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2014-2015学年河南省灵宝市第五高级中学高二数学课件3.1《不等关系与不等式》(人教A版必修五)_图文

2014-2015学年河南省灵宝市第五高级中学高二数学课件3.1《不等关系与不等式》(人教A版必修五)_图文

一、引入
(一).生活中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg
(3)我们班的讲台高度大于同学坐的桌子的 高度。 问题:上面的不等关系是用什么不等式表示的?
请你举出生活中的一些不等关系的例子

一、引入

(二).用不等式(组)表示不等关系

(1)右图是限速40km/h的路标,指示司

40

机在前方路段行驶时,应使汽车的速度

v不超过40km/h . 0<v≤40

(2)中国"神舟v2 七号”宇宙飞船飞天取得v1了? v ? 最v2 圆满的
v 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 v 宙速度( 记作1 ),且小于第二宇宙速度(记 ).

(3)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%.
?f ? 2.5% ??p ? 2.3%

一、引入
思考一下什么是不等式?
我们用数学符号“≠”,“>”, “<”,“≥”,“≤”连接两个 数或代数式,以表示它们之间的 不等关系.含有这些不等号的式 子叫做不等式.

问题1. 设点A与平面? 的距离为d,B为平面 ?
上的任意一点,则 d≤|AB|.
A

d

B

o

B

?

B

问题2.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管 截成500mm和600mm的两种规格。按照生 产的要求,600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格 的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式(组)表示上述不等关系. 分析:假设截得500mm的钢管x根,截得 600mm的钢管y根。根据题意,应当有什么 样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm;
(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同 时满足的话,可以用下面的不等式组来表示:
?500x ? 600y ? 4000 ????x3x??0y ??y ? 0 ?? x,y∈N
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

课堂练习:书本:P74,练习1、2
1、用不等式表示下面的不等关系:
(1).a与b的和是非负数; a+b≥0

(2).某公路立交桥对通过车辆的高度h“限 ?(L?10)(W ?10) ? 350, ??L ? 4W

高4m”??L ? 0 ??W ? 0

0<h≤4

(3).在一个面积为350平方米的矩形地基

上建造一个仓库,四周是绿地.仓库的长L

大于宽W的4倍.写出L与W的关系

5m

5m

5m

5m

课堂练习 2、有一个两位数大于50而小于60,其个位数字 比十位数字大2,试用不等式(组)表示上述关系
a b 1.分析:设个位数字为 , 十位数字为 ,则
?50 ? 10b ? a ? 60 ??a ? b ? 2 ??0 ? a ? 9 ??0 ? b ? 9 ?a ? N ? ??b ? N ?

不等式的概念:
用 不 等 号(?, ?, ?, ?, ?)表 示 不 等 关 系 的 式 子 叫作 不等式。 用 不 等 号 “?”“, ?” 表 示 不 等 关 系 的 式 子叫 作 严格不等式。 用 不 等 号 “?”“, ?” 表 示 不 等 关 系 的 式 子叫 作 非严格不等式。
思考:不等式a ? b或b ? a的含义
不等式a ? b表示a ? b或a ? b中有一个成立即可 不等式a ? b表示a ? b或a ? b中有一个成立即可

思考: 观察不等式"a ? b","c ? d","e ? f "有什么
特点?
对 于 两 个 不 等 式 , 如 果每 一 个 不 等 式 的 左 边 都 大 于(或 都 小 于)右 边 , 这 样 的 两 个 不 等式 叫 作 同 向 不 等 式 。 如 果两 个 不 等 式 的 不 等 号 开 口 方 向 不 同 , 那 么 两个 不 等 式 叫 作 异 向 不 等式。

知识探究(二):比较实数大小的基本原理 思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b, 其大小关系有哪几种可能?
a>b,a=b,a<b.
思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那 么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何?
大数对应的点位于小数对应的点的右边

思考3:如果两个实数的差是正数,那么这两个

实数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学

? 语言描述这个原理?a-b>0

a>b

思考4:如果两个实数的差是负数,那么这两个实

数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语

? 言描述这个原理? a-b<0

a<b

思考5:如果两个实数的差等于零,那么这两个实

数的大小关系如何?反之成立吗?如何用数学语

? 言描述这个原理? a-b=0

a=b

两数大小的比较 判断两个实数大小的依据是:
a?b?a?b?0 a ? b ? a?b ? 0 a?b?a?b?0
通过上式,比较两个数(式)的大小,就 可以转化为判断它们差的符号。
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→下结论.

比较两个数(式)的大小的方法:

例1.比较x2-x与x-2的大小. 解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2 =(x-1)2+1,
因为(x-1)2≥0,

(1)作差 (2)变形 (3)判号

所以(x2-x)-(x-2)>0,

因此x2-x>x-2.

(4)结论

小结:作差法的步骤:(1)作差→(2)变形→

(3)定号→(4)结论

其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子有

理化等。

? 例1-2:比较下面两式的大小: (1)x2 ? 2x ? 3与2x2 ? 2x ? 4 (2)x2 ? 3与3x 配方 (3)x2 ? y2 ? 4与2x ? 2 y 配方 (4)(x2 ? 7)(x2 ? 9)与x4 ? 64 因式分解
(5() 6 ? 5)与( 7 ? 6)
小结:作差法的步骤:
(1)作差→(2)变形→(3)定号→(4)结论 其中,变形的方法有:配方法;因式分解法;分子 有理化等。

( 备 选 ) 例 2 已 知 a 、b 、m 都 是 正 数 , 且 a ? b , 求 证 :

b?m ? b

a?m 证明:

a ∵

b

?

m

?

b

?

(b

?

m)a

?

(a

?

m)b

a?m a

(a ? m)a

? ab ? ma ? ab ? bm (a ? m)a
? m(a ? b) (a ? m)a

若b>a,结论 又会怎样呢?

∵ a 、b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0

∴b?m ? b ?0∴b?m ? b

a?m a

a?m a

1.不等关系和不等式

2.判断两个实数大小的依据是: 小

a?b?a?b?0



a ? b ? a?b ? 0

a?b?a?b?0
3.作差法的步骤:

(1)作差→(2)变形→(3)定号→(4)结论

其中,变形的方法有:配方法;因式分解法; 分子有理化等。

作业
? 一、交:P75,B1,A4、5

3.1 不等关系与不等式 第二课时

问题提出
1.反映实数大小关系的基本原理是什么?
a-b>0 ? a>b
a-b=0 ? a=b a-b<0 ? a<b
2.用“差比法”比较两个代数式大小的一般步骤 如何?
作差→变形→判断符号

探究(一):不等式的基本性质
思考1:若甲的身材比乙高,则乙的身材比甲矮, 反之亦然.从数学的观点分析,这里反映了一个不 等式性质,你能用数学符号语言表述这个不等式
性质吗? a>b? b<a(对称性)
思考2:若甲a的身材比乙b高,乙的身材b比丙c 高,那么甲a的身材比丙c高,这里反映出的不等 式性质如何用数学符号语言表述?
a>b,b>c ? a>c;
a<b,b<c ? a<c(传递性)

思考3:再有一个不争的事实:若甲a的年薪比乙b 高,如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多 的善款,则甲的年薪仍然比乙高,这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述?
a>b ?a+c>b+c(可加性)
思考4:还有一个不争的事实:若甲班的男生 比乙班多,甲班的女生也比乙班多,则甲班 的人数比乙班多. 这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述?
a>b,c>d ?a+c>b+d(同向可加性)

思考5:如果a>b,c>0,那么ac与bc的 大小关系如何?如果a>b,c<0,那么 ac与bc的大小关系如何?为什么?
a>b,c>0 ? ac>bc;
a>b,c<0 ? ac<bc(可乘性)
思考6:如果a>b>0,c>d>0,那么 ac与bd的大小关系如何?为什么?
a>b>0,c>d>0 ? ac>bd
(正数同向不等式可相乘)

思考7:如果a>b>0,n∈N*,那么an与 bn的大小关系如何?
a>b>0 ? an>bn (n∈N*) (乘方法则)
思考8:如果a>b>0,n∈N*,那么 n a
与 n b 的大小关系如何?
? a>b>0 n a > n b(n∈N*) (开
方法则)

常用的不等式的基本性质有:

⑴a ?b?b?a;

(反对称性)

⑵ a ? b,b ? c ? a ? c ;

(传递性)

⑶ a ? b ? a ? c ? b ? c , (可加性)此法则又称为移项法则;



?a ??a

? ?

b,c b, c

? ?

0 0

? ?

ac ac

? ?

bc bc

(可乘性)

(5) a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d

(同向不等式可相加)

(6) a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd (正数同向不等式可相乘)

(7) a ? b ? ( 0 n ? N*)? an ? bn ? 0

(乘方法则)

(8) a ? b ? ( 0 n ? N *, n ≥ 2)? n a ? n b ? 0 (开方法则)

(9) a ? b,ab ? 0 ? 1 ? 1 ab

(倒数法则)

练习:用“>”,”<“号填空
(1)x ? 5 ___ x ? 2 (2)a ? 5 ___ b ? 5(b ? a) (3)7a ____ 4a(a ? 0)(4)3a ___ 3b(a ? b) (5) ? 5a ___? 5b(a ? b)(6) 1 ____ 1 (a ? b ? 0)
ab
判断下列命题的真假
(1)a ? b ? ac ? bc (2)a ? b ? ac2 ? bc2 (3)a ? b, a lg c ? b lg c ? 0 ? c ? 1

用不等号>,<, ≠填空
(1)a ? b, c ? d ? a ? c __ b ? d (2)a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac __ bd (3)c __ 0, a ? b ? ac ? bc (4)c ___ 0, a ? b ? ac ? bc (5)a ? 0,b ? 0 ? ab ___ 0 (6)a ? b, c ? 0, d ? ac ____ d ? bc (7)a ? b, c ? 0,? c(d ? a) ____ c(d ? b)

例1 已知a>b>0,c<0, 求证: c ? c .
ab
例2:比较两个数的大小: 6 ? 10与 2 ? 14
例3 :已知x ? 0,求证:1 ? x ? 1 ? x 2

例4 若a<b<0,判断下列结论是否成

立.
(1)

1?1 ab

(2)

1 ?1 a?b a

(3) a2 ? b2 (4)ac2<bc2

(备例)例5 给出三个不等式:

①ab>0,②

c?d ab

, ③bc>ad,

以其中任意两个作条件,余下一个做结

论,可组成几个正确命题.

作业:
? 一、交:书本:P75,A 2、B2


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