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【课件】选修2-2第三章《复数的四则运算 第一节课》_图文

【课件】选修2-2第三章《复数的四则运算 第一节课》_图文

1、复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
z ? a ? bi , a ? R,b ? R

2、复数的分类
复数a+bi
3、复数相等

实部 虚部

?实数b ? 0

? ??虚数b ?

?

?纯虚数a ? 0,b ? 0 0??非纯虚数a ? 0,b ?

0

若a,b, c, d ? R,
a ? bi ? c ? di

?a ? c
???b ? d

问题一 思考
1.化简: (2 ? 3x) ? (?1? x) 2.类比:你能计算 (2 ? 3i) ? (?1? i) 式子吗?
3.猜想归纳: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a,b, c, d ? R)是任意两个复数,则
z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i
---------复数的加法运算法则

复数的加法运算法则
设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a,b, c, d ? R)是任意两个复数,则
z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i
说明: (1)两个复数的和是一个确定的复数; (2)实数的加法交换律、结合律在复数集C中仍然成立;
设 z1, z2 , z3 ? C,则:
z1 ? z2 ?
(z1 ? z2 ) ? z3 ? z2 ? z1 z1 ? (z2 ? z3 )

类比实数集中减法的意义,我们规定复数的减法是加法的逆运算.
把满足 (x ? yi) ? (c ? di) ? a ? bi 的复数 x ? yi 叫做复数
a ? bi 减去复数 c ? di 的差,记作:(a ? bi) ? (c ? di)

若 (x ? yi) ? (c ? di) ? a ? bi ,根据复数相等的定义,求 x ? yi

动动手

解:依题意 (x ? c) ? ( y ? d)i ? a ? bi 根据复数相等的定义有 x ? c ? a, y ? d ? b
于是 x ? a ? c, y ? b ? d 所以 x ? yi ? (a ? c) ? (b ? d )i

复数的减法运算法则 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a,b, c, d ? R)是任意两个复数,则
z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i

复数的加减法运算法则
基础训练
例1:计算 (1? 5i) ? (?2 ? 3i) ? (2 ? 5i)
5 ? 3i
(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d)i

思考

问题二:

多项式 (2 ? 3x)(?1? x) 是怎样进行运算的?

你可以类比到 (2 ? 3i)(?1? i) 可以怎样进行运算吗?

复数乘法的法则

复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得
的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.即:
?a ? bi??c ? di? ? ac ? bci ? adi ? bdi2 ? ?ac ? bd ? ? ?bc ? ad ?i

说明:复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3都有:
z1z2 ? z2 z1 ? z1z2 ? z3 ? z1 ? z2z3 ? z1 ? z2 ? z3 ? ? z1z2 ? z1z3

例2:计算

?1? (1? 2i)(3? 4i)(?2 ? i)

?2? ?a ? bi??a ? bi?

思考

a ? bi, a ? bi

问题三:

你可以发现

?20 ?15i
a2 ? b2
这两个复数有什么特点?

共轭复数定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数.
复数 z=a+bi, a,b ? R 的共轭复数记作 z, 即 z ? a ? bi
z ? z,
说明(1)当b=0时, 即实数的共轭复数是它本身 (2)共轭复数的简单性质:zz??zz ?? _2_a; z ? z ? 2_b_i; z ? z ? a__2 ? b2;

基础训练:
例3:复数?3i ?1?_i的共轭复数是_?__3__?_ i
例拓4展:训已练知复数z满足:z ? z? 2i ? z ? 4 ? 2i,求复数z

解:设z ? a ? bi(a,b ? R),则z ? a ? bi

由题意可得:?a ? bi??a ? bi? ? 2i ?a ? bi? ? 4 ? 2i

a2 ? b2 ? 2b ? 2ai ? 4 ? 2i

?a2 ? b2 ? 2b ? 4 ? ?2a ? 2

可解得:???ba

? ?

1或 3

?a ??b

? ?

1 ?1

故z ? 1? 3i或z ? 1? i

1、复数加减法的运算法则 2、复数的乘法法则
3、共轭复数


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