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2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学业分层测评

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1第1课时圆的标准方程学业分层测评

2.2.1 第 1 课时 圆的标准方程
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.以 A(1,2),B(3,0)的中点为圆心,以 5为半径的圆的方程为________. 【解析】 AB 中点为(2,1),所以圆的方程为(x-2) +(y-1) =5. 【答案】 (x-2) +(y-1) =5 2.点 P(-2,-2)和圆 x +y =4 的位置关系是________. 【解析】 ∵(-2) +(-2) =8>4, ∴P 点在圆外. 【答案】 P 在圆外 3.若圆 C 的半径为 1,其圆心与点(1,0)关于直线 y=x 对称,则圆 C 的标准方程为 ________. 【解析】 由题意知圆 C 的圆心为(0,1),半径为 1,所以圆 C 的标准方程为 x +(y- 1) =1. 【答案】 x +(y-1) =1 4.圆(x+2) +y =5 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为________. 【解析】 已知圆的圆心为(-2,0),它关于 P(0,0)的对称点为(2,0),所以关于 P 对 称的圆的方程为(x-2) +y =5. 【答案】 (x-2) +y =5 5.直线 y=ax+1 与圆 x +y -2x-3=0 的位置关系是__________. 【导学号:41292099】 【解析】 ∵直线 y=ax+1 恒过定点(0,1),又点(0,1)在圆(x-1) +y =4 的内部, 故直线与圆相交. 【答案】 相交 6.若过点 A(a,a)可作圆 x +y -2ax+a +2a-3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范 围为__________. 【解析】 圆的方程化为(x-a) +y =3-2a, ∵过点 A(a,a)可作圆的两条切线, ∴点 A(a,a)在圆外,
?3-2a>0, ? 可得? 2 ? ?a >3-2a,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 解得 a<-3 或 1<a< . 2

? 3? 【答案】 (-∞,-3)∪?1, ? ? 2?
1

7.已知一圆的圆心为点 A(2,-3),一条直径的端点分别在 x 轴和 y 轴上,则圆的方 程是________________. 【解析】 设直线端点为 B(x0,0),C(0,y0), 则

x0+0

0+y0 =2,∴x0=4, =-3,∴y0=-6, 2 2

r= ?4-2?2+?0+3?2= 13,
∴圆的方程为(x-2) +(y+3) =13. 【答案】 (x-2) +(y+3) =13 8.已知圆 C1:(x-2) +(y-3) =1,圆 C2:(x-3) +(y-4) =9,M,N 分别是圆 C1,
2 2 2 2 2 2 2 2

C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为________.
【解析】 设 P(x,0),设 C1(2,3)关于 x 轴的对称点为 C1′(2,-3), 那么|PC1|+|PC2|=|PC1′|+|PC2|≥|C′1C2|= ?2-3? +?-3-4? =5 2. 而|PM|=|PC1|-1,|PN|=|PC2|-3, ∴|PM|+|PN|=|PC1|+|PC2|-4≥5 2-4. 【答案】 5 2-4 二、解答题 9.已知平面直角坐标系中有四个点 A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),这四个点能 否在同一个圆上?为什么? 【解】 设经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0). 代入三点的坐标得
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a +?b-1? =r , ? ? 2 2 2 ??a-2? +?b-1? =r , ? ??a-3?2+?b-4?2=r2, a=1, ? ? 解方程组,得?b=3, ? ?r2=5,
所以经过 A,B,C 三点的圆的标准方程为(x-1) +(y-3) =5. 将 D 点坐标代入圆的标准方程的左边, 得(-1-1) +(2-3) =5,所以点 D 在圆上,所以 A,B,C,D 四点在同一个圆上. 10.如图 2-2-2 所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构 成.已知隧道总宽度 AD 为 6 3 m,行车道总宽度 BC 为 2 11 m,侧墙 EA,FD 高为 2 m,弧 顶高 MN 为 5 m.
2 2 2 2

2

2

2

2

图 2-2-2 (1)建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至 少要有 0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少. 【解】 (1)法一 建立直角坐标系.(略) 则有 E(-3 3,0),F(3 3,0),M(0,3). 由于所求圆的圆心在 y 轴上,所以设圆的方程为(x-0) +(y-b) =r , ∵F(3 3,0),M(0,3)都在圆上,
2 2 2

以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度

??3 3? +b =r , ∴? 2 ?0 +?3-b?2=r2,
2 2 2

解得 b=-3,r =36. 所以圆的方程是 x +(y+3) =36. 法二 以 EF 所在直线为 x 轴,以 MN 所在直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角坐标 系(略).设所求圆的圆心为 G,半径为 r,则点 G 在 y 轴上, 在 Rt△GOE 中,|OE|=3 3,|GE|=r,|OG|=r-3, 由勾股定理,r =(3 3) +(r-3) ,解得 r=6, 则圆心 G 的坐标为(0,-3), 圆的方程是 x +(y+3) =36. (2)设限高为 h,作 CP⊥AD,交圆弧于点 P(略), 则|CP|=h+0.5. 将点 P 的横坐标 x= 11代入圆的方程,得 11 +(y+3) =36,解得 y=2,或 y=- 8(舍). 所以 h=|CP|-0.5=(y+|DF|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5(m). 即车辆的限制高度为 3.5 m. [能力提升] 1.已知三点 A(1,0),B(0, 3),C(2, 3),则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 ________. 【解析】 在坐标系中画出△ABC(如图), 利用两点间的距离公式可得|AB|=|AC|=|BC| =2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC 为等边三角形.设 BC 的中点为 D,点 E 为
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

3

2 2 3 2 2 外心, 同时也是重心. 所以|AE|= |AD|= , 从而|OE|= |OA| +|AE| = 3 3

4 21 1+ = . 3 3

【答案】

21 3

2. 若圆 C 经过(1,0), (3,0)两点,且与 y 轴相切, 则圆 C 的方程为__________________. 【导学号:41292100】 【解析】
2 2 2

设 圆 C 的 方 程 为 (x - a) + (y - b) = r (r>0) , 由 题 意 得

2

2

2

?1-a? +b =r , ? ? 2 2 2 ??3-a? +b =r , ? ?|a|=r,

?a=2, 解得?b=± 3, ?r=2,
2

∴圆 C 的方程为(x-2) +(y± 3) =4.

2

2

【答案】 (x-2) +(y± 3) =4 3.已知实数 x,y 满足 y= 9-x ,则 t=
2 2

2

y+3 的取值范围是___________. x+1

【解析】 y= 9-x 表示上半圆,t 可以看作动点(x,y)与定点(-1,-3)连线的斜 率.

3 3 如图,A(-1,-3),B(3,0),C(-3,0),则 kAB= ,kAC=- , 4 2 3 3 ∴t≤- 或 t≥ . 2 4 3 3 【答案】 t≤- 或 t≥ 2 4 4.已知实数 x,y 满足方程(x-2) +y =3. (1)求 的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值;
4
2 2

y x

(3)求 x +y 的最大值和最小值. 【解】 (1)原方程表示以点(2,0)为圆心,以 3为半径的圆,设 =k,即 y=kx, |2k-0| 当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值和最小值, 此时 = 3, 解得 k=± 3. k2+1 故 的最大值为 3,最小值为- 3. (2)设 y-x=b,即 y=x+b, 当 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取最大值和最小值, |2-0+b| 此时 = 3,即 b=-2± 6. 2 故 y-x 的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6. (3)x +y 表示圆上的点与原点距离的平方,由平面几何知识知,它在原点与圆心所在 直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值,又圆心到原点的距离为 2, 故(x +y )max=(2+ 3) =7+4 3, (x +y )min=(2- 3) =7-4 3.
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

y x

y x

5


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