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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题10(统计、统计案例)

【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)阶段性测试题10(统计、统计案例)


阶段性测试题十(统计、统计案例)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2015· 潍坊联考)某学校从高二甲、乙两个班中各选 6 名同学参加数学竞赛,他们取得 的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图, 其中甲班学生成绩的众数是 85, 乙班学生成绩的平均分为 81,则 x+y 的值为( ) 甲 9 5 1 A.6 C .8 [答案] D [解析] 由众数的定义知 x=5, 由乙班的平均分为 81 得 解得 y=4,故 x+y=9. 2.(文)若 M 个数的平均数是 X,N 个数的平均数是 Y,则这 M+N 个数的平均数是( X+Y A. 2 MX+NY C. M+N [答案] C [解析] 该题考查平均数的概念及运算. 共有 M+N 个数, 这 M+N 个数的和为(MX+NY), 故这 M+N 个数的平均数为 MX+NY . M+N B. X+Y M+N ) 78+70+y+81+81+80+92 =81, 6 7 0 x 7 8 9 B.7 D.9 1 乙 8 2 y 1 0

MX+NY D. X+Y

(理)期中考试后, 班长算出了全班 40 名同学的数学成绩的平均分为 M.如果把 M 当成一个 同学的分数, 与原来的 40 个分数加在一起, 算出这 41 个分数的平均值为 N, 那么 M N 为( A. C. [答案] B [解析] 设 40 个人的成绩依次为 a1,a2,?,a40,则 a1+a2+?+a40 M= . 40
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)

B. D.

a1+a2+?+a40+M 当把该平均分 M 当成一个人的分数时,41 个分数的平均值为 N= = 41 40M+M =M, 41 故 M N= 3.某班 78 名同学已编号 1,2,?,78,为了了解该班同学的作业情况,老师收取了编号 能被 5 整除的 15 名同学的作业,这里运用的抽样方法是( A.简单随机抽样 C.分层抽样 [答案] B [解析] 由抽样方法知,应选 B. 4.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 20000 人,并根据所得数据画出了样本 频率分布直方图(如图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,按月收入用 分层抽样方法抽样,若从月收入[3000,3500)(元)段中抽取了 30 人,则这 20000 人中共抽取的 人数为( ) B.系统抽样 D.抽签法 )

A.200 C.20000 [答案] A

B.100 D.40

[解析] 由题意得,月收入在[3000,3500)(元)段中的频率是 0.0003×500=0.15,该收入段 的人数是 20000×0.15=3000(人),从中抽取了 30 人,说明从每 100 人中抽取 1 个,故共抽取 20000 =200(人). 100 5.四名同学根据各自的样本数据研究变量 x,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程, 分别得到以下四个结论: ^ ①y 与 x 负相关且y=2.347x-6.423; ^ ②y 与 x 负相关且y=-3.476x+5.648; ^ ③y 与 x 正相关且y=5.437x+8.493; ^ ④y 与 x 正相关且y=-4.326x-4.578 其中一定不正确的结论的序号是( A.①② ) B.②③

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C.③④ [答案] D

D.①④

^ [解析] 若 y 与 x 负相关,则y=bx+a 中 b<0,故①不正确,②正确; ^ 若 y 与 x 正相关,则y=bx+a 中 b>0,故③正确,④不正确;故选 D. 6.(2014· 广东高考)为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量 为 40 的样本,则分段的间隔为( A.50 C.25 [答案] C [解析] 本题考查系统抽样. 从 1000 名学生中抽取 40 名,分成 40 组,每组 25 人,间隔为 25.选 C.系统抽样又叫等 距抽样. 7. 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验. 根 ^ 据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方程y=0.67x+54.9.表中一个数据模糊 不清,请你推断出该数据的值为( 零件数 x(个) 加工时间 y(min) A.75 C.68 [答案] C [解析] 设表中模糊看不清的数据为 m,由表中数据得: - - m+307 x =30, y = , 5 由于由最小二乘法求得回归方程 y=0.67x+54.9, - - m+307 将 x =30, y = 代入回归直线方程, 5 得 m=68,故选 C. 8.(2014· 安徽示范高中联考)给出下列五个命题: ①将 A、B、C 三种个体按 3 则样本容量为 30; ②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③甲组数据的方差为 5,乙组数据为 5,6,9,10,5,那么这两组数据中比较稳定的是甲; ④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为 y=1-2x,则 x 每增加 1 个单位, 1 2 的比例分层抽样调查,如果抽取的 A 个体为 9 个, ) 10 62 B.62 D.81 20 30 75 40 81 50 89 ) B.40 D.20

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y 平均减少 2 个单位; ⑤统计的 10 个样本数据为 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134 ,则样本数据落在 [114.5,124.5)内的频率为 0.4. 其中真命题为( A.①②④ C.②③④ [答案] B 3 1 [解析] ①样本容量为 9÷ =18,①是假命题;②数据 1,2,3,34,5 的平均数为 (1+2+3+3 6 5 5+6+9+10+5 - +4+5)=3,中位数为 3,众数为 3,都相同,②是真命题;③ x 乙= =7,s2 乙= 5 1 1 2 [(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]= ×(4+1+4+9+4)=4.4,∵s2 甲>s乙,∴乙 5 5 稳定,③是假命题;④是真命题;⑤数据落在[114.5,124.5)内的有:120,122,116,120 共 4 个, 4 故所求概率为 =0.4,⑤是真命题. 10 9.(文)将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图如图,后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示: 8 9 则 7 个剩余分数的方差为( 116 A. 9 C.36 [答案] B [解析] 去掉最高最低分后的数据为 87,90,90,91,91,94,90+x, 87+90+90+91+91+94+?90+x? - 由 x =91= 得 x=4, 则方差 s2=[(87-91)2+(90-91)2 7 36 +(90-91)2+(91-91)2+(94-91)2+(91-91)2+(94-91)2]= . 7 (理)某班有 48 名学生,在一次考试中统计出平均分数为 70,方差为 75,后来发现有 2 名 同学的成绩有误,甲实得 80 分却记为 50 分,乙实得 70 分却记为 100 分,更正后平均分和方 差分别是( A.70,25 C.70,1.04 [答案] B ) B.70,50 D.65, 25 ) 36 B. 7 6 7 D. 7 4 0 1 7 7 0 x 9 1 ) B.②④⑤ D.③④⑤

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[解析] 易得 x 没有改变, x =70, 1 2 而 s2= [(x2 +x2+?+502+1002+?+x2 48)-48 x ]=75, 48 1 2 1 2 s′2= [(x2 +x2+?802+702+?+x2 48)-48 x ] 48 1 2 = 1 [(75×48+48 x 2-12500+11300)-48 x 2] 48

1200 =75- =75-25=50. 48 10.一个频率分布表(样本容量为 30)不小心被损坏了一部分(如图),只记得样本中数据在 [20,60)上的频率为 0.8,则估计样本在[40,60)上的数据个数可能是( )

A.7 和 6 C .8 和 9 [答案] B [ 解析 ]

B.6 和 9 D.9 和 10

因样本中数据在 [20,60) 上的频率为 0.8 ,则样本中数据在 [20,60) 上的频数为

30×0.8=24.又因为样本中数据在[20,40)上的频数为 4+5=9, 所以样本在[40,60)上的数据的个数为 30×0.5=15. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填在题中横线上) 11.(文)(2014· 湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的 方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测.若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则 乙设备生产的产品总数为________件. [答案] 1800 [解析] 本题考查分层抽样. 80-50 80 设乙厂生产的总数为 n 件,则 = , n 4800 解得 n=1800. (理)(2014· 天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分 层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校 一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 取________名学生. [答案] 60 [解析] 本题考查分层抽样. ,则应从一年级本科生中抽

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∵人数比

,设每份为 x,

则 4x+5x+5x+6x=20x=300,∴x=15, ∴一年级抽 15×4=60 人. 12.今年 3 月份,某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神?”的调查,在 A、B、 C、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列,共回收 1000 份,因报道需要,再从回收的问 卷中按单位分层抽取容量为 150 的样本,若在 B 单位抽 30 份,则在 D 单位抽取的问卷是 ________份. [答案] 60 [解析] 因为在 A、B、C、D 四个单位回收的问卷数依次成等差数列,所以从 A、B、C、 D 按单位分层抽取的容量也成等差数列, 设公差为 d, 则(30-d)+30+(30+d)+(30+2d)=150, 所以 d=15,所以在 D 单位抽取的问卷是 30+2d=60 份. 13.我校高三(4)班共有 56 人,学生编号依次为 1,2,3,?,56,现用系统抽样的方法抽取 一个容易为 4 的样本,已知编号为 6,34,48 的同学在样本中,那么还有一位同学的编号应为 ________. [答案] 20 [解析] 系统抽样也是等距抽样,因为第三、第四两段中抽取的编号之差为 14, 所以第二段中抽取的编号与第一段中抽取的编号之差也为 14, 所以还有一位同学的编号应为 20. 14. (2015· 银川第一次质检)如图是甲、 乙两名篮球运动员 2014 年赛季每场比赛得分的茎叶 图,则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是________. 甲 7 2 6 [答案] 54 [解析] 甲 得 分 为 : 17,22,28,34,35,26 , 其 中 位 数 为 28+34 = 31 ; 乙 得 分 为 : 2 8 4 5 1 2 3 3 1 乙 2 6 1 9 2

12,16,21,23,29,31,32,其中位数为 23,故甲、乙两人比赛得分的中位数之和是 54. 15.某高中共有学生 2000 名,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高三年级男生的概 率是 0.1,现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务,相关信息如下表: 年级 男生(人数) 女生(人数) 抽样人数 高一 a c x 高二 310 d 15 高三 b 200 10

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则 x=________. [答案] 25 [解析] 由抽到高三年级男生的概率是 0.1,可得 b=200,设在全样抽取 n 名学生参加社 区服务, n 10 则有 = ,解得 n=50, 2000 200+200 ∴x=50-15-10=25. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学 成绩(均为整数)分成六段[90,100), [100,110), …, [140,150]后得到如下部分频率分布直方图. 观 察图形的信息,回答下列问题:

(1)求分数在[120,130)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均 分. [解析] (1)分数在[120,130)内的频率为: 1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3. 频率 0.3 = =0.03,补全后的直方图如下: 组距 10

(2)平均分为: - x =95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121. 17.(本小题满分 12 分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他 们的最大速度(m/s)的数据如下表.

-7-

甲 乙

27 33

38 29

30 38

37 34

35 28

31 36

(1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差,并判 断选谁参加比赛更合适. [解析] (1)画茎叶图,中间数为数据的十位数 甲 7 8 7 5 1 0 2 3 3 乙 8 9 8

4 6

从这个茎叶图上可以看出,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些;乙的 中位数是 33.5,甲的中位数是 33.因此乙发挥比较稳定,总体得分情况比甲好. (2)根据公式得: x 甲=33, x 乙=33;s 甲=3.96,s 乙=3.35;甲的中位数是 33,乙的中位 数是 33.5.综合比较,选乙参加比赛较为合适. 18.(本小题满分 12 分)(2014· 北京高考)从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课 外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计

分组 [0,2) [2,4) [4,6) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) 100

频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率;

-8-

(2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组.(只需写出结论) [解析] 思路分析:(1)从频率分布表中读出阅读时间不少于 12 小时人数求概率. (2)利用频率比组距为小矩形的高求解. (3)由图作出估计应为第 4 组. (1)根据频数分布表,100 名学生中课外阅读时间不少于 12 小时的学生共有 6+2+2=10 10 名,所以样本中的学生课外阅读时间少于 12 小时的频率是 1- =0.9. 100 从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于 12 小时的概率为 0.9. (2)课外阅读时间落在组[4,6)的有 17 人,频率为 0.17, 频率 0.17 所以 a= = =0.085. 2 组距 课外阅读时间落在组[8,10)的有 25 人,频率为 0.25, 频率 0.25 所以 b= = =0.125. 2 组距 (3)样本中的 100 名学生课外阅读时间的平均数为 1×6+3×8+5×17+7×22+9×25+11×12+13×6+15×2+17×2 100 =7.68 在第 4 组. 19.(本小题满分 12 分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现,紧急避险常 识越来越引起人们的重视.某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况,从七年级和八年 级各选取 100 名同学进行紧急避险常识知识竞赛.图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加 竞赛的学生成绩按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分组,得到的频率分布直方图.

(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩;(注:统计方法中, 同一组 数据常用该组区间的中点值作为代表) (2)完成下面 2×2 列联表, 并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识 的了解有差异”? 成绩小于 60 分人数 七年级 成绩不小于 60 分人数 合计

-9-

八年级 合计 n?ad-bc?2 附:K = .临界值表: ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k) k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

[解析] (1)七年级学生竞赛平均成绩为 (45×30+55×40+65×20+75×10)÷ 100=56(分), 八年级学生竞赛平均成绩为 (45×15+55×35+65×35+75×15)÷ 100=60(分). (2)2×2 列联表如下: 成绩小于 60 分人数 七年级 八年级 合计 70 50 120 成绩不小于 60 分人数 30 50 80 合计 100 100 200

200×?50×30-50×70?2 ∴K2= ≈8.333>6.635, 100×100×120×80 ∴有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”. 20.(本小题满分 13 分)某种产品的广告费支出 x 与销售额(单位:百万元)之间有如下对应 数据: x y 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70

如果 y 与 x 之间具有线性相关关系. (1)作出这些数据的散点图; (2)求这些数据的线性回归方程; (3)预测当广告费支出为 9 百万元时的销售额. [解析] (1)

- 10 -

5 5 - - (2) x =5, y =50, ?xiyi=1 390, ?x2 i =145, i=1 i=1

i=1

y ?xiyi-5 x ·

5

-- - - =7,a= y -b x =15, -

b=

i=1

?xi2-5 x 2

5

∴线性回归方程为 y=7x+15. (3)当 x=9 时,y=78. 即当广告费支出为 9 百万元时,销售额为 78 百万元. 21.(本小题满分 14 分)(文)某单位 N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄 在 25 岁至 50 岁之间. 按年龄分组: 第 1 组[25,30), 第 2 组[30,35), 第 3 组[35,40), 第 4 组[40,45), 第 5 组[45,50],由统计的数据得到的频率分布直方图如图所示,下表是年龄的频率分布表.

区间 人数

[25,30) 25

[30,35) a

[35,40) b

[40,45)

[45,50]

(1)求正整数 a,b,N 的值; (2)现要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,则年龄在第 1,2,3 组中抽 取的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区宣传交流活动,求恰有 1 人在第 3 组的概率. [解析] (1)由频率分布直方图可知,[25,30)与[30,35)两组的人数相同, 所以 a=25 人. 0.08 且 b=25× =100 人. 0.02 25 总人数 N= =250 人. 0.02×5 (2)因为第 1,2,3 组共有 25+25+100=150 人,利用分层抽样在 150 名员工中抽取 6 人, 每组抽取的人数分别为:

- 11 -

25 第 1 组的人数为 6× =1, 150 25 第 2 组的人数为 6× =1, 150 100 第 3 组的人数为 6× =4, 150 所以第 1,2,3 组分别抽取 1 人,1 人,4 人. (3)由(2)可设第 1 组的 1 人为 A,第 2 组的 1 人为 B,第 3 组的 4 人分别为 C1,C2,C3, C4,则从 6 人中抽取 2 人的所有可能结果为:(A,B),(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4), (B,C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),(C1,C2),(C1,C3),(C1,C4),(C2,C3),(C2,C4), (C3,C4),共有 15 种. 其中恰有 1 人年龄在第 3 组的所有结果为:(A,C1),(A,C2),(A,C3),(A,C4),(B, C1),(B,C2),(B,C3),(B,C4),共有 8 种. 8 所以恰有 1 人年龄在第 3 组的概率为 . 15 (理)已知某单位有 50 名职工,现要从中抽取 10 名职工,将全体职工随机按 1~50 编号, 并按编号顺序平均分成 10 组,按各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽样. 8 7 6 5 0 2 1 3 6 9 8 9 5 7

(1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,求该样 本的方差; (3)在(2) 的条件下, 从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工, 求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率. [解析] (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22. 因为 2+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2, 抽出的 10 名职工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 - 1 x = (81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 10 1 所以样本方差为 s2= (102+(-1)2+22+52+72+82+(-9)2+(-6)2+(-4)2+(-12)2)= 10 52. (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工, 共有 10 种不同的取法: (73,76), (73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,99),(76,81),(78,79),(78,81),(79,81).

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4 2 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A,故所求概率为 P(A)= = . 10 5

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