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高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件2北师大版必修 (2)

高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积课件2北师大版必修 (2)

2.5 从力做的功到向量的数量积

【知识提炼】 1.向量的夹角与投影 (1)夹角 ①定义:已知两个非零向量a和b,作 OA =a, OB =b,则 _∠__A_O_B_=_θ__叫作向量a与b的夹角; ②范围:_0_°__≤__θ__≤__1_8_0_°__;

③大小与向量共线、垂直的关系:θ =

0°?a与b_同__向__, 180°?a与b_反__向__, 90°?a_⊥__b.

(2)投影 ①定义:如图所示:OA =a,OB =b,过点B作BB1垂直于直线 OA,垂足为B1,则OB1=_|_b_|_c_o_s__θ__. _|_b_|_c_o_s__θ__叫做向量b在a 方向上的投影数量(简称投影).

②大小与夹角的关系:

夹角 射影

0° _|_b_|_

锐角 _正__值__

90° _0 _

钝角 _负__值__

180° _-_|_b_|_

2.向量的数量积 (1)定义:已知两个向量a与b,它们的夹角为θ ,我们把 _|_a_|_|_b_|_c_o_s__θ__叫作a与b的数量积(或内积),记作_a_·__b_,即 a·b= _|_a_|_|_b_|_c_o_s__θ__.

(2)几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影 _|_b_|_c_o_s__θ__的乘积,或b的长度_|_b_|_与a在b方向上投影 _|_a_|_c_o_s__θ__的乘积.
(3)物理意义:力对物体做功,就是力F与其作用下物体的位移 s的数量积_F_·__s_.

(4)性质: ①若e是单位向量,则e·a=a·e= _|_a_|_c_o_s__θ__; ②a⊥b?_a_·__b_=_0_;(其中a,b为非零向量);
③|a|= a a;
ab
④cos θ =___|_a_||_b_|__(|a||b|≠0);
⑤对任意两个向量a,b,有 |a·b|_≤__|a||b|.

(5)运算律: 交换律:a·b=_b_·__a_. 结合律:(λ a)·b= _λ__(_a_·__b_)_= _a_·__(_λ__b_)_. 分配律:a·(b+c)=_a_·__b_+_a_·__c_.

【即时小测】 1.思考下列问题: (1)向量的夹角与直线的倾斜角的范围相同吗? 提示:不相同.向量的夹角范围为[0,π ],而直线的倾斜角范围为 [0,π ). (2)影响数量积的大小的因素有哪些? 提示:影响数量积的大小的因素有向量的模及其夹角的大小.

2.若e1,e2是两个平行的单位向量,则下面结果正确的是 ( )

A.e1·e2=1

B.e1·e2=-1

C.|e1·e2|=1

D.e1·e2<1

【解析】选C.由于e1,e2是两个平行的单位向量,设其夹角为θ ,则

|cosθ |=1,所以|e1·e2|=|cosθ |=1.

3.若a·b>0,则a与b的夹角θ 的取值范围是 ( )

A.[0, ? )

B.[ ? , ?]

C.( ? , ?]

D.( ? , ?)

2

2

2

2

【解析】选A.因为a·b>0,所以cosθ >0,所以θ ∈ [0, ? ) .

2

4.若e1,e2是夹角为

? 3

的单位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,则a·b等于

()

A.1

B.-4

C.- 7

D. 7

2

2

【解析】选C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)

= -6e12+e1 e2+2e22

=-6|e1|2+|e1||e2|cos ? +2|e2|2

=-6×12+1×1× 1

2
+2×12=-

7

.

2

2

5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,则a·b=________. 【解析】由a∥b,可知a与b的夹角为0或π ,故a·b=±30. 答案:±30

【知识探究】 知识点1 向量的数量积 观察如图所示内容,回答下列问题:

问题1:向量的数量积可正、可负、可为零,其决定因素是什么? 问题2:向量数量积a·b中的“·”能否省去?

【总结提升】 1.数量积的写法及与实数乘积的区别 两向量a,b的数量积也称作内积,写成a·b,其应与代数中的a,b的乘积 ab区分开来,其中“·”是一种运算符号,不同于实数的乘法符号.在向 量运算中既不能省略,也不能用“×”代替.

2.数量积运算的结果 (1)向量线性运算的结果是一个向量,但两个向量的数量积是一个数量. (2)由于0°≤θ ≤180°,所以a·b可以为正数、负数和零,且当 0°≤θ <90°时,a·b>0;当θ =90°时,a·b=0;当90°<θ ≤180° 时,a·b<0.

(3)若a为零向量,则|a|=0,从而a·b=0,故零向量与任一向量的数量积 为0. (4)a·a=a2=|a|2. (5)两个单位向量的数量积等于它们的夹角的余弦值.

知识点2 数量积的性质及运算律 观察如图所示内容,回答下列问题:
问题1:向量的数量积有什么重要的性质? 问题2:数量积与实数乘积有什么差异?

【总结提升】 1.数量积五条性质的应用 性质(1)可以帮助理解数量积的几何意义; 性质(2)可以解决有关垂直的问题; 性质(3)可以求向量的长度; 性质(4)可以求两向量的夹角; 性质(5)可以解决有关不等式的问题,当且仅当a∥b时,等号成立.

2.数量积运算遵循的运算律及常用公式 (1)遵循的运算律:数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律, 不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).这是由于(a·b)c表示 一个与c共线的向量,而a(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定 共线.

(2)常用公式及注意点: ①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2; ②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2; ③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2. 注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.

【题型探究】

类型一 平面向量数量积的概念及运算

【典例】1.|a|=2,向量a与向量b的夹角为120°,则向量a在向量b方

向上的射影等于 ( )

A.2

B.120°

C.-1

D.由向量b的长度确定

2.已知|a|=3,|b|=6,当(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a与b的夹角是60°时,

分别求a·b,a·(a+b).

【解题探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么? 提示:|a|cosθ . 2.a∥b时,两向量的夹角是多少? 提示:若a与b同向,则它们的夹角θ =0°,若a与b反向,则它们的夹角 θ =180°.

【解析】1.选C.根据平面向量数量积的几何意义可知 |a|cos120°=2×( ? 1 ) =-1.
2
2.(1)当a∥b时,若a与b同向,则它们的夹角θ=0°, 所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18, a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27. 若a与b反向,则它们的夹角θ=180°, 所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18, a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.

(2)当a⊥b时,它们的夹角θ =90°,
所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.
(3)当a与b的夹角是60°时,
有a·b=|a||b|cos60°=3×6× 1 =9.
2
a·(a+b)=a2+a·b=18.

【方法技巧】 1.求平面向量数量积的流程

2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的运算技巧及注意点 (1)技巧:类似于实数多项式的运算,将运算转化为向量a,b的数量积 运算. (2)注意点:①a与b的数量积不可书写或认为是ab, ②a2=|a|2的应用.

【拓展延伸】数量积运算时的两个注意点 (1)要找准两向量的夹角. (2)注意向量数量积的运算律的应用.

【变式训练】已知正三角形ABC的边长为1.求:
?1? AB,AC. ?2?AB BC.

【解析】(1)AB与AC 的夹角为60°,
所以 AB AC= AB AC cos 60?=1?1? 1=1 .
22
(2)因为 AB与BC 的夹角为120°, 所以AB AC= AB BC cos 120?=1?1?(-1 )=-1 .
22

类型二 利用数量积求向量的模 【典例】已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为 ? .求|a+b|,|a-b|.
3
【解题探究】联想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,应先求什么?
提示:应求|a+b|2与|a-b|2,进而可知先求a·b.

【解析】方法一:由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×1=25 .
22
因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b =25+25+2× 25 =75,
2
所以|a+b|=5 3 .
同理因为|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,
所以|a-b|=5.

方法二:由向量线性运算的几何意义求作菱形ABCD,使AB=AD=5,
?DAB= ? , 3
设 AB=a,AD=b, 如图, 则 | a-b |= BD = AB=5,
| a+b |= AC =2 AE =2? 3 ?5=5 3. 2

【延伸探究】
1.(改变问法)本例的条件不变求|3a+b|.
【解析】由题意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5× 1=25 .
22
因为|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.
所以|3a+b|=5 3 .

2.(变换条件)本例的已知条件若改为“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”, 如何求|3a+b|的值?

【解析】因为|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2 =9×25-12a·b+4×25=325-12a·b, 又因为|3a-2b|=5, 所以325-12a·b=25,即a·b=25. 所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2 =9×25+6×25+25=400. 所以|3a+b|=20.

【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模平方,与向量数量积联系,并灵活应用 a2=|a|2,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|= a2 ,此性质可用来求向量的模,可以实现实 数运算与向量运算的相互转化. (3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b) =a2-b2等.

【补偿训练】已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求: (1)|a+b|. (2)|3a-4b|.

【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4. (1)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2 =42+2×(-4)+22=12, 所以|a+b|=2 3 . (2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2 =9×16-24×(-4)+16×4=304, 所以|3a-4b|=4 19 .

【延伸探究】 1.(变换条件)本例条件变为“已知向量a与b的夹角为120°,且 |a|=4,|a+b|=2 3 ”,求|b|.

【解析】因为a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|. 所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2 =16-4|b|+|b|2. 因为|a+b|=2 3 ,即|a+b|2=12, 所以16-4|b|+|b|2=12. 解得|b|=2.

2.(改变问法)若本例删去条件“已知向量a与b的夹角为120°,”求 |a+b|的取值范围. 【解析】设向量a与b的夹角为θ,则 a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ. |a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ. 因为θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1], 所以|a+b|2∈[4,36], 则|a+b|∈[2,6].

类型三 向量的夹角或垂直 【 典 例 】1. 已 知 |a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29, 则 a 与 b 夹 角 θ =________. 2.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a与b的夹角 θ.

【解题探究】1.典例1中,若求a与b的夹角θ ,还需要什么? 提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b. 2.要求a与b的夹角θ ,关键是先求哪些量? 提示:关键是先求a·b.

【解析】1.因为(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32
=-31+a·b,
所以-31+a·b=-29,
所以a·b=2,所以 cos? ? a b ? 2 ? 1 .
|a||b| 1? 4 2
又因为0≤θ≤π,所以θ= ? .
3
答案: ?
3

2.因为a+b+c=0,

所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.

所以(a+b)2=c2,

即a2+2a·b+b2=c2.

所以a·b= c2-a2-b2 = c 2- a 2- b 2

2

2

=49-9-25=15 .

2

2

又因为a·b=|a||b|cosθ,

所以 15 =3×5×cosθ.

2

即cosθ= 1 ,因为θ∈[0,π],所以θ= ? .

2

3

【延伸探究】典例2中若条件不变,是否存在实数μ 使μ a+b与a-2b垂 直?存在,求出μ 值,不存在,说明理由. 【解析】假设存在实数μ使μa+b与a-2b垂直. 可得(μa+b)·(a-2b)=0. 即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0. 所以9μ-2×25-2μ×15+15=0.
22
解得μ=- 85 .
12
所以存在μ=- 85 ,使得μa+b与a-2b垂直.
12

【方法技巧】 1.求向量夹角的解题流程及注意事项 (1)解题流程:

(2)注意事项 在 个 别 含 有 |a|,|b| 与 a·b 的 等 量 关 系 式 中 , 常 利 用 消 元 思 想 计 算 cosθ 的值. 2.求cosθ 的两种情形 (1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式计算. (2)得到a·b,|a|,|b|之间的关系代入公式计算.

3.两向量垂直的确定与应用 (1)确定:通常利用两向量垂直的充要条件,即计算a·b是否为0. (2)应用:若a⊥b,则a·b=0可求其中参数的值.

【变式训练】(2015·重庆高考)若非零向量a,b满足 (a-b) ? (3a ? 2b),则a与b的夹角为 ( )

a ? 2 2 b且,
3

A. ?

B. ?

C. 3?

D.?

4

2

4

【解题指南】解答本题可以根据相互垂直的向量的数量积为零进行计

算,然后求出夹角.

【解析】选A.设a与b的夹角为θ, 因为(a-b) ? (3a ? 2b),

|a| ? 2 2 |b|, 3

所以 (a-b) (3a ? 2b) ? 3|a |2 -2|b |2 -a b

? 8 b 2-2 b 2-2 2 b 2 cos? ? 0,

3

3

解得cosθ= 2 ,因为θ∈[0,π ] ,所以θ= ? .

2

4

【补偿训练】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与 7a-2b垂直,求a与b的夹角. 【 解 题 指 南 】 由 (a+3b)·(7a-5b)=0 及 (a-4b)·(7a-2b)=0 建 立 a·b 与b2以及|a|与|b|的等量关系,可求a与b的夹角.

【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,

即7a2+16a·b-15b2=0 ①

(a-4b)·(7a-2b)=0,

即7a2-30a·b+8b2=0 ②

①,②两式相减得2a·b=b2,所以a·b= b12,

2

代入①,②中任一式得a2=b2,设a,b的夹角为θ,



cos?=

a a

b b

1 b2 =2
b2

=1, 2

因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.

2.设n和m是两个单位向量,其夹角是60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m 的夹角.

【解析】m和n是两个单位向量,其夹角是60°,

所以m·n=|m|×|n|×cos60°= 1 ,
2
设a=2m+n与b=2n-3m的夹角为α,

所以 cos?= a b =

(2m+n) (2n-3m)



-7 2

=-1,

a b (2m+n)2 (2n-3m)2 7 ? 7 2

因为0°≤α≤180°,所以α=120°.

即a=2m+n与b=2n-3m的夹角为120°.

易错案例 根据向量的夹角求范围 【典例】设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若 向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

【失误案例】

【错解分析】分析上面的解析过程,你知道错在哪里吗? 提示:错误的根本原因在于忽视了向量的夹角的取值范围.(2te1+ 7e2)·(e1+te2)<0包括了向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为π 即共线且方 向相反的情况,故应排除这种情况.

【自我矫正】由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角θ为钝角,得 cosθ= (2te1+7e2 ) (e1+te2 ) ? 0,
| 2te1+7e2 || e1+te2 |
即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,
化简得2t2+15t+7<0.
解得-7<t<- 1 .
2
当夹角为π时,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此时夹角不是钝角.

设2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,则

?2t=?, ??=- 14,

??7=?t,解得

? ?

??? ? 0,

?t=- ?

14 . 2

所以所求实数t的取值范围是 (-7,- 14 )?(- 14 ,-1 ).

2

2

2

【防范措施】
1.注意向量夹角的取值范围 由公式cosθ = a b 可知若θ 为钝角,则cosθ <0,即a·b<0,同时也
ab
应注意向量a,b共线且反向这一情况,要排除掉.如本题,若没有注意到 这一情况,将会造成失分.

2.注意问题转换的等价性 数量积的符号同向量夹角的关系如下:对于非零向量a和b,①a·b=0? a⊥b;②a·b>0?<a,b>为锐角或零角,③a·b<0?<a,b>为钝角或平 角.例如,本例利用2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得等价关系式.

3.注意思考问题的全面性

由向量的夹角求参数的范围时,务必注意思考问题的全面性,如本例应

排除向量2te1+7e2与e1+te2共线且反向的特殊情形,即求出-7<t<-

1 2

后,应注意排除夹角为平角的情形.


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