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含参数的一元二次不等式的解法(专题)

含参数的一元二次不等式的解法(专题)

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一、含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参一元 二次不等式常用的分类方法有三种:

一、按 x 2 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;

例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0
分析:

练 解不等式 ax2 ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0?
二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 2 解不等式 x2 ? ax ? 4 ? 0
? ? 练 解不等式 m2 ? 1 x2 ? 4x ? 1 ? 0?m ? R?
三、按方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的根 x1 , x2 的大小来分类,即 x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ; 例 3 解不等式 x2 ? (a ? 1 )x ?1 ? 0 (a ? 0) a
练 解不等式 x2 ? 5ax ? 6a2 ? 0 , a ? 0 四、(1)解关于 x 的不等式: x2 ? (a ? 2)x ? a ? 0.
(2)解关于 x 的不等式: ax2 ? (a ? 1)x ? 1 ? 0. (3)解关于 x 的不等式: ax2 ? ax ?1 ? 0.

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(1)解: x2 ? (a ? 2)x ? a ? 0

(?)

? ? ?a ? 2?2 ? 4a ? 0 ? a ? 4 ? 2 3或a ? 4 ? 2 3 ,

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此时两根为 x1 ? (2 ? a) ?

?a
2

? 2?2

? 4a



x2

?

(2 ? a) ?

?a ? 2?2 ? 4a .
2

(1)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, (2 ? a) ?

a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? )? (

a 2 ? 8a ? 4 ,?? );

2

2

(2)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, 3 ? 1) ? ( 3 ? 1,?? );

(3)当 4 ? 2 3 ? a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为 R ;

(4)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?,? 3 ? 1 ) ? ( ? 3 ? 1,?? );

(5)当 a ? 4 ? 2 3 时, ? ? 0 , (?) 解集为( ? ?, (2 ? a) ?

a 2 ? 8a ? 4 (2 ? a) ? )? (

a 2 ? 8a ? 4 ,?? ).

2

2

(2)解:若 a ? 0 ,原不等式 ? ?x ?1 ? 0 ? x ? 1.

若 a ? 0,原不等式 ? (x ? 1 )(x ?1) ? 0 ? x ? 1 或 x ? 1.

a

a

若 a ? 0 ,原不等式 ? (x ? 1 )(x ?1) ? 0.

(?)

a

其解的情况应由 1 与 1 的大小关系决定,故 a

(1)当 a ? 1 时,式 (?) 的解集为? ;

(2)当 a ? 1 时,式 (?) ? 1 ? x ? 1; a
(3)当 0 ? a ? 1时,式 (?) ? 1 ? x ? 1 . a

综上所述,当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1 或x ? 1 };当 a ? 0 时,解集为{ x x ? 1 };当 0 ? a ? 1 时,解集为 a

{ x1 ? x ? 1 };当 a ? 1 时,解集为? ;当 a ? 1 时,解集为{ x 1 ? x ? 1}.

a

a

(3) 解: ax2 ? ax ?1 ? 0.

(?)

(1) a ? 0 时, (?) ? ?1 ? 0 ? x ? R.

(2) a ? 0 时,则 ? ? a2 ? 4a ? 0 ? a ? 0 或 a ? ?4 ,

此时两根为 x1

?

?a?

a2 2a

? 4a

, x2

?

?a?

a2 2a

? 4a

.

①当 a ? 0 时, ? ? 0 ,? (?) ? ? a ? a 2 ? 4a ? x ? ? a ? a 2 ? 4a ;

2a

2a

②当 ? 4 ? a ? 0 时, ? ? 0 ,?(?) ? x ? R ;

③当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,?(?) ? x ? R且x ? ? 1 ; 2

④当 a ? ?4 时, ? ? 0 ,? (?) ? x ? ? a ?

a2 ? 4a 或 x ? ? a ?

a2 ? 4a
.

2a

2a

综上,可知当 a ? 0 时,解集为( ? a ?

a2 ? 4a ? a ?
,

a 2 ? 4a );

2a

2a

当 ? 4 ? a ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 时,解集为( ? ?,? 1 ) ? ( ? 1 ,?? );

2

2

当 a ? ?4 时,解集为( ? ?, ? a ?

a2 ? 4a ? a ? )? (

a 2 ? 4a ,?? ).

2a

2a

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