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高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修2_2_图文

高中数学第一章导数及其应用1.7.2定积分在物理中的应用课件新人教A版选修2_2_图文

?1.7.2 定积分在物理中的应用 自主学习 新知突破 ? 1.通过具体实例了解定积分在物理中的应用. ? 2.会求变速直线运动的路程、位移和变力做功问 题. ? 从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视 塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运 动速度为v=gt(g为常数), ? [问题] 你能求出电视塔的高度吗? [提示] 能.塔高 h=????21gtdt=12gt2| 21=32g. 变速直线运动的路程 ? 做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度 ?b 函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定???a积v(t分)dt, 即s=_______. 变力作功 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着 与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所做 ?b 的功W=_???_a_F_(_x_)d_x___. ? 利用定积分求变速直线运动的路程与求变力所做功 的区别 ? 利用定积分求变速直线运动的路程,其积分变量是 时间,被积函数是速度对时间的函数; ? 利用定积分求变力所做的功,其积分变量是位移, 被积函数是力对位移的函数. 1.一辆汽车以 v=3t2 的速度行驶,这辆汽车从 t=0 到 t =3 这段时间内所行驶的路程为( ) A.13 B.1 C.3 D.27 ?3 解析: s=?? 3t2dt=t3| ?0 30=27,故选D. 答案: D ? 2.做直线运动的质点在任意位置x处,所受的力F(x) = 处1运+动ex到,点则x质2=点1沿处着,与力FF((xx))相所同做的的方功向是,( 从点) x1=0 ? A.1+e B.e ? C. D.e-1 ?1 ?1 解析: W=???0F(x)dx=???0(1+ex)dx=(x+ex)| 1 0 ? 答案=:(1+e)B-1=e. ? 3.如果用1 N的力能拉长弹簧1 cm,那么为了将弹 簧拉长6 cm需作功________J. 解析: 在弹性限度内,拉伸(或压缩)弹簧所需的力 F(x)(单位:N)与弹簧拉伸(或压缩)的长度x(单位:m)成正比, 即F(x)=kx(常数k是比例系数).由题意知,当F(x)=1时,x= 0.01,可得k=100.由变力作功公式,得到将弹簧拉长6 cm耗费 的功W=∫00.06100xdx=50x2| 00.06=0.18(J). ? 答案: 0.18 ? 4.一动点P从原点出发,沿x轴运动,其速度v(t)=2 -t(速度的正方向与x轴的正方向一致),求t=3时, 动点P离开原点的路程. 解析: 由v(t)=2-t≥0 得0≤t≤2, ∴t=3时,点P离开原点的路程为 ?2 ?3 s=???0(2-t)dt-???2(2-t)dt =???2t-12t2???| 20-???2t-12t2???| 32=52. 合作探究 课堂互动 求变速直线运动的路程、位移 ? 有一动点P沿x轴运动,在时间t的速度为 v(t)=8t-2t2(速度的正方向与x轴正方向一致).求: ? (1)P从原点出发,当t=3时,离开原点的路程; ? (2)当t=5时,P点的位置; ? (3)从t=0到t=5时,点P经过的路程; ? (4)P从原点出发,经过时间t后又返回原点时的t值. ? [思路点拨] 首先要确定的是所要求的是路程还是位 移,然后用相应的方法求解. (1)由 v(t)=8t-2t2≥0 得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动,t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=3 时,点 P 离开原点的路程 s1=????30(8t-2t2)dt=???4t2-23t3???| 30=18. ?5 (2)当t=5时,点P离开原点的位移s2=???0(8t-2t2)dt =???4t2-23t3???| 50=530. ∴点P在x轴正方向上距原点530处. (3)从t=0到t=5时,点P经过的路程 ?4 ?5 s3=???0(8t-2t2)dt-???4(8t-2t2)dt =???4t2-23t3???| 40-???4t2-23t3???| 54=26. ?t (4)依题意???0(8t-2t2)dt=0, 即4t2-23t3=0, 解得t=0或t=6, t=0对应于P点刚开始从原点出发的情况, t=6是所求的值. ? 用定积分求变速直线运动的路程: ? (1)把物理问题转化为数学问题是关键:积分变量是 时间,被积函数是速度对时间的函数,积分区间是 运动的起止时间点. ? (2)路程是位移的绝对值之和,在求路程时,要注意 先判断速度在时间段内是否恒正,否则,要分段求 解. ? 特别提醒:忽视速度的正负判断,是导致此类问题 出错的主要原因. ? 1.A,B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站, 电车开出t s后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s), 到C点速度达24 m/s,从C点到B站前的D点以等速行 驶,从D点开始刹车,速度为(24-1.2t) m/s,在B站 恰好停车.试求: ? (1)A,C间的距离; ? (2)B,D间的距离; ? (3)电车从A站到B站所需的时间. 解析: (1)设从A到C经过t1 s, 由1.2t1=24得t1=20, ?20 所以AC=???0 1.2tdt=0.6t2| 200=240(m). (2)设从D到B经过t2 s, 由24-1.2t2=0得t2=20, ?20 所以BD=???0 (24-1.2t)dt =(24t-0.6t2)| 200=240(m). (3)CD=7 200-2×240=6 720(m). 从C到D的时间t3=6 27420=280(s), 所以从A站到B站的时间为20+280+20=320(s). 变

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