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【线性代数】 向量的内积_图文

【线性代数】  向量的内积_图文

线性代数(同济大学第六版)
§4.1 方阵的特征值与特征向量

主要内容

向量的内积 史密斯特正交化 正交矩阵

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

§5.1 向量的内积、长度与正交性

一. Rn中向量的内积, 长度和夹角 1. 设? =(a1, a2, …, an)T, ? =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数 ? aibi 为向量 ? 与 ? 的内积,
i =1

n

记为[?, ?], 即 [?, ?] = ? aibi = ?T?.
i =1
注意:虽然内积是两个向量之间的运算,但计算结果是实数

n

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [?, ?] = [?, ?]; (2) 线性性: [k1?1+k2?2,?] = k1[?1, ?]+k2[?2,?]; (3) [?, ?] ? 0; 且[?, ?] = 0 ?? = 0 .

(4) |[?, ?]| ? [?, ?] [?, ?].(著名的施瓦茨不等式) 考察y = [?, ?]x2 + 2[?, ?]x + [?, ?]. n = ? (xai + bi)2 ? 0 i=1 ? ? = (2[?, ?])2 ? 4[?, ?][?, ?] ? 0
? [?, ?]2 ? [?, ?][?, ?].

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

3. 对于n维实向量?, 称 范数, 记为||?||, 即 ||?|| = 4. 长度的基本性质

[?, ?] 为? 的长度或

[?, ?]

n = ? ai2 i =1

(1) 非负性: ||?|| ? 0; 且||?|| = 0 ?? = ? ; (2) 齐次性: ||k?|| = |k|· ||?|| (k?R);

(3) 三角不等式: |? +?| ? ||?|| + ||?||.

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

二. 正交向量组和Schmidt正交化方法
1. 一组两两正交的向量组称为正交向量组.
由单位向量组成的正交向量组称为规范 正交向量组.

向量空间的一组基如果是正交向量组, 就
称之为正交基; 如果是规范正交向量组, 就称之为规范正交基.
n维向量空间Rn的规范正交基就是单位坐标向量组。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

定理1. 设?1, ?2, …, ?s是正交非零向量组, 则?1, ?2, …, ?s线性无关. 设有k1,k2, …ks使k1?1+k2?2 …+ks?s=0, 用?1T左乘上式可得: k1?1T?1= 0, 因?1≠0,故?1T?1=‖?1‖2 ≠0,从而k1= 0。同理可证ki=0

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

命题1. 设?1, ?2, …, ?s是标准正交向量组, 且? = k1?1+k2?2+…+ks?s, 则ki = [?, ?i], i = 1, 2, …, s.
2. 施密特(Schmidt)方法

命题2. 设?1, ?2, …, ?s线性无关(s?2), 则存在 一个正交向量组?1, ?2, …, ?s使得 ?1, ?2, …, ?t与?1, ?2, …, ?t等价 (1 ? t ? s).

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

正交化过程如下: ?1 = ?1,

?2 = ?2 ?
………

[?2, ?1]
[?1, ?1] [?s, ?1] [?1, ?1]

?1,
[?s, ?s?1] [?s?1, ?s?1]

?s = ?s ?

?1 ? … ?

?s ? 1

再将?1, ?2, …, ?s单位化得:

?1 ?2 ?s , e2 = , …, es = . e1 = ||?1|| ||?2|| ||?s||

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

由正交化过程可知

注意:按照施密特正交化方法由线性无关的向量组?1, ?2, …, ?s 导出正交向量组?1, ?2, …, ?s的过程满足:?1, ?2, …, ?s与?1, ?2, …,

?s等价,而且满足对任何k(1≤k ≤s),向量组?1, ?2, …, ?k与?1, ?2, …, ?k等价。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性



解:根据施密特正交化方法,可取

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

显然,该齐次方程的两个线性无关的解满足与a1正交的要求。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

考虑到:该方程组的基础解系恰好含有两个线性无关的向量, 且它们与a1线性无关且正交,因此可利用施密特方法将该方程组 的基础解系的两个向量正交化后即满足题设要求。 即取:

注意:这里没有必要对三个向量都做正交化处理,而且也不需 要进行单位化处理。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

三. 正交矩阵
1. 满足ATA = E (即A?1 = AT)的实方阵A称 为正交矩阵, 简称为正交阵. 若 ATA = E,该式可用A的列向量表示为:



第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

也可写为:

当i ? j, ?1, ai ai ? ? (i, j = 1,2,3,…,n) 0 , 当 i ? j , ?
T

由此可得定理 方阵A正交等价于A的行(列)向量都是单位向量, 且两两正交。 n阶正交方阵A的n个行(列)向量构成向量空间Rn 的规范正交基。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

推论. (1) A为正交阵?|A| = ?1, A?1= A也是正交阵; (2) A, B为正交阵 ? AB为正交阵.
(AB)TAB=BTATAB=BT(ATA)B=BTB=E


? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 ? 2 1 ? 2 0 1 2 1 ? 2 0 1 2 1? 2? 1? ? ? 2? 0 ? ? 1 ? ? 2? ? ?

是正交阵。

第五章 相似矩阵及二次型

§5.1 向量的内积、长度与正交性

定义:若P是正交阵,则线性变换y=Px成为正交变换。 设y=Px为正交变换,则有如下性质 经正交变换后向量的长度保持不变

y ?

y T y ? x T P T Px ? x T x ? x


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