差分、累积等重要数学思想方法,并对学生的创新意 识、推理论证能力、运算求解能力进行了考查. 20.(2010 年 3 月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)(本题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足: a1 ? 1 ,且对任意 n ?N*都有

1 a1

?

1 a2

???

1 an

?

1 2 a n a n ?1



(Ⅰ)求 a 2 , a 3 的值; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式; (Ⅲ)证明: a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 =

a n ?1 ( n ?N*) . an

解: (Ⅰ)由已知,

1 a1
?

?
1 a2

1 2 a1 a 2
? 1

得 a2 ?

1 4
1 9
??????? 2分

1 a1
(Ⅱ)当 n ? 2 时,

2 a 2 a3

得 a3 ?

1 a1
1 a1

?

1 a2
1 a2

???

1 an
1 a n ?1

?

1 2 a n a n ?1
1 2 a n ?1 a n



?

???

?



① ②得:

1 an

?

1 2 a n a n ?1

?

1 2 a n ?1 a n

??????? 4 分

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