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高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课件2新人教A版必修4_图文

高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数1课件2新人教A版必修4_图文

1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)

【知识提炼】 1.任意角的三角函数的定义

如图,设α 是一个任

前 提

意角,它的终边与单

位圆交于点P(x,y)

正弦 _y_叫做α 的正弦,记作sinα ,即sinα =_y_;

余弦 _x_叫做α 的余弦,记作cosα ,即cosα =_x_;

y

y

定 正切 _x_叫做α 的正切,记作tanα ,即tanα =__x(x≠0).



三角 函数

正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三 角函数.

2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域

三角函数 sinα cosα
tanα

定义域 _R _ _R _
{_?_?_R__|_?_?__k_?_?__?2_,_k__?_Z_}

3.三角函数值在各象限的符号

4.诱导公式一

sinα cosα tanα

即终边相同的角的同一三角函数的值__相__等_.

【即时小测】 1.判断. (1)相等的角正弦值相等,反之正弦值相等的两个角也相等.( ) (2)已知α 是三角形的内角,则必有sinα >0,cosα ≥0.( ) (3)对于任意角α ,sinα ,cosα ,tanα 都有意义.( )

【解析】(1)错误.相等的角正弦值相等,但是正弦值相等的两个角未 必相等. (2)错误.因为α是三角形的内角,所以α∈(0,π),所以sinα>0, cosα大于零、小于零或等于零都有可能. (3)错误.对于任意角α,sinα,cosα都有意义,但是终边落在y轴 上的角tanα无意义. 答案:(1)× (2)× (3)×

2.若sinα <0,且tanα <0,则角α 是( )

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

【解析】选D.由sinα <0知角α 的终边落在第三、四象限或y轴的非正

半轴上,由tanα <0知角α 的终边落在第二、四象限,所以角α 是第

四象限角.

3.计算:sin180°+2cos270°的值为________. 【解析】180°的终边与单位圆的交点坐标为(-1,0), 所以sin180°=0, 270°的终边与单位圆的交点坐标为(0,-1), 所以cos 270°=0, 所以sin 180°+ 2cos 270°=0. 答案:0

4.sin 3? =________,cos 3?=________,tan 3?=________.

4
【解析】角

4
3?的终边与单位圆的交点坐标为
4

(?

4 2, 2 22

),

所以 sin 3? ? 2 ,cos 3? ? ? 2 ,tan 3? ? ?1.

42

42

4

答案: 2 ? 2 ?1

2

2

5.tan 390°的值为________.
【解析】tan 390°= tan(360°+30°)= tan 30°= 3 .
3
答案: 3
3

【知识探究】 知识点1 任意角三角函数的定义 观察图形,回答下列问题:
问题1:任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么? 问题2:知道某角终边任意一点的坐标,是否可以计算该角的三角函 数值?

【总结提升】 1.对任意角三角函数的三点说明 (1)在任意角的三角函数的定义中,α 是一个任意角,同时它也是一 个实数(弧度数). (2)三角函数也是函数,都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标(坐 标的比值)为函数值的函数;三角函数值只与角α 的大小有关,即由 角α 的终边位置决定.

(3)要明确sinα 是一个整体,不是sin与α 的乘积,它是“正弦函数” 的一个记号,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开自变量的 “sin”“cos”“tan”等是没有意义的.

2.任意角三角函数的另一种定义 设角α 的终边上任一点P(x,y),OP=r(r>0),如图所示


sin? ? y,cos? ? x,tan? ? y .

r

r

x

知识点2 三角函数值在各象限的符号 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么? 问题2:三角函数值在各象限的符号有什么规律吗?

【总结提升】 对正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明

(1)由三角函数的定义知 sin? ? y,cos? ? x,tan? ? y (r>0),可知角的

r

r

x

三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x,y)的坐标确定的,则准确 确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律,三角函数值在各象限的符 号规律可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦.

知识点3 诱导公式一 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:诱导公式一的作用是什么? 问题2:诱导公式一的结构特征是什么?

【总结提升】 对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等. (2)公式一的结构特征: ①左、右为同一三角函数; ②公式左边的角为α +k·2π ,右边的角为α .注意公式一中的条件 k∈Z不可遗漏. (3)公式一的作用:把求任意角的三角函数值转化为求0~2π (或 0°~360°)角的三角函数值.

【题型探究】

类型一 任意角三角函数的定义及应用

【典例】已知角α 终边经过点P(x,? 2 )(x≠0),且cosα = 3 x.求

sinα + 1 的值.

6

tan?

【解题探究】本例中计算sinα 、cosα 、tanα 的依据是什么?

提示:依据任意角三角函数的定义,即

若角α的终边上任一点P(x,y),OP=r

(r>0),则 sin? ? y,cos? ? x,tan? ? y .

r

r

x

【解析】因为P(x,? 2 ) (x≠0),

所以点P到原点的距离 r ? x2 ? 2.

又cos α= 3 x ,所以cos α=
6

x

3

? x.

x2 ? 2 6

因为x≠0,所以x=± 10 ,所以 r ? 2 3.

当x= 10 时,P点坐标为( 10,? 2),

由三角函数的定义,有sin α=- 6, 1 ? ? 5,
6 tan ?

所以 sin ? ? 1 ? ? 6 ? 5 ? ? 6 5 ? 6 ;

tan ? 6

6

当x=- 10 时,

同样可求得 sin ? ? 1 ? 6 5 ? 6 .

tan ?

6

【延伸探究】

1.(变换条件)本题中点P的坐标改为(- 5,x),x≠0,且sin α

= 2 x,结果又是什么?
4
【解析】因为P(- 5 ,x) (x≠0),

所以点P到原点的距离 r ? 5 ? x2,

又sin α= 2x,所以
4

x ? 2 x. 5? x2 4

因为x≠0,所以x=± 3 ,所以 r ? 2 2.

当x= 时,P点坐标为(

),

3

? 5,3

由三角函数的定义,有
sin ? ?

3 ? 6,

22 4

1 ? ? 5 ? ? 15 ,

tan ? 3

3

所以 sin ? ? 1 ? 6 ? 15 ? 3 6 ? 4 15;

tan ? 4 3

12

当x=- 3 时,

同样可求得

sin ? ? 1 ? 4 tan ?

15 ? 3 12

6.

2.(变换条件、改变问法)若角 5?的终边经过点P1,且点P1到原点的
6
距离与本题中P到原点的距离相等,试求点P1的坐标.

【解析】角 5? 的终边与单位圆的交点坐标为( ? 3,1),所以

6

22

cos 5? ? ? 3,sin 5? ? 1,

62

62

由已知得|OP1|= 2 3,

由三角函数的定义,知点P1的坐标为(

2

3cos 5?,2 6

3sin 5?),即
6

(-3, 3).

【方法技巧】由角α 终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤

(1)已知角α 的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:

①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正、余弦函

数的定义求出相应三角函数值.

②在α 的终边上任选一点P(x,y),P到原点的距离为r(r>0).则

sin α = y ,cos α = x .已知α 的终边求α 的三角函数值时,用这几

r

r

个公式更方便.

(2)当角α 的终边上点的坐标以参数形式给出时,要根据问题的实际

情况对参数进行分类讨论.

【补偿训练】(2015·临沂高一检测)已知角α 的终边过点P(-3a,

4a)(a≠0),求2sin α +cos α 的值.

【解析】r ? (?3a)2 ? (4a)2 ? 5 a ,

(1)若a>0,则r=5a,角α在第二象限.

sin ? ? y ? 4a ? 4,cos ? ? x ? ?3a ? ? 3,

r 5a 5

r 5a 5

所以2 sin α+cos α= 8 ? 3 ? 1.
55

(2)若a<0,则r=-5a,角α在第四象限,

sin ? ? 4a ? ? 4,cos ? ? ?3a ? 3.

?5a 5

?5a 5

所以2 sin α+cos α= ? 8 ? 3 ? ?1.

55

【延伸探究】

1.(变换条件)将本题中点P的坐标改为(12a,5a)(a≠0),其他条件

不变,结果又如何?

【解析】

(1)若a>0,则r=13a,角α是第一象限角,

所以

所以

r ? (5a)2 ? (12a)2 ? 13 | a |,

sin ? ? y ? 5a ? 5 ,cos ? ? x ? 12a ? 12,

r 13a 13

r 13a 13

2sin ? ? cos ? ? 2? 5 ? 12 ? 22, 13 13 13

(2)若a<0,则r=-13a,角α是第三象限角,

所以 sin ? ? y ? 5a ? ? 5 ,cos ? ? x ? 12a ? ?12,

r ?13a 13

r ?13a 13

所以 2sin ? ? cos ? ? 2? (? 5 ) ? 12 ? ? 22 .
13 13 13

2.(改变条件和问法)点P的坐标改为(-8m,-6 sin 30°),且
cos α = ? 4 ,求m的值.
5
【解析】因为点P的坐标为(-8m,-3),

所以 r ? 64m2 ? 9, 所以cos α= ?8m ? ? 4 ,所以m>0,
64m2 ? 9 5

所以

4m2 64m2 ?

9

?

1 25

,解得m=±

1 2

,又m>0.

所以m= 1 .
2

类型二 三角函数在各象限的符号问题

【典例】1.已知角α =2kπ - ? (k∈Z),若角θ 与角α 的终边相同,则
5
y= sin ? ? cos ? ? tan ? 的值为( )
| sin ? | | cos ? | | tan ? |

A.1

B.-1

C.3

D.-3

2.(2015·南通高一检测)已知sin θ ·tan θ <0,那么θ 是第

________象限角.

3.如果|sin x|=sin x,那么角x的取值集合是_________.

【解题探究】1.典例1中,角α 的终边在第几象限?该象限内正弦、余 弦、正切函数值的符号分别是什么? 提示:角α的终边与 ? ? 的终边相同,是第四象限角.第四象限内正弦、
5
正切函数值为负,余弦函数值为正. 2.典例2中,sin θ ·tan θ <0包括哪些情况?正弦、正切函数值在各 象限的符号有什么规律? 提示:sin θ·tan θ<0包括sin θ<0,tan θ>0和sin θ>0, tan θ<0两种情况.正弦函数值在第一、二象限为正,在第三、四象限 为负;正切函数值在第一、三象限为正,在第二、四象限为负.

3.典例3中,sin x的符号是什么?角x的终边所在区域是什么?

提示:sin x≥0,角x的终边在第一、二象限或x轴上或y轴的非负半

轴 【 角上解θ.与析】角α1.的选终B.边由相α同=2,kπ所-以?5 角(kθ∈的Z)终知边,在角第α四的象终限边,在所第以四象限,又

sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0,所以 y ? sin ? ? cos ? ? tan ?

=-1+1-1=-1.

?sin ? cos ? ?tan ?

2.因为sin θ·tan θ<0, 所以sin θ<0,tan θ>0或sin θ>0,tan θ<0, 若sin θ>0,tan θ<0,所以θ在第二象限. 若sin θ<0,tan θ>0,则θ在第三象限. 答案:二或三

3.因为|sin x|=sin x,所以sin x≥0, 所以角x的终边在第一、二象限或x轴上或y轴的非负半轴上. 所以2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z,角x的取值集合是 {x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}. 答案:{x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Z}

【延伸探究】将典例1的条件去掉,求关于θ 的值域.

的函数y ? sin
| sin

? ? cos ? | | cos

? ? tan ? | | tan

? ?|

【解析】显然角θ的终边不可能落在坐标轴上,

角θ的终边落在第一象限时,

角θ的终边落在第二象限时,

y ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1?1?1 ? 3. sin ? cos ? tan ?

y ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? 1?1?1 ? ?1. sin ? ?cos ? ?tan ?

角θ的终边落在第三象限时,
y ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? ?1?1?1 ? ?1. ?sin ? ?cos ? tan ?
角θ的终边落在第四象限时,
y ? sin ? ? cos ? ? tan ? ? ?1?1?1 ? ?1. ?sin ? cos ? ?tan ?
所以 y ? sin ? ? cos ? ? tan ? 的值域是{-1,3}.
| sin ? | | cos ? | | tan ? |

【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律

【变式训练】已知角α 的终边过点(3a-9,a+2)且cosα ≤0,sinα >0, 则实数a的取值范围是________.
【解题指南】先确定角α 的终边的位置,然后列出不等式组求a的取 值范围.

【解析】因为cosα≤0,sinα>0,

所以角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上,

因为α终边过(3a-9,a+2),

所以

?3a ? 9 ? 0, ??a ? 2>0,

所以-2<a≤3.

答案:-2<a≤3

【补偿训练】确定下列各式的符号. (1)sin2014°. (2)cos 11π . (3)sin4·cos4.
6
【解题指南】先确定各角所在的象限,然后判断符号. 【解析】(1)2014°=360°×5+214°, 所以2014°为第三象限的角, 所以sin2014°<0.

(2)11 ?为第四象限的角,

6

所以

cos

11 6

?>0.

(3)4∈ (?,3? ),
2

所以4 rad为第三象限的角.

所以cos 4<0,sin4<0.

所以sin4·cos4>0.

类型三 诱导公式一的应用 【典例】1.(2015·武汉高一检测)sin(-660°)=( )

A.1

B. 3

C.? 1

D.? 3

2

2

2

2

2.已知P(2,-3)是角θ 终边上一点,则tan(2π +θ )等于( )

A. 3

B. 2

C.? 3

D.? 2

2

3

2

3

【解题探究】1.典例1中,在0°~360°内与-660°终边相同的角是 什么? 提示:因为-660°=-720°+60°,所以60°与-660°终边相同. 2.典例2中,如何计算tanθ ?tan(2π +θ )与tanθ 有什么关系? 提示:依据任意角的正切函数的定义计算tanθ . tan(2π +θ )=tanθ .

【解析】1.选B.sin(-660°)=sin(-720°+60°)

=sin 60°= 3 .
2
2.选C.因为P(2,-3)是角θ终边上一点,

所以tan θ= ?3 ? ? 3,所以tan(2π+θ)=tan θ=
22

? 3. 2

【方法技巧】应用诱导公式一化简求值的步骤
(1)将已知角化为 k·360°+α (k为整数,0°≤α <360°)或 2kπ +β (k为整数,0≤β <2π )的形式. (2)将原三角函数值化为角α 的同名三角函数值. (3)借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求
值的目的.

【拓展延伸】公式一的意义 诱导公式一体现了三角函数值“周而复始”的变化规律,即角α 的终 边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.

【变式训练】sin 585°的值为( )

A.? 2

B. 2

C.? 3

D. 3

2

2

2

2

【解析】选A.sin 585°=sin(360°+225°)=sin 225°.

由于225°是第三象限角,且终边与单位圆的交点为 (? 2 ,? 2 ),
22
所以sin 225°= ? 2 .
2

【补偿训练】点A(x,y)是-300°角终边与单位圆的交点,则

为( )

A.3

B.? 3

C. 3

D.? 3

3

3

【解析】选A.x=cos(-300°)=cos(-360°+60°)

y 的值
x

=cos 60°= 1,
2
y=sin(-300°)=sin(-360°+60°)

=sin 60°= 3 .所以 y ? 3.

2

x

易错案例 任意角三角函数定义的应用

【典例】(2015·孝感高一检测)角α 的终边经过点P(x,4),且cos

α

=

x 5

,则sin

α =____.

【失误案例】

【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论.实 际上本题中要分x=0和x≠0两种情况讨论.

【自我矫正】点P(x,4)到原点的距离
r ? x2 ?16,
(1)当x=0时,r=4.

由三角函数的定义,有 sin ? ? 4 ? 1,
4

(2)当x≠0时,由cos α= x ,得 x ? x .

5

x2 ?16 5

所以 x2 ?16 =5,即r=5.

由三角函数的定义,有

sin

?

?

4. 5

4

答案: 5 或1

【防范措施】 1.理解定义明确关键量 在利用定义求三角函数值时,要用到角的终边上异于原点的任意一点 的坐标和它到原点的距离.解题时要首先明确有关关键量. 2.注意分类讨论 已知终边上一点的坐标,求三角函数值. 若终边上的已知点的坐标确定,则三角函数值唯一.若终边上的已知 点的坐标以参数形式给出,需判断角终边所在的位置,若不能确定, 需对参数分类讨论.

编后语
? 有的同学听课时容易走神,常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了;有的学生,虽然留心听讲,却常常“跟不上步伐”,思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路,否则,教师讲得再好,新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢?以下的听课方法值得同学们学习:
? 一、“超前思考,比较听课”
? 什么叫“超前思考,比较听课”?简单地说,就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走,还要力争走在老师思路的前面,用自己的思路和老师的思路进行对 比,从而发现不同之处,优化思维。
? 比如在讲《林冲棒打洪教头》一文,老师会提出一些问题,如林冲当时为什么要戴着枷锁?林冲、洪教头是什么关系?林冲为什么要棒打洪教头???????
? 老师没提了一个问题,同学们就应当立即主动地去思考,积极地寻找答案,然后和老师的解答进行比较。通过超前思考,可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上,保证“好钢用在刀刃上”,从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较,还可以发现自己对新知识理解的不妥之处,及时消除知识 的“隐患”。
? 二、同步听课法
? 有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题,比如老师讲到一道很难的题目时,同学们听课的思路就“卡壳“了,无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢?
? 如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题,同学们应马上举手提问,争取让老师解释得在透彻些、明白些。
? 如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律,而接下去就要用它去解决问题,这种情况下大家应当先承认老师给出的结论(公式或定律)并非继续听下去,先把问题记 下来,到课后再慢慢弄懂它。
? 尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏,要善于抓住老师讲解中的关键词,构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙,猜想老师还会讲什么,会怎样讲, 怎样讲会更好,如果让我来讲,我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。

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