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数学必修1知识点及其配套习题组

数学必修1知识点及其配套习题组


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高一数学必修 1
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性,如:世界上最高的山 (2)元素的互异性,如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性, 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用大写字母表示集合:A ={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法 (3)元素与集合的关系: a ? A, b ? A ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) :N ;正整数集:N*或 N+ ; 整数集:Z ;有理数集:Q ;实数集:R (1)列举法:{a,b,c??},元素有限个 (2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 如:{x?R| x-3>2},{x| x-3>2} (3)语言描述法,如:不是直角三角形的三角形组成的集合 (4)Venn 图: A 1234

4.集合的分类: (1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合,记为 Φ。如:{x|x2= -5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分; (2)A 与 B 是同一集合。

? ? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 2.“相等”关系:A=B 实例:设 A={x|x2-1=0},B={-1,1}, “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集,A?A
②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A 或者说,如果 A?B,且存在元素 x ? B ,且 x ? A ③如果 A?B,B?C ,那么 A?C ④如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ 规定:空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ◆有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集,2n-1 个非空子集。 B(或 B A)

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三、集合的运算 运算 交 类型











由所有属于 A 且属 定 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A, B 的 交 集 . 记 作 A? B (读作 ‘A 交 义 韦 恩 图 示 性 B ’ , 即 A ? B= )

由 所 有 属于 集 合 A 或属于集合 B 的元素 所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作: A ? B(读作‘A 并 B ’), 即 A ? B

设 S 是一个集合,A 是 S 的 一个子集,由 S 中所有不属 于 A 的元素组成的集合,叫 做 S 中子集 A 的补集(或余 集)记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A}

{x|x ? A 且 x ? B} ={x|x ? A, x ? B}). . 或
A B

A

B

S A

图1

图2

A ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

(CuA) ? (CuB)= Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB)= Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

质 例题讲解: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A.某班所有高个子的学生 B.著名的艺术家 C.一切很大的书 D.倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个. 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= ?x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确 得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人,两种实验都做错得 有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集 合 M= . 2 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ, A∩C=Φ,求 m 的值.

?

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习题
1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是 A.学校篮球水平较高的学生 C.2007 年所有的欧盟国家 2.方程组
y ?2 {x ? y ?0 的解构成的集合是 x?





B.校园中长的高大的树木 D.中国经济发达的城市 ( C. (1,1) D. {1} ( ) )

A. {(1,1)}

B. {1,1}

3.已知集合 A={a,b,c},下列可以作为集合 A 的子集的是 A. a B. {a,c} C. {a,e}

D.{a,b,c,d} ( )

4.下列图形中,表示 M ? N 的是

M A

N

N B

M

M

N

M

N

C

D ( )

5.下列表述正确的是 A. ? ? {0} B. ? ? {0} C. ? ? {0}

D. ? ? {0}

6、设集合 A={x|x 参加自由泳的运动员},B={x|x 参加蛙泳的运动员},对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ? B C.A∪B D.A ? B 7.集合 A={x x ? 2k , k ? Z } ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z } ,C={ x x ? 4k ? 1, k ? Z } 又 a ? A, b ? B, 则有 A.(a+b) ? A B. (a+b) ? B C.(a+b) ? C ( )

D. (a+b) ? A、B、C 任一个 )

8.集合 A={1,2,x},集合 B={2,4,5},若 A ? B ={1,2,3,4,5},则 x=( A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 ( D. 5 ( C. )

9.满足条件{1,2,3} ? M ? {1,2,3,4,5,6}的集合 M 的个数是 ? ? A. 8 B. 7 C. 6

10.全集 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 }, A= {3 ,4 ,5 }, B= {1 ,3 , 6 },那么集合 { 2 ,7 ,8}是
? A. A B



B. A ? B

CU A ? CU B

D. CU A ? CU B

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11. 设 集 合 M ? { m ? | ?3 ? Z m ( )

, ? }N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤ 3},则M ? N ? 2

1? A. ?0,
2

0, B. ??1,1?

1, C. ?0,2?

,1, D. ??1 0,2?

12. 如果集合 A={x|ax + 2x+ 1=0}中只有一个元素,则 a 的值是 ( ) A.0 B.0 或 1 C.1 . D.不能确定

13.用描述法表示被 3 除余 1 的集合 14.用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x 2 ? 1 ? 0} ;

(2){1,2,3} (4)0

N;

{x x 2 ? x} ;

{ x x 2 ? 2 x} .
0 4 ? b2

15.含有三个实数的集合既可表示成 {a, .

b 2 2 0 3 又可表示成 {a , a ? b,0} , a 则 ,1} , a

?

16.已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1} , CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集 合N ? , M ? (CU N ) ? ,M ?N ? .

17. 已知集合 A ? {x x 2 ? 4 ? 0} ,集合 B ? {x ax ? 2 ? 0} ,若 B ? A ,求实数 a 的取值集合. 18. 已知集合 A ? {x 1 ? x ? 7} ,集合 B ? {x a ? 1 ? x ? 2a ? 5} ,若满足 A ? B ? {x 3 ? x ? 7} , 求实数 a 的值. 19. 19. 已知方程 x 2 ? ax ? b ? 0 . (1)若方程的解集只有一个元素,求实数 a,b 满足的关系式; (2)若方程的解集有两个元素分别为 1,3,求实数 a,b 的值 20. 已知集合 A ? {x ? 1 ? x ? 3} , B ? { y x 2 ? y, x ? A} , C ? { y y ? 2 x ? a , x ? A} ,若满足
C ? B ,求实数 a 的取值范围.

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的
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取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1. 定义域: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 上每一点的坐标(x, 均满足函数关系 C y) y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标 的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
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(2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集, 值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如 果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 2 ○ 作差 f(x1)-f(x2); 3 ; ○ 变形(通常是因式分解和配方) 4 ; ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) 5 . ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的 单调性密切相关,其规律: “同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系;
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3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的 图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函 数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 ,3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?
?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) (3) y ? x ? 1 ? 2 x

⑵ y ? x 2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x 2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
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9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3 ⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x
2

习题
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 A.y=2x+1 C.y= ( ) B . y=3x2 + 1

2 x

D.y=2x2+x+1

2.函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函 数,则 f(1)等于 ( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5)

ax ? 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范围是 ( ) x?2 1 1 A.(0, ) B.( ,+∞) C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 2 2
4.函数 f(x)= 5.函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内 ( A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根
2



D.必有唯一的实根 ( ) )

6.若 f ( x) ? x ? px ? q 满足 f (1) ? f (2) ? 0 ,则 f (1) 的值是

C 6 B ?5 D ?6 7.若集合 A ? {x | 1 ? x ? 2}, B ? {x | x ? a} ,且 A ? B ? ? ,则实数 a 的集合( C {a | a ? 1} A {a | a ? 2} B {a | a ? 1} D {a | 1 ? a ? 2}

A

5

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意实数 t,都有 f(5+t) =f(5-t),那么下列式子一定成立的是 ( ) A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9) 9.函数 f ( x) ?| x | 和g ( x) ? x(2 ? x) 的递增区间依次是 A. (??,0], (??,1] C. [0,??), (??,1] B. (??,0], [1,??) D [0,??), [1,??) ) ( )

10.若函数 f ?x ? ?x 2 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 在区间?? ?,4? 上是减函数,则实数a 的取值范围 ( a x A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5
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D.a≥3

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11. 函数 y ? x ? 4 x ? c ,则
2





A f (1) ? c ? f (?2)
C c ? f (1) ? f (?2)

B f (1) ? c ? f (?2) D c ? f (?2) ? f (1)

12.已知定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间 [0, 4] 上是减函数 则 ( A. f (10) ? f (13) ? f (15) C. f (15) ? f (10) ? f (13) B. f (13) ? f (10) ? f (15) D. f (15) ? f (13) ? f (10) )

13.函数 y=(x-1)-2 的减区间是___ _. 14.函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈?-2,+??时是增函数,当 x∈?-?,-2?时是减函 数,则 f(1)= 。
2

x 15. 若 函 数 f ( x)? (k? 2 ) ?

( ? 1x?是 偶 函 数 , 则 f (x) 的 递 减 区 间 是 k ) 3

_____________. 16 . 函 数 f(x) = ax2 + 4(a + 1)x - 3 在 [2 , + ∞] 上 递 减 , 则 a 的 取 值 范 围 是 __ . 2-x 17.证明函数 f(x)= 在(-2,+?)上是增函数。 x+2

3 在[3,5]上单调递减,并求函数在[3,5]的最大值和最小值。 x ?1 x ?1 19. 已知函数 f ( x) ? , x ? ?3,5? , x?2
18.证明函数 f(x)= ⑴ 判断函数 f ( x) 的单调性,并证明; ⑵ 求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 20.已知函数 f ( x) 是定义域在 R 上的偶函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减,求满足

f ( x 2 ? 2 x ? 3) ? f (? x 2 ? 4 x ? 5) 的 x 的集合.

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习题 1 一、1~5
二、13 14

CABCB

6~10

CBBCC

11~12

BB

{x x ? 3n ? 1, n ? Z } ,

(1) ? ? {x x 2 ? 1 ? 0} ; (2){1,2,3} ? N; 15 -1 16

(3){1} ? {x x 2 ? x} ; (4)

0 ? { x x 2 ? 2 x} ;

N ? {x | ?3 ? x ? 0 或 2 ? x ? 3} ;

M ? (CU N ) ? {x | 0 ? x ? 1} ;

M ? N ? {x | ?3 ? x ? 1或 2 ? x ? 3} .
三、 .{0.-1,1}; 17 18.
a ? 2;

19. (1) a2-4b=0 (2) a=-4, b=3 6~10 CCCCA 11~12 BB

20.

2 ? a ? 3.

习题 2 一.1~5
二. 13. (1,+∞)

CDBBD

14.13 15 (0,?? ) 16, ? ? ?,? ? 2

? ?

1? ?

三.17.略

18、用定义证明即可。f(x)的最大值为:

3 1 ,最小值为: 4 2

19.解:⑴ 设任取 x1 , x2 ? [3,5] 且 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
? 3 ? x1 ? x2 ? 5

x1 ? 1 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? x1 ? x2 ? , ( x1 ? 2 ) x2 ? 2 ) 0 0 ( ?
即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

? f ( x) 在 [3,5] 上为增函数.



f ( x)max ? f (5) ?

4 7

f ( x)m i n? f ( 3? )

2 5

20.解: ? f ( x ) 在 R 上为偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递减

? f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数

又 f (? x ? 4 x ? 5) ? f ( x ? 4 x ? 5)
2 2

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 0 , x 2 ? 4 x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 1 ? 0
由 f ( x ? 2 x ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 5) 得 x ? 2 x ? 3 ? x ? 4 x ? 5
2 2

2

2

?x ? ? 1

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?解集为 {x | x ? ?1}

高一数学必修 1
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算
n

第二章 基本初等函数

1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N . ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

n n 当 n 是奇数时, a ? a , n 是偶数时, a ?| a |? ? 当

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
? m n



?

1 a
r

m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ;
(a ? 0, r, s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs r s

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

(a ? 0, r, s ? R) .

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

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注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a,b]上,f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或
x

[f (b), f (a )] ; (2) x ? 0 , f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; 若 则
(3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
x

1. 对数的概念: 一般地, 如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫
x

做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N ( a — 底数, N — . .. 真数, log a N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ a ? N ? log a N ? x ; 3 ○ 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;
x

log a N

2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) ? log a M + log a N ;

M ? log a M - log a N ; N n 3 ○ log a M ? n log a M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 , a ? 1 ;c ? 0 , c ? 1 ;b ? 0 ) 且 且 .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

1 n (2) log a b ? . log a b ; log b a m

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) .
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注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意 1 辨别。如: y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称
5

其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质: a>1 0<a<1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1) 所有的幂函数在 (0, +∞) 都有定义并且图象都过点 (1, ; 1) (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数. 特别地, ? ? 1 时, 当 幂函数的图象下凸; 0 ? ? ? 1时, 当 幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,?? ) 上是减函数.在第一 象限内, x 从右边趋向原点时, 当 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴. 例题: 1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

?

2.计算: ① log 3 2 ?
log 27 64

;② 2 4?log 3 =
2

; 25 3

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

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③ 0.064 ? ? (? 7 )0 ? [(?2)3 ]? ? 16 ?0.75 ? 0.01
1 3 4 3

1 2

=

8

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
a

1? x

习题一 1. ? (?2) ? (?2)
4 ?3

1 1 ? (? ) ?3 ? (? ) 3 的值 2 2





3 B 8 C -24 D -8 4 x 2.函数 y ? 4 ? 2 的定义域为 ( A (2,??) B ?? ?,2? C ?0,2? D ?1,?? ? 3.下列函数中,在 (??,??) 上单调递增的是 ( 1 x 3 A y ?| x | B y ? log 2 x C y?x D y ? 0.5 x 4.函数 f ( x) ? log 4 x 与 f ( x) ? 4 的图象 ( A 关于 x 轴对称 B 关于 y 轴对称 C 关于原点对称 D 关于直线 y ? x 对称 5.已知 a ? log 3 2 ,那么 log 3 8 ? 2 log 3 6 用 a 表示为 ( 2 2 A a?2 B 5a ? 2 C 3a ? (a ? a) D 3a ? a ? 1 6.已知 0 ? a ? 1 , log a m ? log a n ? 0 ,则 ( A 1? n ? m B 1? m ? n C m ? n ?1 D n ? m ?1
A

7

) ) )

) ) )

7.已知函数 f(x)=2x,则 f(1—x)的图象为 y y y y



O

x

O

x

O

x

O

x

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A

B

C

D

8.有以下四个结论 ① lg(lg10)=0 ② lg(lne)=0 ③若 10=lgx,则 x=10 ④ 若 e=lnx,则 x=e2, 其 中 正 确 的 ( ) A. ① ③ B.② ④ C. ① ② D. ③ ④ 9.若 y=log56·log67·log78·log89·log910,则有 A. y ? (0 , 1) 10.已知 f(x)=|lgx|,则 f( B . y ? (1 , 2 ) C. y ? (2 , 3 ) D. y=1 (
1 1 )>f( )>f(2) 4 3
1 3







1 1 )、f( )、f(2) 大小关系为 4 3
1 3



A. f(2)> f( )>f( C. f(2)> f(

1 ) 4

B. f(

1 1 )>f( ) 4 3

D. f( )>f(

1 )>f(2) 4

11.若 f(x)是偶函数,它在 ? 0, ?? ? 上是减函数,且 f(lgx)>f(1),则 x 的取值范围是( A. (



1 ,1) 10

B. (0,

1 ) ? (1, ?? ) 10

C. (

1 ,10) 10

D. (0,1) ? (10, ?? ) ( )

12.若 a、 是任意实数, a>b,则 b 且 A. a >b
2 2

a B. <1 b

C. lg ? a ? b ? >0

?1? ?1? D. ? ? < ? ? ?2? ?2?

a

b

二、填空题:
13. 当 x ? [-1,1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域为 14.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2 ? x ( x ? 3), ? f ( x ? 1)( x ? 3),

则 f (log 2 3) ? _________.

15.已知 y ? log a (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围是_________ 16.若定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( f(log4x)>0 的解集是______________.

1 )=0,则不等式 2

三、解答题:
17.已知函数 y ? 2
x

(1)作出其图象; (2)由图象指出单调区间;
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(3)由图象指出当 x 取何值时函数有最小值,最小值为多少? 18. 已知 f(x)=log a

1 ? x (a>0, 且 a≠1) 1? x

(1)求 f(x)的定义域 (2)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. 19. 已知函数 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最大值比最小值大 的值。 20.已知 f ( x) ? 9 ? 2 ? 3 ? 4, x ? ?? 1,2?
x x

1 ,求 a 2

(1)设 t ? 3 , x ? ?? 1,2? ,求 t 的最大值与最小值;
x

(2)求 f (x) 的最大值与最小值;

习题二:
1、函数 y=log 2 x+3(x≥1)的值域是 A. ?2,??? B.(3,+∞) 2、已知 f (10 ) ? x ,则 f ?100 ? =
x

C. ?3,???

( D.(-∞,+∞) (





A、100

B、 10

100

C、 lg10

D、2 (
2

3、已知 a ? log3 2 ,那么 log 3 8 ? 2log 3 6 用 a 表示是 A、 5a ? 2 B、 a ? 2 C、 3a ? (1 ? a)


2

D、 3a ? a ? 1

4.已知函数 f ? x ? 在区间 [1, 3]上连续不断,且 f ?1? f ? 2? f ? 3? ? 0,则下列说法正

确的是 A.函数 f ? x ? 在区间 [1, 2] 或者 [2,3] 上有一个零点 B.函数 f ? x ? 在区间 [1, 2] 、 [2,3] 上各有一个零点 C.函数 f ? x ? 在区间 [1,3] 上最多有两个零点 D.函数 f ? x ? 在区间 [1,3] 上有可能有 2006 个零点





x 5.设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1,3? 内近似解的过程
x

中取区间中点 x0 ? 2 ,那么下一个有根区间为 A. (1,2) B. (2,3) C. (1,2)或(2,3)
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( D.不能确定

)

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6. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1 的图象过定点 A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1)

( D.(-1,1) ( D. 1<a<b ( D. y ? 1 ? 2 x



7. 设 x ? 0, 且a x ? b x ? 1, a, b ? 0 ,则 a、b 的大小关系是 A.b<a<1 B. a<b<1 C. 1<b<a 8. 下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是
1





A. y ? 2 x
3

?1? B. y ? ? ? ?2?

1? x

1 C. y ? ( ) x ? 1 2

9. 方程 x ? 3 x ? 1 的三根 x1 , x 2 , x3 , 其中 x1 < x 2 < x3 , x 2 所在的区间为 ( 则 A . (?2,?1) B . (0,1) C . (1,



3 ) 2

D . (

3 ,2) 2


10.值域是(0,+∞)的函数是 ) A、 y ? 5
1 2? x

?1? B、 y ? ? ? ?3?

1? x

C、 y ? 1 ? 2

x

?1? D、 ? ? ? 1 ?2?
( )

x

11.函数 y= | lg(x-1)| 的图象是

C 12. ( 函 ) A、 (0, ] 数

f ( x) ?| l

1 2

o| x

g的















1 2

B、 (0,1]

C、 (0,+∞)

D、 [1,??)

二、填空题:
? 1 ?1 1 0 ?3 13.计算: ( ) ? 4 ? (?2) ? ( ) ? 9 2 = 2 4 1

. . .

14.已知幂函数的图像经过点(2,32)则它的解析式是 15.函数 f ( x) ?

1 的定义域是 log 2 ( x ? 2)
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16.函数 y ? log1 (x 2 ? 2x) 的单调递减区间是_______________.
2

三、解答题
17.求下列函数的定义域: (1)

f ( x) ?

1 log 2 ( x ? 1) ? 3

(2) f ( x ) ? log 2 x?1

3 x ?2

18. 已知函数 f ( x) ? lg

1? x , (1)求 f (x) 的定义域; 1? x
(2)使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围.

19. 求函数 y=3

? x 2 ? 2 x ?3

的定义域、值域和单调区间.
x? 1 2

20. 若 0≤x≤2,求函数 y= 4 习题一 一、1~8

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值

C B C D
5 3

A A C C 14、

9-12 B B C D 15、 a 1 ? a ? 2

二、13、[— ,1]

1 12

?

?

16、x>2 或 0<x<

1 2

三、17、 (1)如图所示: 略 (2)单调区间为 ?? ?,0 ? , ?0,??? . (3)由图象可知:当 x ? 0 时,函数取到最小值 y min ? 1 18.(1)函数的定义域为(—1,1) (2)当 a>1 时,x ? (0,1) 当 0<a<1 时,x ? (—1,0) 在区间[1,7]上的最大值为 log a 8 ,

19. 解:若 a>1,则 f (x) ?log (a x 1 a 0, a1? ? )( ? ) 最小值为 log a 2 ,依题意,有 log a 8 ? log a 2 ?

1 ,解得 a = 16; 2

若 0<a<1,则 f ( x) ? log a ( x ? 1) (a ? 0, a ? 1) 在区间[1,7]上的最小值为

log a 8 ,最大值为 log a 2 ,依题意,有 log a 2 ? log a 8 ?
综上,得 a = 16 或 a =
x

1 1 ,解得 a = 。 16 2

1 。 16

20、解: (1)? t ? 3 在 ?? 1,2? 是单调增函数

?

t max ? 32 ? 9 , t min ? 3 ?1 ?

1 3

第 18 页 共 18 页

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(2)令 t ? 3 ,? x ? ?? 1,2? ,? t ? ? ,9? 原式变为: f ( x) ? t ? 2t ? 4 , 3
x
2

?1 ? ? ?

?1 ? ? f ( x) ? (t ? 1) 2 ? 3 , ? t ? ? ,9? , ? 当 t ? 1 时,此 时 ?3 ?

x ? 1, f ( x) min ? 3 ,
当 t ? 9 时,此时 x ? 2 , f ( x) max ? 67 。 习题二 一、1~8 C D B D 13. 19/6

ADB B
5

9~12 B B C D 15. ? 2, ?? ? 16. (2,3) ? (3, ??) 解:要使原函数有意义,须使:

14. y ? x

17.解:要使原函数有意义,须使:

? x ? 1 ? 0, ? x ? ?1, 即? ? ?log 2 ? x ? 1? ? 3 ? 0, ? x ? 7,

2 ? ?x ? 3 , ? 3 x ? 2 ? 0, ? ? 1 ? ?2 x ? 1 ? 0, 得 ? x ? , 2 ? ?2 x ? 1 ? 1, ? ? x ? 1. ? ?
所以,原函数的定义域是: ( 19.略

所以,原函数的定义域是: (-1,7) ? (7, ? ? ). 18. (1) (-1,1) 20. 解: y ? 4
x

2 ,1) ? (1, ? ? ). 3

(2) (0,1)
1 2

x?

1 2 ? 3 ? 2 x ? 5 ? (2 x ) ? 3 ? 2 x ? 5 2

令 2 ? t ,因为 0≤x≤2, 所以 1 ? t ? 4 ,则 y=

1 2 1 1 2 t ? 3t ? 5 = (t ? 3) ? 2 2 2

(1 ? t ? 4 )

因为二次函数的对称轴为 t=3,所以函数 y= 间[3,4]上是增函数. 当 t ? 1 ,即 x=0 时

1 2 t ? 3t ? 5 在区间[1,3]上是减函数,在区 2 1 y min ? ∴ 当 t ? 3 ,即 x=log 2 3 时 2 5 y max ? 2

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第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实 数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交 点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; 2 ○ (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数

y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的 图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型
2

收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题

第 20 页 共 20 页

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习题一 1.函数 y ?

2 x ? 1 ? 3 ? 4 x 的定义域为
B [?





1 3 A (? , ) 2 4

1 3 , ] 2 4

1 3 C (??, ] ? [ ,??) 2 4

1 D (? ,0) ? (0,??) 2
( )

2.下列各组函数表示同一函数的是 A. f ( x) ? C. f ( x) ?
3

x 2 , g ( x) ? ( x ) 2 x 2 , g ( x) ? ( 3 x ) 2

B. f ( x) ? 1 , g ( x) ? x

0

D. f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ?

x2 ?1 x ?1
( )

3.函数 f ( x) ? x ? 1, x ? ??1,1, 2? 的值域是 A 0,2,3 4.已知 f ( x) ? ? A 2
2

B 0? y?3

C {0,2,3}

D [0,3]

( x ? 6) ? x?5 ,则 f(3)为 ? f ( x ? 2) ( x ? 6)
B 3 C 4 D 5





5.二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, a ? c ? 0 ,则函数的零点个数是 A 0个
2

( D 无法确定



B 1个

C 2个

6.函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 ? ??, 4 ? 上是减少的,则实数 a 的取值范( A



a ? ?3

B

a ? ?3

C

a?5

D

a?5

7.某学生离家去学校,由于怕迟到,一开始就跑步,等跑累了再步行走完余下的路程, 若以纵轴表示离家的距离,横轴表示离家后的时间,则下列四个图形中,符合 该学生 走 法 的 是 ( )

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8.函数 f(x)=|x|+1 的图象是 y y y y





1
O A

1

x

1

O B

x

O C

x

O D (

x

1

9.已知函数 y?f( ?)定义域是 [?2, ] ,则 y f( x 1的定义域是 3 x 1 ? 2 ?) A. [ 0 ,



5 ] B. [?1 4] C. [?5, ] D. [?3, ] , 5 7 2 2 10.函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (??, 4] 上递减,则实数 a 的取值范围是(
A. a ? ?3 B. a ? ?3
2 2



C. a ? 5

D. a ? 3 ) )

11.若函数 f ( x) ? (m ? 1) x ? (m ? 2) x ? (m ? 7m ? 12) 为偶函数,则 m 的值是 ( A.

1
2

B.

2

C.

3

D.

4


12.函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值域是 A. [?2, 2] B. [1, 2] C. [0, 2] D. [ ? 2, 2]

二、填空题(共 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上)
13.函数 y ?

e x ? 1 的定义域为
2 m? n

;

14.若 log a 2 ? m, log a 3 ? n, a
2

?
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15.若函数 f (2 x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (3) = 16.函数 y ? x ? ax ? 3(0 ? a ? 2)在[?1,1] 上的最大值是
2

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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,最小值是

.

三、解答题(共 4 小题,共 44 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.求下列函数的定义域: (1)y= x+1 x+2 1 6-5x-x2 (2)y= 1 + -x + x+4 x+3 2x-1 +(5x-4)0 x-1

(3)y=

(4)y=

18.指出下列函数的定义域、值域、单调区间及在单调区间上的单调性。 x2 (1)y= ?x? ?x? (2)y=x+ x
第 22 页 共 22 页

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19.对于二次函数 y ? ?4 x ? 8 x ? 3 ,
2

(1)指出图像的开口方向、对称轴方程、顶点坐标; (2)求函数的最大值或最小值; (3)分析函数的单调性。 20.已知 A= {x | a ? x ? a ? 3} ,B= {x | x ? 1, 或x ? ?6} . (Ⅰ)若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 A ? B ? B ,求 a 的取值范围.

习题二 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内)
1.已知集合 M ? {4,7,8},且 M 中至多有一个偶数,则这样的集合共有 ? (A)3 个 (B) 4 个 (C) 5 个 2.已知 S={x|x=2n,n∈Z}, T={x|x=4k±1,k∈Z},则 (A)S ? T ? (B) T ? S ? (C)S≠T (D) 6 个 ( (D)S=T ) ) ( )

2 3.已知集合 P= y | y ? ? x ? 2, x ? R , Q= ? y | y ? ? x ? 2, x ? R? ,那么 P ? Q 等(

?

?

(A)(0,2)(1,1) ,
2

(B){(0,2 )(1,1)} (C){1,2} (D) ? y | y ? 2? , ( (D) a ? 0 ( ( D)3 ( (D)[0,2] ( (D).k< ? ) ) )

4.不等式 ax ? ax ? 4 ? 0 的解集为 R,则 a 的取值范围是 (A) ? 16 ? a ? 0 5. 已知 f ( x) = ? (A)2
2

(B) a ? ?16

(C) ? 16 ? a ? 0

? x ? 5( x ? 6) ,则 f (3) 的值为 ? f ( x ? 4)( x ? 6)
(B)5 (C)4

6.函数 y ? x ? 4 x ? 3, x ? [0,3] 的值域为 (A)[0,3] (B)[-1,0] (C)[-1,3] 7.函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 (A)k>



1 2
2

(B)k<

1 2

(C)k> ?

1 2

1 2


8.若函数 f(x)= x +2(a-1)x+2 在区间 ( ??, 4] 内递减,那么实数 a 的取值范围为( (A)a≤-3
2

(B)a≥-3
x

(C)a≤5

(D)a≥3 ( ( D) )

9. 函数 y ? (2a ? 3a ? 2)a 是指数函数, a 的取值范围是 则 (A) a ? 0, a ? 1 (B) a ? 1 (C)

a?

1 2

a ? 1或a ? 1 2

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10. 已知函数 f(x) ? 4 ? a x ?1 的图象恒过定点 p, 则点 p 的坐标是 (A) 1,5 ) ( 11. ( 函 数 (B) 1, 4) ( (C) 0,4) (





(D) 4,0) ( 义 2 域) 是

y? l

1 2

o? x

g

的(

定 3

) (A)[1,+ ? ]

(B) ( 2 , ??) 3

(C) [ 2 ,1] 3

(D) ( 2 ,1] 3 ( (D)
2 c 1 2 ?a?b

12.设 a,b,c 都是正数, 3a ? 4b ? 6c , 且 则下列正确的是 (A)
1 c 1 ?1?b a



(B)

2 C

2 1 ?a?b

(C)

1 C

2 2 ?a?b

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分,答案填在横线上)
13.已知(x,y)在映射 f 下的象是(x-y,x+y),则(3,5)在 f 下的象是 ,原象是 14.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],则 f( x )的定义域为 15.若 loga 2 <1, 则 a 的取值范围是 3 16.函数 f(x)=log 1 (x-x )的单调递增区间是 2
2

2



三、解答题: (本大题共 44 分,17—18 题每题 10 分,19--20 题 12 分)
17.对于函数 f ? x ? ? ax ? bx ? ? b ? 1? ( a ? 0 ) .
2

(Ⅰ)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的零点; (Ⅱ)若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的零点,求实数 a 的取值范围. 18. 求函数 y ?
2

? x 2 ? 4 x ? 5 的单调递增区间。
2

19. 已知函数 f ( x) 是定义域在 R 上的奇函数,且在区间 (?? , 0) 上单调递减, 求满足 f(x +2x-3)>f(-x -4x+5)的 x 的集合. 20.已知集合 A ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x ? 2(a ? 1) x ? (a ? 5) ? 0} , (1)若 A ? B ? {2} ,求实数 a 的值;
2 2 2

(2)若 A ? B ? A ,求实数 a 的取值范围;

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习题一 一、选择题: 1.B 2.C 3.C 4.A 5.C 6.A 7.A 8.D 二、填空题:13. (0,??) 三、解答题: 17.略 18.略 14. 12

9.A 10.B 15. ?1 ;

11.B 12.C

a2 16.4-a, 3 4

19.解: (1)开口向下;对称轴为 x ? 1 ;顶点坐标为 (1,1) ; (2)函数的最大值为 1;无最小值; (3)函数在 (??,1) 上是增加的,在 (1, ??) 上是减少的。 20.Ⅰ、 a ? 6 ? a ? ?2

?

?

Ⅱ、 a a ? 1 ? a a ? ?9

?

? ?

?

习题二 一、选择题: 1.D 2. C 3.D 4.C 5.A 6.C 7.D 8. A 9.C 10.A 11.D 1.B 二、填空题 13. (-2,8)(4,1) 14.[-1,1] , 15. (0,2/3)∪(1,+∞) 16.[0.5,1) 17.略 18.略 19.解: ? f ( x ) 在 R 上为偶函数,在 ( ??, 0) 上单调递减 ? f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函 数 又 f (? x ? 4 x ? 5) ? f ( x ? 4 x ? 5)
2 2

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 2 ? 0 , x 2 ? 4 x ? 5 ? ( x ? 2)2 ? 1 ? 0 2 2 2 2 由 f ( x ? 2 x ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 5) 得 x ? 2 x ? 3 ? x ? 4 x ? 5

? x ? ?1

?解集为 {x | x ? ?1} . 20.(1) a ? ?1 或 a ? ?3 (2)当 A ? B ? A 时, B ? A ,从而 B 可 能是: ?, ?1? , ?2? , ?1, 2? .分别求解,得 a ? ?3 ;

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