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线性代数讲义1_矩阵与行列式_图文

线性代数讲义1_矩阵与行列式_图文

线性代数讲义1 矩阵与行列式
张宏浩

2015/9/23

1

教材

邓小成等主编,《简明线性代数》,中国人民大学出版社
2015/9/23 2

向量的概念
n 个数组成的有序数组 ? ? (a1 , a2 ,?, an ) 称为
一个 n 维向量。

? 的分量或坐标。 a1 , a2 ,?, an 称为向量
行向量

? ? (a1 , a2 ,?, an )
? a1 ? ? ? ? a2 ? ? ?? ? ? ? ? ?a ? ? n?

列向量



? ? (a1 , a2 ,?, an )T

2015/9/23

3

分量全部为零的向量称为零向量,记为 0 。 向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的加法、数乘定义 如下:
设 ? ? (a1 , a2 ,?, an ),? ? (b1 , b2 ,?, bn ),


? ? ? ? (a1 ? b1 , a2 ? b2 ,?, an ? bn ),
k? ? (ka1 , ka2 ,?, kan ) .

2015/9/23

4

线性变换与系数矩阵:一个简单的例子

2015/9/23

5

一般的线性变换和系数矩阵
设有从变元 x1,…, xn 到变元 y1,…, ym 的线性变换

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ? y2 ? a21 x1 ? a22 x2 ? ? ? a2 n xn ? ???? ? ? ? ym ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? a11 ?a A ? ? 21 ? ? ?a ? m1 a12 ? a1n ? a22 ? a2 n ? ? ? ? ? am 2 ? amn ? ?



称矩阵 A 为线性变换的系数矩阵.
2015/9/23 6

矩阵及其线性运算
? m?n 矩阵

? a11 ? a21 ? ? ? ? am 1

a12 ? a1n ? a22 ? a2 n ? ? ? ? ? am 2 ? amn ?

? aij : 矩阵的第 i 行第 j 列的元素, 简称 (i, j)元. ? 用粗体大写字母表示矩阵, 以上矩阵记为 A ? (aij). ? 当标明矩阵 A 的行列数时, 表示为 Am?n , 或 (aij)m?n . ? 只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量. n 维行向量(行矩阵)记作

A ? (a1 , a2 ,?, an )
2015/9/23 7

? 同型矩阵 若两个矩阵都是m×n矩阵, 则称它们是同型矩阵.

? 相等矩阵 如果 A ?(aij) 与 B ?(bij) 是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等, 即

aij ? bij ( i ? 1,?, m; j ? 1,?, n)
那么称矩阵 A 与矩阵 B 相等, 记为 A ? B. ? 零矩阵 所有元素为 0 的矩阵称为零矩阵, 用 0 记之. 注: 不同型的零矩阵是不相等的.
2015/9/23 8

? 两矩阵的和 设有两个 m?n 矩阵 A?(aij) 和 B?(bij), 矩阵 A 与 B 的和记作 A?B, 规定为

? a11 ? a1n ? ? b11 ? b1n ? A? B ? ? ? ? ??? ? ? ? ?a ? ?b ? ? a ? b mn ? ? m 1 mn ? ? m1 ? a11 ? b11 ? a1n ? b1n ? ? ?? ? ? ?a ? b ? ? a ? b mn mn ? ? m1 m1
? 负矩阵 ? 矩阵的减法

矩阵 A?(aij) 的负矩阵定义为 -A?(-aij).

2015/9/23

? b11 - a11 ? b1n - a1n ? ? ? ? B - A ? B ? ( - A) ? ? ?b -a ? ? b a m1 mn mn ? ? m1

9

? 数与矩阵的乘积 数 k 与矩阵 A?(aij) 的乘积称为数乘运算, 记作 kA, 规定为

? a11 ? a1n ? ? ka11 ? ka1n ? kA ? k ? ? ? ??? ? ? ? ?a ? ? ka ? ? a ? ka mn ? ? m1 mn ? ? m1
? 矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. ? 线性运算律 设 A, B, C 为同型矩阵, k, l 为数, 则成立 (1) (2) (3)

A ? B ? B ? A; ( A ? B ) ? C ? A ? ( B ? C ); ( kl ) A ? k ( lA);
k ( A ? B ) ? kA ? kB; ( k ? l ) A ? kA ? lA.
10

2015/9/23

练习1:

设 A?2B -C ? 0, 其中

?x A?? ?7
求 x, y, u, v 的值. 解

0? ?u v? ? 3 -4 ? , B?? , C ?? ? ? ? y? y 2 x v ? ? ? ? 2v ? 4 ? y ? 4-v? ?

? x ? 2u - 3 A ? 2B - C ? ? ?7? 2y - x
? x ? 2u - 3 ? 0 ? 2v ? 4 ? 0 ?7 ? 2 y - x ? 0 ? ? y?4-v ? 0 x ? -5, y ? -6, u ? 4, v ? -2.

由 A?2B -C ? 0, 得

解得
2015/9/23

11

到从 矩连 阵续 的两 乘次 法线 性 变 换

设有两个线性变换

? z1 ? a11 y1 ? a12 y2 ? ? z2 ? a21 y1 ? a22 y2
将(2)代入(1), 得

(1)



? y1 ? b11 x1 ? b12 x2 ? ? y2 ? b21 x1 ? b22 x2

(2)

? z1 ? (a11b11 ? a12b21 ) x1 ? (a11b12 ? a12b22 ) x2 ? ? z2 ? (a21b11 ? a22b21 ) x1 ? (a21b12 ? a22b22 ) x2

(3)

线性变换(3)称为由线性变换(1)与线性变换(2)复合而成的复合线性变换. 分别记线性变换(1), (2), (3) 的系数矩阵为 A, B, C, 定义 C ? AB, 即

? a11 a12 ?? b11 b12 ? ? a11b11 ? a12b21 a11b12 ? a12b22 ? ?? ?a ?? ? ? a b b a b ? a b a b ? a b 22 ?? 21 22 ? ? 21 11 22 21 21 12 22 22 ? ? 21 2015/9/23 12

? 两矩阵的乘积 设

A ? (aik )m?l , B ? (bkj )l?n , 记

cij ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ail blj ( i ? 1,?, m; j ? 1,?, n)
称矩阵

C ? (cij )m?n为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C ? AB.

? AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.

cij ? (ai 1

? b1 j ? ? ? ? ail ) ? ? ? ? ai 1b1 j ? ? ? ail blj ? blj ? ? ?

例如: ? a 11

?a ? 21 2015/9/23

a12 ?? b11 b12 ? ? a11b11 ? a12b21 a11b12 ? a12b22 ? ?? ?? ? a22 ?? b21 b22 ? ? a21b11 ? a22b21 a21b12 ? a22b22 ? ? 13

? 两矩阵的乘积 设

A ? (aik )m?l , B ? (bkj )l?n , 记

cij ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ail blj ( i ? 1,?, m; j ? 1,?, n)
称矩阵

C ? (cij )m?n为矩阵 A 与 B 的乘积, 记为 C ? AB.

? AB 中第 i 行第 j 列的元素为 A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积.
? 乘积 AB 存在时, 要求 A 的列数与 B 的行数相等. ? 很可能 AB 有意义, 而 BA 没有意义. ? 零矩阵的运算性质

A ? O ? A, A ? ( - A) ? O , 0 A ? O, kO ? O; Om?l Al?n ? Om?n , Am?l Ol?n ? Om?n
2015/9/23 14

练习2 计算

4? ? 1 2 3 ?? 6 ? - 2 0 1 ? ? 3 -5 ? . ? 3 4 -1 ? ? -7 8 ? ? ?? ?



4? ? 1 2 3 ?? 6 ? - 2 0 1 ? ? 3 -5 ? ? 3 4 -1 ? ? -7 8 ? ? ?? ? 1 ? 4 ? 2 ? ( -5) ? 3 ? 8 ? ? 1 ? 6 ? 2 ? 3 ? 3 ? ( -7) ? ? -2 ? 6 ? 0 ? 3 ? 1 ? ( -7) -2 ? 4 ? 0 ? ( -5) ? 1 ? 8 ? ? 3 ? 6 ? 4 ? 3 ? ( -1) ? ( -7) 3 ? 4 ? 4 ? ( -5) ? ( -1) ? 8 ? ? ? ? -9 18 ? ? ? -19 0 ? ? 37 -16 ? ? ?

2015/9/23

15

练习3 设

? 1 2? ? 2 -4 ? 计算 AB, BA. A?? ,B?? , ? ? ? 0 0? ? -1 2 ?



? 0 0? ? 2 4? AB ? ? , BA ? ? ? ? 0 0 1 2 ? ? ? ?

? 矩阵的乘法不满足交换律. ? 在 AB 中, 称用 A 左乘 B, 或称用 B 右乘 A. ? 由 AB ? O, 不能断言 A ? O 或 B ? O.

? 乘法运算律
假设以下有关运算可行, 则有:
(1) (2) (3)

( AB )C ? A( BC ); A( B ? C ) ? AB ? AC ; ( A ? B )C ? AC ? BC ; k ( AB ) ? ( kA) B ? A( kB ).
16

2015/9/23

线性变换的矩阵表示
线性变换

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ???? ? ? ? ym ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? y1 ? ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? ? ? ? ??? ? ? y ? ? a x ? a x ??? a x ? m2 2 mn n ? ? m ? ? m1 1

可写成矩阵形式

利用矩阵乘法, 上式记为矩阵形式 y ? Ax, 其中

? a11 ? a1n ? ? y1 ? ? x1 ? y ? ? ? ?, A ? ? ? ? ?, x ? ? ? ? ?a ? ?y ? ?x ? ? a mn ? ? m? ? n? ? m1
2015/9/23 17

线性方程组的矩阵表示
? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 线性方程组 ? ???? ? ? ? am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bm

可记为矩阵形式 Ax ? b, 其中
? a11 ? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? A?? ? ? ?, x ? ? ? ?, b ? ? ? ? ?a ? ?x ? ?b ? ? a mn ? ? n? ? m? ? m1

称矩阵 A 为线性方程组的系数矩阵. 称矩阵
? a11 ? a1n ( A, b) ? ? ? ? ?a ? m1 ? amn b1 ? ? ? bm ? ?

为线性方程组的增广矩阵. 当b ? 0 时, 称方程组为齐次的; 当b ? 0 时, 称方程组为非齐次的.
2015/9/23 18

练习4: 已知两个线性变换

? z1 ? 2 y1 - y2 - 3 y3 ? , ? z 2 ? y2 ? 2 y3 ? ? z 3 ? - y3
求从 x1, x2, x3 到 z1, z2, z3 的线性变换.

? y1 ? 3 x2 - x3 ? ? y2 ? x1 ? x3 ? ? y3 ? 3 x 2

? z1 ? ? 2 -1 -3 ? ? y1 ? ? z ? ? ? 0 1 2 ?? y ? 解 ? 2 ? ? 0 0 -1 ? ? 2 ? ? ? y3 ? ? z3 ? ? ? 2 -1 -3 ?? 0 3 -1 ? ? x1 ? ? -1 -3 -3 ? ? x1 ? ? ? 0 1 2 ?? 1 0 1 ? ? x2 ? ? ? 1 6 1 ? ? x2 ? ? 0 0 -1 ?? 0 3 0 ? ? x ? ? 0 -3 0 ? ? x ? ? ?? ?? 3 ? ? ?? 3 ? ? z1 ? - x1 - 3 x2 - 3 x3 ? 所求为 ? z2 ? x1 ? 6 x2 ? x3 ? ? z 3 ? -3 x 2 2015/9/23 19

?n

阶方阵

行数和列数都等于 n 的矩阵称为 n 阶方阵. ? 当标明方阵 A 的阶数时, 用 An 表示. ? 三角矩阵 上三角[矩]阵 下三角[矩]阵

? a11 ? 0 ? ? ? ? 0 ? ? a1 ?0 ? ? ? ?0 ? 2015/9/23

a12 ? a1n ? a22 ? a2 n ? ? ? ? ? 0 ? ann ? ?

? a11 ?a ? 21 ? ? ?a ? n1

0 ? 0 ? a22 ? 0 ? ? ? ? ? an 2 ? ann ? ? ? ? ? ? a2 b2 ? ? ? ? ? ? ? 0 ? an bn ? ?
20

? 上(下)三角阵的乘积也是上(下)三角阵

? ? ? ? ? b1 a2 ? ? ? ? 0 ?? ? ? ?? ? ?0 0 ? an ? ??

? ? ? ? ? a1b1 b2 ? ? ? ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? bn ? ? ?

? 对角矩阵

? ?1 ?0 Λ ? diag (?1 , ?2 ,?, ?n ) ? ? ? ? ?0 ?

?2
? 0

0

? ? ? ? ? ?n ? ? ? ? 0 0 ?

? 对角阵的运算性质

[diag(a1 ,?, an )][diag(b1 ,?, bn )] ? diag(a1b1 ,?, anbn )
?

单位矩阵

?1 ?0 I ?? ? ? ?0

0 ? 0? 1 ? 0? ? ?? ? 0 ? 1?

(单位矩阵有时也用 E 记之)

? 单位矩阵的运算性质

I m Am?n ? Am?n , Am?n I n ? Am?n
2015/9/23 21

? 方阵的幂
设 A 是方阵, 由 k 个 A 组成的乘积 A…A, 称为方阵 A 的 k 次幂, 记为 Ak. 规定 A0 ? I. ? 方阵幂的性质

Ak Al ? Ak ? l , ( Ak )l ? Akl
? 对角阵的幂
k k [diag(a1 ,?, an )]k ? diag(a1 ,? , an )

? 当 A 与 B 可交换, 即 AB ? BA 时, 有下列几个公式:

(1)
(2) (3)

( AB ) ? A B ;
r n- r r ( A ? B )n ? ? C n A B ; r ?0 n

n

n

n

n n n-1 n- 2 n-1 A B ? ( A B )( A ? A B ? ? ? B ). 2015/9/23

22

练习5



?1 a? A?? , ? ?0 1?
2



An .

解 先计算低次幂, 观察特点.

? 1 a ?? 1 a ? ? ? 1 2a ? A ?? ?? 0 1 ? ? 0 1 ? 0 1 ? ? ?? ? ?

假设

? 1 2a ?? 1 a ? ? 1 3a ? A ? A A?? ?? ?? ? ? 0 1 0 1 0 1 ? ?? ? ? ? ? 1 ka ? 则有 Ak ? ? , ? ?0 1 ?
3 2

A
因此
2015/9/23

k ?1

? 1 ka ?? 1 a ? ? 1 ( k ? 1)a ? ? A A?? ?? ?? ? ? 0 1 0 1 0 1 ? ?? ? ? ?
k

? 1 na ? An ? ? ? 0 1 ? ?

23

练习6



? 2 3? A?? , ? ? 4 6?
2



An .

解1

? 2 3 ?? 2 3 ? ? 16 24 ? ? 2 3? A ?? ?? 4 6 ? ? ? 32 48 ? ? 8 ? 4 6 ? ? 8 A 4 6 ? ?? ? ? ? ? ?

A3 ? A2 A ? (8 A) A ? 8 A2 ? 82 A
假设

Ak ? 8k -1 A,

则有

因此 解2

Ak ?1 ? Ak A ? (8k -1 A) A ? 8k -1 A2 ? 8k A An ? 8n-1 A.
? 1? A ? ? ? (2, 3) ? 2? ? 1? ? 1 ? n-1 n-1 ? 1 ? A ? ? ? [(2, 3) ? ?] (2, 3) ? 8 ? ? (2, 3) ? 8n-1 A ? 2? ? 2? ? 2?
n

2015/9/23

24

练习7

?a 1 0? n 设 A ? ? 0 a 1?, 求 A . ?0 0 a? ? ?

>>>



A ? aI ? B,

其中

? 0 1 0? ? 0 0 1? B ? ? 0 0 1 ? , B 2 ? ? 0 0 0 ? , Bk ? O (k ? 3) ? 0 0 0? ? 0 0 0? ? ? ? ?
因 aE 与 B 可交换, 于是 >>>

n( n - 1) n- 2 2 a B A ? (aI ? B) ? a I ? na B ? 2 n- 2 ? ? a n na n-1 1 n ( n 1) a 2 ? ? n n-1 ?? 0 a na ? ? ? n ? 0 ? 0 a ? ? 2015/9/23
n n
n n-1

25

矩阵的转置运算
? 转置矩阵 把矩阵 A 的各行作为相同序号的列, 形成一个新的 矩阵, 称为矩阵 A 的转置矩阵, 记为 AT 或 A?. 例如, 设

? 8 1 6? A ? ? 3 5 7? ? 4 9 2? ? ?
则有

—— 3 阶幻方 >>>

? 8 3 4? AT ? ? 1 5 9 ? ? 6 7 2? ? ?
试观察矩阵 A 有何特点?
2015/9/23 26

? 转置运算的性质

( A ? B) ? A ? B ; ( A ) ? A; T T (3) ( kA) ? kA ; (4) ( AB )T ? B T AT . (4)的证明 设 A ? (a ) B ? (bkj )l?n , 记 ik m?l ,
(1)

T T

(2)

T

T

T

AB ? C ? (cij ), BT AT ? D ? (d ji )
则有

cij ? ai 1b1 j ? ai 2b2 j ? ? ? ail blj (i ? 1,?, m; j ? 1,?, n) d ji ? b1 j ai 1 ? b2 j ai 2 ? ? ? blj ail (i ? 1,?, m; j ? 1,?, n)
于是
所以

cij ? d ji ( i ? 1,?, m; j ? 1,?, n)

D ? CT,



B T AT ? ( AB )T
2015/9/23 27

? 对称矩阵
设 A 为方阵, 若有 AT ? A , 就称 A 为对称矩阵. ? 反对称矩阵 设 A 为方阵, 若有 AT ? -A , 就称 A 为反对称矩阵. ? 任一方阵都可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和. 证明 设 A 为方阵, 记

则有

1 S ? ( A ? AT ), T ? 2 1 T T S ? ( A ? A) ? S , 2
A ? S ?T

1 ( A - AT ) 2 1 T T T ? ( A - A) ? -T 2
且有

所以 S 为对称阵, 而 T 为反对称阵,

2015/9/23

28

二元线性方程组与二阶行列式
用消元法解二元线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ?a x ? a x ? b 22 2 2 ? 21 1
①?a22 - ②?a12 消去 x2 得

① ②

(a11a22 - a12a21 ) x1 ? b1a22 - a12b2
②?a11 - ①?a21 消去 x1 得

(a11a22 - a12a21 ) x2 ? a11b2 - b1a21
当 a11a22 - a12a21 ? 0 时, 方程组的解为

2015/9/23

b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x1 ? , x2 ? a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21

29

? 二阶行列式

a11 a12 ? a11a22 - a12a21 a21 a22
? 对二元线性方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 记 ?a x ? a x ? b , 22 2 2 ? 21 1 a12 a11 , D2 ? a22 a21 b1 b2

a11 a12 b1 D? , D1 ? a21 a22 b2
当系数行列式 D ? 0 时,

方程组的解为 —— Cramer 法则

D1 D2 x1 ? , x2 ? D D

2015/9/23

b1a22 - a12b2 a11b2 - b1a21 x1 ? , x2 ? a11a22 - a12a21 a11a22 - a12a21

30

行列式的递推(或叫归纳)定义
? 三阶行列式 >>>

a11 a12 a21 a22 a31 a32

a13 a22 a23 ? a11 a32 a33

a23 a21 a23 a21 a22 - a12 ? a13 a31 a32 a33 a31 a33

? a11a22a33 ? a12a23a31 ? a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
? 对 3 阶矩阵 A ? (aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子 式, 记为 Mij. ? 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . ? 对 3 阶矩阵 A ? (aij), 记其相应的行列式为| A|, 则有

| A | ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ai 3 Ai 3 , ( i ? 1, 2, 3)
2015/9/23

(按第 i 行展开)
31

| A | ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? a3 j A3 j , ( j ? 1, 2, 3) (按第 j 列展开)

验证按第2,3行及第1列展开:

a1 a2 a3 b1 b2 b3 ? a1b2c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1 c1 c2 c3 ?b a c1 (a b2 b3 b2 c1 (a b2 c3 c1 b2 c3 a3 c3 2( 3c 1 - a2 1 1b 2 3 2c 1 2) 3b 2 -a 2c 3) ? b 1 3 3b 1) ? b 3 ( a2 1 - a1 a b2 a2 a b3a3 a a2 a1 a3a3 a a2 a1 a3 a2 1 1 2 ?c a -1b1 -? b c1 b2 ?c1 b3 2 3 b c2c2 c b3c3 c b2 b3c3 b b2 c2 1c1 c 1c1 b3 2
? 对 3 阶矩阵 A ? (aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 2 阶行列式称为元素 aij 的余子 式, 记为 Mij. ? 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . ? 对 3 阶矩阵 A ? (aij), 记其相应的行列式为| A|, 则有

| A | ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ai 3 Ai 3 , ( i ? 1, 2, 3)
2015/9/23

(按第 i 行展开)
32

| A | ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? a3 j A3 j , ( j ? 1, 2, 3) (按第 j 列展开)

? 对角线法则

a1 a2 a3 b1 b2 b3 ? a1b2c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 - a1b3c2 - a2b1c3 - a3b2c1 c1 c2 c3

?-2
练习8
解关于变量 ? 的方程

-2 2

-2 2 ? -5 4 ?0 4 ? -5

?-2


-2 2

-2 2 ? -5 4 4 ? -5

? (? - 2)(? - 5)2 - 16 - 16 - 16(? - 2) - 4(? - 5) - 4(? - 5) ? ? 3 - 12? 2 ? 21? - 10 ? (? - 10)(? - 1)2 >>>
原方程的解为
2015/9/23

?1 ? 10, ?2 ? ?3 ? 1.

33

? n阶行列式的归纳定义
? 假设 n-1 阶行列式已定义, 对 n 阶矩阵 A?(aij), 把删去第 i 行及第 j 列后所得的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式, 记为 Mij.

? 称 (-1)i+j Mij 为元素 aij 的代数余子式, 记为 Aij . ? n 阶方阵 A 的行列式记为det A(或| A|), 定义为

a11 ? a1n det A ? ?

? ? ? a1 j A1 j
j ?1

n

an1 ? ann

? n 阶行列式 det A 完全展开成一个和式, 共有 n! 项, 每一项由 A 中不同行不同列的 n 个元素的乘积构成, 带有确定的正负号.
2015/9/23 34

? Laplace [按行列展开]定理

>>>

行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即

| A | ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain , (i ? 1, 2,? , n)
| A | ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? ? ? anj Anj , ( j ? 1, 2,? , n)
练习9
计算 n 阶上三角行列式

a11 0 Dn ? ? 0


a12 ? a1n a22 ? a2 n ? a11a22 ? ann ? ? 0 ? ann

Dn ? ann Dn-1 ? annan-1,n-1 Dn- 2
? ? ? ann ? a22a11
35

2015/9/23

? Laplace [按行列展开]定理

>>>

行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余 子式乘积之和. 即

| A | ? ai 1 Ai 1 ? ai 2 Ai 2 ? ? ? ain Ain , (i ? 1, 2,? , n)
| A | ? a1 j A1 j ? a2 j A2 j ? ? ? anj Anj , ( j ? 1, 2,? , n)
练习10
计算 n 阶行列式

0 ? Dn ? 0 an


0 ? a n -1 0

? a1 ? ? 0 ? 0
( n-1)( n? 4) 2 ( -1) a

Dn ? an ? ( -1)n?1 Dn-1 ? anan-1 ? (-1)n?1? n Dn- 2 ? ? ? (-1)n?1? n??? 3 anan-1 ?a1 ?
n an-1 ? a1
36

2015/9/23

补注:

2015/9/23

37

行列式的性质
性质1 行列式 det A 与它的转置行列式 det AT 相等. 注: 由该性质可知, 以下对行而言的性质, 对列也成立. 性 质 2 行 列 式 中 某 一 行 的 所 有 元 素 的 公 因 子 可 以 提 到 行列式记号的外面. 推论1 有一行元素全为零的行列式值为零. 推论2 对 n 阶矩阵 A, 有 det (kA) ? kn det A. 性 质 3 若 行 列 式 某 一 行 的 元 素 都 是 两 数 之 和 , 拆开, 原行列式可以表为相应的两个行列式之和. 则 该 行

例如:
2015/9/23

a1a12 a2 a3 a a3 a13 a11 a11 a 111 a2a12 13 kb b1 ? c1 kb b21? c ? b1 b1 b2 b2b3 b3 ? c1 3 c? 2 2 bkb 3? 3 k c1a32 c2 c c c3 a33 a31 a31 a3 a 131 c2a32 33

a12 c2 a32

a13 c3 a33
38

性质4 对换两行, 行列式值反号.

证明 对换相邻两行. 设对换D ? det(aij)n 的r, r ?1行而得D1. 则 D1 的 r ?1 行及其余子式分别为 D 的 r 行及其余子式. 记 D 的余子式为 Mij , 由Laplace 定理, D1 按第 r ?1 行展开, 而 D 按第 r 行展开, 得
n j ?1

D1 ? ? arj ? (-1)r ?1? j M rj ? - ? arj ? (-1) r ? j M rj ? - D
j ?1

n

对换任意两行. 设对换 D 的 r, r ? k 行得 D1. 不难看出, D 可经过 2k -1 次对换相邻两行而得 D1. 于是 D1 ? (-1)2k -1 D ? - D

提示: 行号
2015/9/23

r , r ? 1,?, r ? k - 1, r ? k ?? ? r ? k , r , r ? 1,?, r ? k - 1 ?? ? r ? k , r ? 1,?, r ? k - 1, r

39

性质4 对换两行, 行列式值反号.
推论1 有两行全同的行列式, 其值为零. 推论2 若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零.

性质5 把行列式某一行的各元素乘以同一数, 然后加到 另一行对应的元素上去, 行列式的值不变.
例如

a1 a2 a3 a1 a2 a3 b1 b2 b3 ? b1 ? ka1 b2 ? ka2 b3 ? ka3 c1 c2 c3 c1 c2 c3

2015/9/23

40

练习11

证明

ax ? by ay ? bz az ? bx x ay ? bz az ? bx ax ? by ? (a 3 ? b 3 ) y az ? bx ax ? by ay ? bz z

y z x

z x y

证明

左式

ax ay ? bz az ? bx by ay ? bz az ? bx ? ay az ? bx ax ? by ? bz az ? bx ax ? by az ax ? by ay ? bz bx ax ? by ay ? bz

ax ay ? bz az by bz az ? bx ? ay az ? bx ax ? bz bx ax ? by az ax ? by ay bx by ay ? bz ax ay az by bz bx ? ay az ax ? bz bx by az ax ay bx by bz x ? a3 y z
2015/9/23

y z x

z x x ? b3 y y z

y z x

z x y

? 右式
41

练习12

证明

a2 b2 c2 d2

(a ? 1)2 (b ? 1)2 (c ? 1)2 (d ? 1)2 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1 2d ? 1 2a ? 1 2b ? 1 2c ? 1 2d ? 1

(a ? 2)2 (b ? 2)2 (c ? 2)2 (d ? 2)2 4a ? 4 4b ? 4 4c ? 4 4d ? 4 2 2 2 2 6 6 6 6

( a ? 3)2 ( b ? 3)2 ?0 2 ( c ? 3) ( d ? 3)2 6a ? 9 6b ? 9 6c ? 9 6d ? 9

证明

左式

a2 b2 ? 2 c d2 a2 b2 ? 2 c d2

2015/9/23

?0

42

行列式值的计算
行列式的计算基本过程就是利用性质逐步简化行列式的结构. 主要方法有两个: (1) 化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法;

(2) 利用 Laplace 定理的降阶法.
为了便于检查, 引进以下记号: ? 用 ri ? rj 表示对换第 i, j 行; ? 用 kri 表示第 i 行乘以非零数 k; ? 用 rj ?kri 表示把第 i 行的 k 倍加到第 j 行.

? 用 ci 表示第 i 列, 有相仿的记号.
2015/9/23 43

练习13

计算行列式

3 1 -1 2 - 5 1 3 -4 D? . 2 0 1 -1 1 -5 3 -3

解1 (化上三角形法)

1 -5 3 -3 1 - 5 3 -3 r1 ? r4 -5 1 3 -4 r2 ? 5r1 0 -24 18 -19 D 0 10 -5 5 r 2 r 2 0 1 -1 3 1 3 1 -1 2 r4 - 3r1 0 16 -10 11
1 -5 3 -3 1 -5 3 -3 0 -24 18 -19 0 -24 18 -19 5 4 r3 ? 12 r2 5 35 r4 - 5 r3 5 35 ? 40 -0 0 -0 0 2 2 12 r4 ? 3 r2 2 12 5 2 0 0 2 0 0 0 3 3
2015/9/23 44

练习13

计算行列式

3 1 -1 2 - 5 1 3 -4 D? . 2 0 1 -1 1 - 5 3 -3
1 -1 2 - 8 4 -6 0 4 -6 ?- 2 1 -1 0 1 -1 16 -2 7 0 -2 7

解2 (降阶法)

3 r2 - r1 -8 D r4 ? 5r1 2 16
c1 - 2c2

-16 4 -2 - 0 1 0 ? - -16 -2 ? - (-80 ? 40) ? 40 20 5 c3 ? c2 20 -2 5

2015/9/23

45

练习14

计算行列式

x a D? b c

a x a a

b b x b

c c . c x
a x a a

(每行之和相等)



x?a?b?c c1 ? c2 ? c3 ? c4 x ? a ? b ? c D x?a?b?c x?a?b?c

b b x b

c c c x b 0 x-b 0 c 0 0 x-c

r2 - r1 , r3 - r1 r4 - r1

x?a?b?c 0 0 0

a x-a 0 0

? ( x ? a ? b ? c )( x - a )( x - b)( x - c )
2015/9/23 46

练习15

计算 n 阶 Vandermonde 行列式

1 x1 Vn ? ? n -1 x1

1 ? 1 x2 ? xn ? ? ? ? ( xi - x j ) n ? i ? j ?1 n -1 n -1 x2 ? xn
1 ? 1 x2 - xn ? 0 ? ? n- 2 x2 ( x2 - x n ) ? 0



1 ri - xn ri -1 x1 - xn Vn i ? n,? , 2 n- 2 ? x1 ( x1 - xn )

按第 n 列展开, 第 i 列提取公因式 xi -xn (i ?1,…, n-1)得 递推公式:
n ?1 Vn ? (x1 xn ? (n x)n -(x V ) (x1 x ? x1n)1)1n n -1xn )Vn-1

由 V2 ? x2 - x1 及递推公式, 得

Vn ? ( xn - xn-1 )?( xn - x1 )?( x3 - x2 )( x3 - x1 )( x2 - x1 )
2015/9/23 47

方阵乘积的行列式等于它们的行列式之积
?设

A, B 都是方阵, 则有

A ? A O ? ? | A|?| B | O B ? B

证明 | A | 经过若干次变换 ci?kcj 化为上三角行列式 | U | u11 ? u1n | A| ? |U | ? ? ? ? u11u22 ? unn unn | B | 经过若干次变换 ri?krj 化为上三角行列式 | U? | ? ? u1 ?m u11 ? u22 ? ? umm ? | B | ? | U? | ? ? ? ? u11 ? umm

A ? U ? 在相同的变换下 O B ? O U ? ? | U | ? | U ? | ? | A | ? | B |
2015/9/23 48

? 行列式乘法定理:方阵乘积的行列式等于它们的行列式之积 设 A, B 为 n 阶方阵, 则有 证明 以2阶方阵为例证之.

| AB | ? | A | ? | B | .
a11 a12 O a21 a22 ? B -1 0 0 -1 0 0 0 0 b11 b12 b21 b22

A | A|?| B | ? -I
a11 a21 ? -1 0
2

a12 a 22 0 -1

a11b11 ? a12b21 a21b11 ? a22b21 0 0

a11b12 ? a12b22 A a21b12 ? a22b22 ? -I 0 0

AB O

-I ? ( -1) A
2015/9/23

O ? (-1)2 | - I | ? | AB | ? | AB | AB
49

排列、逆序数与奇偶性
由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称 为一个n元排列. n元排列共有n !个. 定义 在一个n级排列i1i2…in中, 如果有较大的数it排 在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序对. 一 个n级排列中逆序对的总数, 称为它的逆序数, 记为 t(i1i2…in). 如果排列i1i2…in的逆序数t(i1i2…in)是奇数,则称为奇 排列, 是偶数或0则称为偶排列.
2015/9/23 50

例如 排列32514 中, 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序 这个排列的逆序数是 逆序数为5.

再如, n( n - 1)(n - 2)?321

n( n - 1) t ? (n - 1) ? (n - 2) ? ? ? 2 ? 1? . 2
由1,2,3这3个数码组成的3元排列共有3!=6种. 其排 列情况见下表.
2015/9/23 51

排列

逆序对

逆序数

奇偶性

123
132 213 231 312 321
2015/9/23


32 21 21, 31 31, 32 21,31,32

0
1 1 2 2 3

偶排列
奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列
52

在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它的两个数码 is与it对调, 其它数码不变, 得到另一个排列, 这样的变 换, 称为一个置换.
定理 任一排列经过一次置换后改变奇偶性. 定理 n个数字(n>1)共有n!个n元排列, 其中奇偶排列 各占一半.

2015/9/23

53

n 阶行列式的一般定义
定义: 一个 n 行 n 列的方阵的行列式
a11 a21 ? an1 a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann

定义为形如
(-1)t ( p1 p2?pn ) a1 p1 a2 p2 ?anpn

的所有可能项之和,

其中 p1p2 · · ·pn 为自然数1, 2, · · ·, n 的任意一个排列, t(p1p2 · · ·pn)为排列p1p2 · · ·pn的逆序数.
2015/9/23 54



det( aij ) ?

a11 a21 ? an1

a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann

?

p1? pn

t ( p1? pn ) ( 1 ) a1 p1 a2 p2 ? anpn ?

p1p2 · · ·pn的可能排列共有n!项,故上式的求和号是对这n!项求和。 行列式也可写为

2015/9/23

55

伴随矩阵
设 A?(aij)为 n 阶方阵, Aij 为元素 aij 的代数余子式, 由 Laplace 定理知

a11 ? a1, j -1 b1 ? ? ? an1 ? an, j -1 bn
当 i ? j 时, 取
于是有

a1, j ?1 ? a1n ? ? an , j ?1 ? ann

? b1 A1 j ? b2 A2 j ? ? ? bn An j
b1 ? a1i , b2 ? a2i ,?, bn ? ani , 则 i, j 列相同,

a1i A1 j ? a2i A2 j ? ? ? ani Anj ? 0, i ? j
考虑行的情况, 有类似的结果.
2015/9/23

特别地有

ai 1 A j1 ? ai 2 A j 2 ? ? ? ain A jn ? 0, i ? j

56

? 代数余子式的性质

?| A |, i ? j ai 1 A j1 ? ai 2 A j 2 ? ? ? ain A jn ? ? ? 0, i ? j ?| A |, i ? j a1i A1 j ? a2 i A2 j ? ? ? ani Anj ? ? ? 0, i ? j
以上性质可写成矩阵等式

? a11 ?a ? 21 ? ? ?a ? n1 ? A11 ?A ? 12 ? ? ?A 1n ?2015/9/23

a12 ? a1n ? ? A11 A21 a22 ? a2 n ? ? A12 A22 ? ? ? ?? ? ? ? ?A an 2 ? ann ? ? ? 1n A2 n A21 ? An1 ? ? a11 a12 A22 ? An 2 ? ? a21 a22 ?? ? ? ? ?? ? ?a A2 n ? Ann ? ? ? n1 a n 2

? An1 ? ? | A | 0 ? 0 ? ? An 2 ? ? 0 | A | ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? | A |? ? Ann ? ? 0 ? a1n ? ? | A | 0 ? 0 ? ? a2 n ? ? 0 | A | ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? | A |? ? ann ? ? 0
57

? 伴随矩阵 设 Aij 为 n 阶方阵 A 的 (i, j) 元的代数余子式, 记

? A11 ?A ? A ? ? 12 ? ? ?A ? 1n
称 A? 为方阵 A 的[转置]伴随矩阵.

A21 ? An1 ? A22 ? An 2 ? ? ? ? ? A2 n ? Ann ? ?

AA? ? | A | E A? A ? | A | E

? a11 ?a ? 21 ? ? ?a ? n1 ? A11 ?A ? 12 ? ? ?A 1n ?2015/9/23

a12 ? a1n ? ? A11 A21 a22 ? a2 n ? ? A12 A22 ? ? ? ?? ? ? ? ?A an 2 ? ann ? ? ? 1n A2 n A21 ? An1 ? ? a11 a12 A22 ? An 2 ? ? a21 a22 ?? ? ? ? ?? ? ?a A2 n ? Ann ? ? ? n1 a n 2

? An1 ? ? | A | 0 ? 0 ? ? An 2 ? ? 0 | A | ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? | A |? ? Ann ? ? 0 ? a1n ? ? | A | 0 ? 0 ? ? a2 n ? ? 0 | A | ? 0 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? | A |? ? ann ? ? 0
58

? 伴随矩阵的性质 设 A? 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵, 则有

(1)
(2) 证明

AA? ? A? A ? | A | E; | A? | ? | A | n-1 .
由(1)两边取行列式, 得

AA? ? | A | E A? A ? | A | E
若| A? | ? 0, 则(A? )-1 存在.

| A|?| A | ? | A| ?| E |? |
当 | A| ? 0 时, 由上式即得(2). 当 | A| ? 0 时, 可证 | A? | ? 0: 注 : 当 | A| ? 0 时 , 记

?

n

n 于是 A|

A ? ( A? )-1 A? A ? O
故 A? ? O, 与| A? | ? 0矛盾.

A

-1

2015/9/23

1 ? ? A , 则 AA-1 ? A-1 A ? E | A|

1 ? 1 ? A( A )?( A )A ? E | A| | A|
59

逆矩阵
? 逆矩阵 如果存在矩阵 B, 使

AB ? BA ? E 那么称方阵 A 为可逆的, 并称 B 为 A 的逆矩阵.
? 方阵 A 可逆时, 其逆矩阵唯一, 记为 A-1. 证明 设 C 也为方阵 A 的逆矩阵, 则有

C ? CE ? C ( AB ) ? (CA) B ? EB ? B
注 : 当 | A| ? 0 时 , 记

A

-1

2015/9/23

1 ? ? A , 则 AA-1 ? A-1 A ? E | A|

1 ? 1 ? A( A )?( A )A ? E | A| | A|
60

? 如果 | A| ? 0, 那么称方阵 A 为非奇异矩阵. ? 如果 | A| ? 0, 那么称方阵 A 为奇异矩阵. ? 逆矩阵计算公式 非奇异矩阵 A 可逆, 且其逆矩阵为

A

-1

1 ? ? A | A|

( A? ? | A | A-1 )

? 可逆方阵 A 为非奇异矩阵, 且有 | A-1| ? | A|-1. 证明 由 AA-1 ? E, 且有 得 | A|?| A-1| ? 1. 于是 | A| ? 0, 方阵 A

为非奇异矩阵, 注 : 当 | A| ? 0 时 , 记

| A-1 | ? | A |-1 .
1 ? 1 ? A( A )?( A )A ? E | A| | A|
61

A

-1

2015/9/23

1 ? ? A , 则 AA-1 ? A-1 A ? E | A|

练习16



? 2 2 3? A ? ? 1 -1 0 ? , ? -1 2 1 ? ? ?

求 A-1 .



A11 ?

-1 0 2 3 2 3 ? -1, A21 ? ? 4, A31 ? ?3 2 1 2 1 -1 0 1 0 2 3 2 3 ? -1, A22 ? ? 5, A32 ? ?3 -1 1 -1 1 1 0

A12 ? -

1 -1 2 2 2 2 A13 ? ? 1, A23 ? ? -4 ? -6, A33 ? -1 2 1 -1 -1 2

| A | ? 2 ? (-1) ? 2 ? (-1) ? 3 ? 1 ? -1
3? ? -1 4 ? 1 -4 -3 ? 1 ? ? A? ? ? -1 5 3 ? , A- 1 ? A ? 1 -5 -3 ? ? 1 -6 -4 ? ? -1 6 ? | A| 4 ? ? ? ?

2015/9/23

62

? 设 A 可逆, 则矩阵方程 AX ? B 有唯一解 X ? A-1 B. ? 设 A 可逆, 则矩阵方程 XA ? B 有唯一解 X ? BA-1 .
? 4 2 3? 练习17 设 A ? ? 1 1 0 ? , 且 AX ? A+2X, 求 X. ? -1 2 3 ? ? ?

解 由 AX ? A+2X,

得 ( A - 2E )X ? A ,

| A - 2 E | ? 2 ? (-1) ? 2 ? (-1) ? 3 ? 1 ? -1
?

3? ? 2 2 3? ? -1 4 A - 2 E ? ? 1 -1 0 ? , ( A - 2 E )? ? ? -1 5 3? ? -1 2 1 ? ? 1 -6 -4 ? ? ? ? ? ? 1 -4 -3 ? 1 ( A - 2 E ) -1 ? ( A - 2 E )? ? ? 1 -5 -3 ? ? -1 6 | A - 2E | 4?

? 3 -8 -6 ? X ? ( A - 2 E )-1 A ? ? 2 -9 -6 ? ? -2 12 9 ? ? ? 2015/9/23

?

63

? 设 A 可逆, 则矩阵方程 AX ? B 有唯一解 X ? A-1 B. ? 设 A 可逆, 则矩阵方程 XA ? B 有唯一解 X ? BA-1 . 注: 当 | A| ? 0 时, A 可逆, 方程组 Ax ? b 有唯一解 ? A11 ? An1 ?? b1 ? 1 ? -1 x? A b? ? ? ?? ? ? ?? b ? | A|? A ? A nn ? ? n ? ? 1n 1 因此 x j ? (b1 A1 j ? b2 A2 j ? ? ? bn Anj ) ( j ? 1, 2,?, n) | A| a11 ? a1, j -1 b1 a1, j ?1 ? a1n Dj ? ? ? ? ? ? 记 an1 ? an, j -1 bn an, j ?1 ? ann

则有
2015/9/23

? b1 A1 j ? b2 A2 j ? ? ? bn An j Dj xj ? ( j ? 1, 2,? , n) —— Cramer 法则 | A|

64

? 设 A 可逆, 则线性变换 y ? Ax 的逆变换为 x ? A-1 y.
? y1 ? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? 练习18 求线性变换 ? y2 ? x1 ? 3 x2 ? 4 x3 的逆变换. ? ? y3 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3

解 线性变换的系数矩阵 ? 1 2 3? ? 2 -1 -1 ? A ? ? 1 3 4 ? , A? ? ? 6 -4 -1 ? ? 2 1 2? ? -5 3 1 ? ? ? ? ? | A | ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? (-5) ? -1 -2 1 1 ? ? 1 ? ? -1 A ? A ? -6 4 1 ? | A| ? 5 -3 -1 ? ? ? 所求逆变换为
2015/9/23

? x1 ? -2 y1 ? y2 ? y3 ? ? x2 ? -6 y1 ? 4 y2 ? y3 ? ? x3 ? 5 y1 - 3 y2 - y3

65

? 定理1 设 A, B 为 n 阶方阵, 若 AB ? E, 则 A, B 可逆, 且有

A- 1 ? B , B - 1 ? A
证明 由 AB ? E, 得 | A|?| B| ? 1, 于是 | A| ? 0, | B| ? 0,

因此 A, B 可逆.

A - 1 ? A - 1 ( A B ) ? ( A - 1 A) B ? B B -1 ? ( AB ) B -1 ? A( BB -1 ) ? A
练习19
设 A3 ? O, 证明

( E - A) - 1 ? E ? A ? A 2
证明 因此
2015/9/23

( E - A)( E ? A ? A2 ) ? E - A3 ? E ( E - A) - 1 ? E ? A ? A 2
66

练习20 设 A 满足方程 A2 -2A-4E ? O, 证明 A?2E 可逆 并求其逆. 提示

A2 - 2 A - 4 E ? ( A ? 2E ) A - 4 A - 4E
? ( A ? 2 E ) A - 4( A ? 2 E ) ? 4 E ? ( A ? 2 E )( A - 4 E ) ? 4 E

证明

( A ? 2 E )( A - 4 E ) ? A2 - 2 A - 8 E ? -4 E 1 ( A ? 2 E )( E - A) ? E 4
且有

因此 A?2E 可逆,

( A ? 2E )
2015/9/23

-1

1 ?E- A 4
67

? 逆矩阵的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵, 则有

(1) ( A-1 )-1 ? A; (2) ( kA)-1 ? k -1 A-1 ( k ? 0); (3) ( AB )-1 ? B -1 A-1; (4) ( AT )-1 ? ( A-1 )T ;
(5) ( A )
(3)的证明 (5)的证明

? -1

1 ? (A ) ? A. | A|
-1 ?

( AB )( B -1 A-1 ) ? A( BB -1 ) A-1 ? AA-1 ? E ( A? )-1 ? (| A | A-1 )-1 ? | A |-1 A ( A-1 )? ? | A-1 | ( A-1 )-1 ? | A |-1 A
68

2015/9/23

练习21 已知 A 为三阶方阵, 且 | A|?2, 求 | 2A-1|, | A? | 和

1 ? | (3 A) - A | . 3
-1


8 | 2A | ? 8 | A | ? ?4 | A| | A? | ? | A |2 ? 4
-1 -1

1 ? 1 -1 | A | -1 | (3 A) - A | ? | A A | 3 3 3 1 -1 1 1 -1 ?|- A | ? - | A | ? 3 27 54
-1

2015/9/23

69

矩阵分块法
用若干条横、竖线将矩阵分块, 每一小块称为子矩阵. 以子矩阵为元素的[形式上的]矩阵, 称为分块矩阵.
例 将 3?4 矩阵分块, 分块法有多种. 例如:

2?2 分块:

? a11 a12 ?a 21 a22 ? ? a31 a32 ? a11 a12 ?a 21 a22 ? ? a31 a32

a13 a23 a33 a13 a23 a33

a14 ? ?A a24 ? ? ? 11 ? ? A21 a34 ? a14 ? ? A11 ? a24 ? ? ? ? A21 a34 ?

A12 ? A22 ? ?

2?3 分块:

A12 A22

A13 ? A23 ? ?

试问: 共有多少种分块法?
2015/9/23

23-124-1 - 1 ? 4 ? 8 - 1 ? 31

70

练习22

设 a, a1, a2, a3, b 均为 4 维列向量, 且

A ? (a1 , a2 , a3 , a ), B ? (a1 , a2 , a3 , b), C ? (a3 , a2 , a1 , b)
若 | A| ? a, | C | ? c, 则 | A?2B | ?__________. 解

27a - 54c

| A ? 2 B | ? det(3a1 ,3a2 ,3a3 , a ? 2b) ? 27det (a1 , a2 , a3 , a ? 2b) ? 27[det(a1 , a2 , a3 , a ) ? det(a1 , a2 , a3 ,2b)] ? 27[det(a1 , a2 , a3 , a ) ? 2det(a1 , a2 , a3 , b)] ? 27[det(a1 , a2 , a3 , a ) - 2det(a3 , a2 , a1 , b)]
? 27(a - 2c )

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? 矩阵的分块运算
只要保证子矩阵之间的运算可行, 分块矩阵的运算 规则与普通矩阵的运算规则相仿. (1) 设矩阵 A 与 B 为同型矩阵, 采用相同的分块形式

? A11 ? A1r ? ? B11 ? B1r ? A?? ? ? ?, B ? ? ? ? ? ?A ? A ? ?B ? ? B sr ? sr ? ? s1 ? s1
其中 Aij 与 Bij 为同型矩阵, 则有

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? A11 ? B11 ? A1r ? B1r ? ? A? B ? ? ? ? ?A ?B ? ? A ? B s1 sr sr ? ? s1 T T ? ? A11 ? As ? kA11 ? kA1r ? 1 kA ? ? ? ? ? , AT ? ? ? ? ? ? T ? ? kA ? kA ? T ?A ? A ? sr ? ? s1 sr ? ? 1r

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? 矩阵的分块运算
只要保证子矩阵之间的运算可行, 分块矩阵的运算 规则与普通矩阵的运算规则相仿. (2) 设 A 为 m?l 矩阵, B 为 l?n 矩阵, 分块成

其中 记

? B11 ? B1r ? ? A11 ? A1t ? ? ? A?? ? ? ?, B ? ? ? ?B ? B ? ?A ? A ? tr ? st ? ? t1 ? s1 Ai 1 , Ai 2 ,? , Ait 的列数分别等于 B1 j , B2 j ,? Btj 的行数,

Cij ? Ai 1 B1 j ? Ai 2 B2 j ? ? ? Ait Btj , 则有
? C11 ? C1r ? AB ? ? ? ? ? ?C ? ? C sr ? ? s1

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练习23

设 A 为 n 阶可逆方阵, B 为 r 阶可逆方阵, C 为

r?n 矩阵, 证明 解 设

? A O ? 可逆, 并求 D-1. D?? ? C B ? ?

由已知 |A|?0, |B|?0, 而 |D| ? |A|?|B| ? 0, 因此 D 可逆.

D

-1

? X V ? 其中方阵 X, Y 分别与 A, B 同阶, ?? , ? ?U Y ?



? X V ?? A O ? D D?? ? E n? r ?? ? ? U Y ?? C B ?
-1

? XA ? VC ? E n ? VB ? O ? UA ? YC ? O ? YB ? E r ?

解得

X ? A-1 , V ? O , U ? - B -1CA-1 , Y ? B -1
-1 ? A D -1 ? ? -1 -1 B CA ?

因此
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O ? -1 ? B ?

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? 分块对角阵

? A1 ? ? A ? diag( A1,? , As ) ? ? ? ? ? A s? ?
其中 Ai (i?1,…, s) 都是方阵, 空白处元素全为零. ? 性质 (1)

| A | ? | A1 | ? | As |;
n ? A1 ? ?; An ? ? ? ? ? n? ? As ? ?

(2)

(3) A 可逆的充分必要条件是 Ai(i?1,…,s)都可逆, 且有

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-1 -1 A-1 ? diag( A1 ,?, As )

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练习24 设

?2 ?3 A?? 0 ? ?0

3 4 0 0

0 0 3 5

0? 0? , ? 4 ? 7?

求 A-1.





? 2 3? ? 3 4? A1 ? ? , A ? , ? ? ? 2 ? 3 4? ? 5 7?
-1 A1

则有

7 -4 ? ? -4 3 ? ? -1 ?? , A2 ? ? ? ? 3 2 5 3 ? ? ? ?

-1 ? A A -1 ? ? 1 ?

? -4 3 0 0 ? ? ? 3 -2 0 0 ? ? ? -1 ? ? 0 0 7 4 A2 ? ? ? ? 0 0 -5 3 ?
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练习25 设





?1 ?1 A?? 0 ? ?0 ?1 A1 ? ? ?1

1 1 0 0 1? , ? 1?

0 0 2 0

0? 0 ? 求 An . , ? 2 ? 2? ? 2 2? A2 ? ? , ? ? 0 2?

则有

2 A1

n -1 ? 2 ? 2 2? n ?? ? 2 A1 , A1 ? 2n-1 A1 ? ? n-1 ? ? 2 2? ?2
n

2 n -1 ? n -1 ? 2 ?

? 1 1? n ? 1 n? n n ? 1 1? A2 ? 2 ? , A2 ? 2 ? ?2 ? ? ? ? 0 1 0 1 0 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 n -1 2 n -1 0 0 ? ? n -1 ? n n -1 ? ? A O 2 2 0 0 ? ? An ? ? 1 ? n? n n ? O A 0 0 2 2 n? 2 ? ? n ? ? 0 0 0 2 ? ? 2015/9/23

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