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二面角的向量求法

二面角的向量求法

漫谈向量法求解二面角
台山华侨中学 梁剑平 向量在数学和物理学中的应用很广泛,在解析几何与立体几何里的应用更为 直接,用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入,立体几何的解题更加灵活多样,这为那些空 间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几 计算和一些证明的问题,尤其在求点面距离、空间的角(斜线与平面所成的角和 二面角)时,法向量有着它独有的优势,以下举例全面剖析在立几中如何用法向 量求二面角。

一. 利用法向量求二面角的大小的原理:



n1 , n2 分别为平面? , ? 的法向量,二面角? ? l ? ? 的大小为? ,向量

n1 , n2 的夹角为? ,则有? ? ? ? ? (图 1)或 ? ? ? (图 2)

α

l

θ

n2 ? ω n1

β

图1

基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二

面角的平面角.

二. 如何求平面的一个法向量:

例题 1: 如图 3,在正方体 ABCD-A1B!C1D1 中 G、E、F 分别

为 AA1、AB、BC 的中点,求平面 GEF 的法向量。

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

α

l

θ

x

? n1

β

n2

1
A

1

G

A

z

D

D



3

E

图2

1
B

1

B

1

F

C

C

y

略解:以 D 为原点建立右手空间直角坐标系,则 E(1, 1 ,0) 、F( 1 ,1,0) 、

G(1,0, 1 )由此得: GE ? (0, 1 ,? 1) FE ? ( 1 ,? 1 0)

2

设平面的法向量为 n ? (x, y, z)

由 n ? GE 及 n ? FE 可得

???n ? ???n

? ?

GE FE

? ?

1 2 1 2

y? x?

1 2 1 2

z y

令 y=1 取平面的一个法向量为 n ? (1,1,1)

? ?

0 0

?

22

?x ??z

? ?

y y

评析 因为平面的法向量有无数个,方向可上可下,模可大可小,我们只 要求出平面的某一个法向量(教简单的)即可。

三. 法向量的应用举例:

例题 4. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BC=4,AA1=2,点 Q 是 BC 的

中点,求此时二面角 A—A1D—Q 的大小.

解 如图 2,建立空间直角坐标系. 依题意:A1(0,0,2),D(0,a,0). ∴Q(2,2,0),D(0,4,0), ∴ A1Q ? (2,2,?2), QD ? (?2,20) . 面 AA1D 的法向量 n1 ? (1,0,0) . 设面 A1DQ 的法向量 n2 ? (a1 , a2 , a3 ) ,

则 ???n2 ??n2

? A1Q ? 2a1 ? 2a2 ? 2a3 ? QD ? ?2a1 ? 2a2 ? 0,

∴ n2 ? (a1 , a1 ,2a1 ) .

令 a1=1,则 n2 ? (1,1,2) ,

?

0,

?

?a ?

?a3

2

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

? ?

22

a1 , 2a1 ,

2

z D1
A1
y D O(A)

2

图4

C1 B1

B

C Q

2

x

∴ cos ? n1 , n2

?二面角的平面角为锐角

??

n1 ? n2 n1 n2

∴二面角 A—A1D—Q 的大小为 arccos

?

1 1?

6

?

6.
6

评析(1)用法向量的方法处理二面角的问题时,将传统求二面角问题时的

三步曲:“找——证——求”直接简化成了一步曲:“计算”,这在一定程度上

降低了学生的空间想象能力,达到不用作图就可以直接计算的目的,更加注重对学

生创新能力的培养,体现了教育改革的精神。

(2)此法在处理二面角问题时,可能会遇到二面角的具体大小问题,如本题

中若令 a1 ? ?1 ,则 n2 ? (?1,?1,?2) ,∴ cos ? n1 , n2 ?? ?

的大小

是 ? n1 , n2 ? ? ? ? arccos

6 的补角 arccos
6

意直观判断一下所求二面角的大小,然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

例5

6 6



6 6

,∴二面角

6 。所以在计算之前不妨先依题
6

如图 5,在底面是直角梯形的四棱锥 S—ABCD 中,

AD//BC,∠ABC=900,SA⊥面 ABCD,SA= 1 ,AB=BC=1,AD= 1 。

SCD 与面 SBA 所成的二面角的大小。

解: 以 A 为原点如图建立空间直角坐标系,

则 S(0,0, 1 ), A(0,0,0), 2

B(0,1,0),C(1,1,0),

D( 1 ,0,0), 2

∴ SA ? (0, 0, ? 1), 2

SD ? ( 1 , 0, ? 1 ),

2

2

SB ? (0, 1, ? 1) 2
SC ? (1, 1, ? 1 ) , 2

显然平面 SBA 的一个法向量为 n1 =(1,0,0),

设平面 SCD 的一个法向量为 n2 =(x,y,z),则 n2 ⊥平面 SCD

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

2

x

D

z S

A

2

图5

A—A1D—Q

求侧面

C

B

3

y



则 cos

?????nn22

?

? ?

n1, n2

SD SC

? ?

??

0 0

|

?

n1 ? n2 n1 | | n2

? ??2

x

|

x ?

?

?z 2y

1? 2 1? 3

? ?

0 z?

?

2 3

0

取z ? 2, 则n2

评析:(1)因为所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法

求二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势;(2)但判断侧面

SCD 与面 SBA 所成的二面角的平面角是锐角还是钝角时,图形的直观性就不明

显了,当不能很好地判断所求的二面角的类型时,以下给出解决方案。

四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求

解二面角.

原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系:

如上图 6 所示,当我们把法向量控制成“一进一出”,

此时两法向量在三个坐标平面 xoy, yoz, xoz 的投影也 ?? ???
可以看成是“一进一出”,这时不难得出 n1, n2 的夹角

就是二面角的大小,反之就不是。

其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想

要的“向上或向下”,“向后或向前”,“向左或向右”呢?

? 如图 7 所示:平面 ABC 的法向量 n

?

若要法向量 n 的方向“向上”,可设 n = (x, y,1) 或

?

n = (x, y, z0 ) ,其中 z0 >0;若要法向量 n 的方向

?

“向前”,可设 n = (1, y, z) 或 n = (x0 , y, z) ,其中

?

x0 ? 0 ;若要法向量 n 的方向“向右”,可设 n =

? (x,1, y) 或 n = (x, y0 , z) ,其中 y0 ? 0

所以,只要我们判断两个法向量的方向是

“一进一出”,那么所求的二面角的平面角就等

于两法向量的夹角,如果是“同进同出”, 那么

?

?

?

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

?

? (2, ?1,2)

xB

z

A

o

图7

?? n1 ??? n2
图6
? n

4

C

y

所求的二面角的平面角就等于两法向量的夹角的补角,掌握了这点,那么用法向 量求二面角就可以做到随心所欲。

例题 6 改编自 2007 年福建高考题 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1B ? C1 的大小;

解:(Ⅰ). ???? ????? ????
取 B1C1 中点 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x,y, z 轴的正方向建立

空间直角坐标系.

解略

(Ⅱ)设平面 AA1B 的法向量为 n ? (x,y, z) . ????
AB ? (1,0,? 3) , AA1 ? (0,2 ,0) .

? n ? AB, n ? AA1

?

??n ?

?

AA1

?

2y

??n ? AB ? x ? 3z1 ? 0

?

0

令 z ? 1,得平面 A1AD 的一个法向量 n ? ( 3,0,1)

设平面 A1BC1的法向量为 v ? (a,b, c) .

BA1 ? (?1,2, 3) , BC1 ? (?2,2,0) .

? v ? BA1, v ? BC1

?

??n ?

?

BA1

?

?a

??n ? BC1 ? ?2a ? 2b ? 0

?

2b

?

3c ? 0

令 a ? ?1,得平面 A1BC1的一个法向量 v ? (?1,1,? 3)

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

A
C B

z A
C O B x

D

B1

F D
B1

A1

C1

5

A1

C1
y

cos ? n, v ?? n ? v ? ? 2 3 ? ? 15

n v 2? 5

5

所求的二面角的平面角是? ? arccos 15 5
评析 上题中的两个平面的法向量是符合“一进一出”的,所以它们的夹角 就等于所求的二面角的大小。可见通过判断法向量的方向,就可以解决直观不能 判断二面角的锐或钝的情况。
将向量引入中学数学后,既丰富了中学数学内容,拓宽了中学生的视野;也 为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法,而在利用法向量求二面角的过 程中,若能巧设法向量,则能使解题过程更加简洁明快,进一步优化。

对全部高中资料试卷电气设备,在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验;通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关,通系电1,力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配,机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2,下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷,32调需3各控要类试在管验最路;大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷,下安要与全加过,强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中;中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整,理核或高对者中定对资值某料,些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒,卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置,接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资,,料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气,敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术,技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方;资式对料,整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资,课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试,且技合进术理行,利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。:对对在于于分调差线试动盒过保处程护,中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技,,术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板,变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生;握内同图部一纸故线资障槽料时内、,设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷,试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高,技中要术资进资料行料试检,卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况,然后根据规范与规程规定,制定设备调试高中资料试卷方案。

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