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2018年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1正弦定理课件北师大版必修5_图文

2018年高中数学第二章解三角形2.1正弦定理与余弦定理2.1.1正弦定理课件北师大版必修5_图文

第二章 解三角形 §1 正弦定理与余弦定理 1. 1 正弦定理 1.正弦定理 在一个三角形中,各边和 它所对角的正弦 的比相等,即 a b c sin A = sin B = sin C =2R(其中 R 为△ABC 的外接圆半径). 2.三角形的面积公式 对于任意△ABC,若 a、b、c 分别为三内角 A,B,C 的对边, 1 1 aha absin C abc 2 2 则△ABC 的面积 S= = = (其中 ha 为边 4R a 上的高,R 为△ABC 的外接圆半径). 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形.( × ) (2)在△ABC 中,等式 asin A=bsin B 总能成立.( × ) (3)在△ABC 中, 若 A=30°, a=2, b=2 3, 则 B=60°.( × ) 在△ABC 中,若角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则下 列各式一定成立的是( a cos A A. = b cos B a sin A B.b= sin B C.asin B=bcos A D.acos B=bsin A ) a b a sin A 解析:选 B.在△ABC 中,由正弦定理 = ,得b= . sin A sin B sin B 3 在△ABC 中, 已知 AC=2, BC=3, sin A= , 则 sin B=( 5 2 A. 5 3 C. 5 2 B. 3 D.无法确定 ) 答案:A 在△ABC 中, 已知 a= 5, sin C=2sin A, 则 c=________. 答案:2 5 sin A cos B 在△ABC 中,若 a = b ,则 B 的值为________. sin A sin B 解析:根据正弦定理知 a = b ,结合已知条件可得 sin B =cos B,又 0°<B<180°,所以 B=45°. 答案:45° 1.对正弦定理的理解 (1)适用范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的正 弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与对应角的正 弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关 系. (4)主要功能:正弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的 转化. 2.正弦定理的常用变形 a b c (1)sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R (2)若 A>B,则 sin A>sin B. (3)a∶b∶c =sin A∶sin B∶sin C. 已知两角及一边解三角形 在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这 个三角形. 【解】 105°. sin 45° a c csin A 由 = 得 a= =10× =10 2. sin A sin C sin C sin 30° 因为 A=45°,C=30°,所以 B=180°-(A+C)= 因为 sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30° 2+ 6 csin B 10×sin(A+C) sin 45 ° = ,所以 b= = = 4 sin C sin 30° 2+ 6 20× =5 2+5 6. 4 已知三角形的两角和任一边解三角形的思路 (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边, 再由三角形内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出 第三个角,再由正弦定理求另外两边. 1.(1)△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, 4 63 b,c,若 cos A= ,sin B= ,a=1,则 b=________. 5 65 (2)在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,求 A,b,c. 4 解:(1)因为 A 为△ABC 的内角,且 cos A= , 5 3 63 所以 sin A= ,又 a=1,sin B= , 5 65 asin B sin B 63 5 21 由正弦定理得 b= = = × = . sin A sin A 65 3 13 21 故填 . 13 (2)A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°. b a 由 = 得, sin B sin A asin B 8×sin 60° b= = =4 6, sin A sin 45° a c 由 = 得, sin A sin C 2+ 6 8× 4 asin C 8×sin 75° c= = = sin A sin 45° 2 2 =4( 3+1). 所以 A=45°,b=4 6,c=4( 3+1). 已知两边及其中一边的对角解三角形 已知△ABC 中的下列条件,解三角形: (1)a=10,b=20,A=60°; (2)a=2 3,b=6,A=30°. 【解】 b a (1)因为 = , sin B sin A bsin A 20sin 60° 所以 sin B= = = 3>1, a 10 所以三角形无解. (2)a=2 3,b=6,a<b,A=30°<90°, 因为 bsin A=6sin 30°=3, a>bsin A,所以三角形有两解. bsin A 6sin 30° 3 由正弦定理得 sin B= = = , a 2 2 3 所以 B=60°或 B=120°. 当 B=60°时,C=90°, c= a2+b2= (2 3)2+62=4 3; 当 B=120°时,C=30°, asin C 2 3sin 30° c= = =2 3. sin A sin 30° 即 B=60°,C=90°, c=4 3或 B=120°, C=30°,c=2 3. (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值; ②如果已知的角为大边所对的角时,

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