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幂级数_图文

幂级数_图文

第十五章
幂级数

第一节
? 幂级数

一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设 u1 ( x ), u2 ( x ),? , un ( x ),? 是定义在 I ? R 上的 函数,则? un ( x ) ? u1 ( x ) ? u2 ( x ) ? ? ? un ( x ) ? ?
n ?1 ?

称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数.

例如级数

n 2 x ? 1 ? x ? x ? ?, ? n? 0

?

2.收敛点与收敛域:
如果 x0 ? I ,数项级数? un ( x0 ) 收敛,
则称 x 0 为级数
?

?

un ( x ) 的收敛点, ? n ?1

?

n ?1

否则称为发散点.

函数项级数? un ( x ) 的所有收敛点的全体称为收敛域,
n?1

所有发散点的全体称为发散域.

3.和函数:
s( x ) , 在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数 称 s( x ) 为函数项级数的和函数.

s( x ) ? u1 ( x ) ? u2 ( x ) ? ? ? un ( x ) ? ? (定义域是?)
函数项级数的部分和 s n ( x ), 余项 rn ( x ) ? s( x ) ? sn ( x )

lim sn ( x ) ? s( x )
n? ?

lim rn ( x ) ? 0
n? ?

(x在收敛域上)

注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.

( ?1) n 1 n ( ) 的收敛域. 例 1 求级数? n 1? x n ?1 由达朗贝尔判别法 解

?

un?1 ( x ) n 1 1 ? ? ? (n ? ?) un ( x ) n ? 1 1 ? x 1? x
1 (1) 当 ? 1, 1? x

? 1 ? x ? 1,
原级数绝对收敛.

即 x ? 0或x ? ?2时,

1 ( 2) 当 ? 1, ? 1 ? x ? 1, 1? x

即 ? 2 ? x ? 0时,

原级数发散.

( 3) 当 | 1 ? x |? 1, ? x ? 0或x ? ?2,
当 x ? 0时,
当 x ? ?2时,

( ?1) 级数 ? 收敛; n n ?1 ? 1 级数 ? 发散; n ?1 n
? n

故级数的收敛域为 ( ??,?2) ? [0,??).

二、幂级数及其收敛性
1.定义: 形如 ? a n ( x ? x 0 ) n 的级数称为幂级数.
n?0 ?

当x0 ? 0时,
2.收敛性:

n a x ? n , 其中an 为幂级数系数. n? 0

?

例如级数

?x
n? 0

?

n

? 1 ? x ? x ? ?,
2

当 x ? 1时, 收敛;

当 x ? 1时, 发散;

收敛域( ?1,1); 发散域( ??,?1] ? [1,??);

定理 1 (Abel 定理)

如果级数

n a x ? n 在 x ? x0 ( x0 ? 0) 处收敛,则 n? 0

?

它在满足不等式 x ? x 0 的一切x 处绝对收敛;

如果级数

n a x ? n 在 x ? x0 处发散,则它在满足 n? 0

?

不等式 x ? x 0 的一切x 处发散.

证明 (1) ?

?a
n? 0

?

n

x0 收敛,

n

? lim an x0 ? 0,
n? ?

n

? M , 使得 an x0 ? M
n n n

n

( n ? 0,1,2,?)
n n

x x x n a n x ? a n x 0 ? n ? a n x0 ? ?M x0 x0 x0
x x ?当 ? 1时, 等比级数? M 收敛, x0 x0 n? 0
? n

? ? a n x n 收敛, 即级数? a n x n收敛;
n? 0 n? 0

?

?

( 2) 假设当x ? x0时发散,

而有一点x1 适合 x1 ? x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x ? x 0 时应收敛,

这与所设矛盾.
几何说明 收敛区域 发散区域
? ? ? ? ?

?R

o

?

? ? ?

R

? ?

发散区域

x

推论
如果幂级数

?a
n?0

?

n

x 不是仅在 x ? 0 一点收敛, 也
n

不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个完全确定 的正数R 存在,它具有下列性质:

当 x ? R 时,幂级数绝对收敛;

当 x ? R 时,幂级数发散;
当 x ? R与x ? ? R 时,幂级数可能收敛也可能发散.

定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.

( ? R, R), [? R, R), ( ? R, R],
规定

[? R, R].

(1) 幂级数只在 x ? 0 处收敛,

R ? 0,

收敛区间 x ? 0 ;

(2) 幂级数对一切x 都收敛,

R ? ??, 收敛区间( ?? ,?? ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?

定理 2 如果幂级数

n a x ? n 的所有系数an ? 0 , n? 0

?

1 (1) 则当? ? 0 时, R ? ; (2) 当? ? 0 时, R ? ?? ; ? (3) 当? ? ?? 时,R ? 0 .
证明 对级数? an x n 应用达朗贝尔判别法
? n? 0

a n?1 ?? 设 lim n? ? a n

(或 lim n a n ? ? )
n? ?

lim
n? ?

a n ?1 x an x

n ?1 n

a n ?1 ? lim x ? ? x, n? ? a n

a n ?1 (1) 如果 lim ? ? ( ? ? 0)存在, n? ? a n ? 1 由比值审敛法, 当 | x |? 时, 级数? | an x n | 收敛,

从而级数? an x 绝对收敛.
n

?

?

n? 0

当 | x |?

1

n? 0

?

时, 级数? | an x n | 发散,
n? 0
n ?1

?

并且从某个 n开始 | an?1 x

|?| an x |, | an x |? 0
n n

从而级数? an x 发散.
n n? 0

?

收敛半径 R ?

1

?

;

( 2) 如果? ? 0,

?x ? 0,
?



a n ?1 x

n ?1

an x n

? 0 ( n ? ? ), 级数? | an x n | 收敛,
? n? 0 n

从而级数? an x 绝对收敛. 收敛半径 R ? ??;
n? 0

( 3) 如果? ? ??,
n 级数 a x ?x ? 0, ? n 必发散. n? 0 ?

(否则由定理1知将有点x ? 0使? | an x | 收敛)
n

?

收敛半径 R ? 0.

n? 0

定理证毕.

求下列幂级数的收敛区间: n ? ? x ( 2) ? ( ? nx )n ; (1) ? ( ?1)n ; n n ?1 n ?1
xn ( 3) ? ; n?1 n!
? n 2 1 n n (4) ? ( ?1) (x ? ) . n 2 n ?1 ?

例2

a n ?1 n 解 (1) ? ? ? lim ? lim ?1 ?R ?1 n? ? a n? ? n ? 1 n
n ( ? 1 ) 当x ? 1时, 级数为? , n n ?1 ? 1 当x ? ?1时, 级数为? , n?1 n ?

该级数收敛 该级数发散

故收敛区间是( ?1,1] .
( 2) ? ( ? nx )n ;
?

? ? ? lim n a n ? lim n ? ??, ? R ? 0, n? ? n? ?
级数只在 x ? 0 处收敛,

n ?1

xn ( 3) ? ; n?1 n!

?

1 a n ?1 ? lim ? 0, ? R ? ??, ? ? ? lim n? ? n ? 1 n? ? a n
收敛区间( ?? ,?? ) .

n 2 1 n n (4) ? ( ?1) (x ? ) . n 2 n ?1 a n ?1 2 n ? ? ? lim ? lim ?2 n? ? a n? ? n ? 1 n

?

1 ?R ? , 2

1 1 即 x ? ? 收敛, 2 2
当x ? 0时,
当x ? 1时,

x ? (0,1)收敛,
?

1 级数为? , n ?1 n ? ( ?1) n 级数为? , n n ?1

发散 收敛

故收敛区间为(0,1].

x 2 n ?1 例 3 求幂级数? n 的收敛区间. n ?1 2 x x3 x5 解 ? 级数为 ? 2 ? 3 ? ? 缺少偶次幂的项 2 2 2
?

应用达朗贝尔判别法
n ?1 un ? 1 ( x ) 1 2 2 lim ? lim 2 n?1 ? x , n? ? u ( x ) n? ? x 2 n n 2 1 2 级数收敛, 即 x ? 2时, 当 x ? 1, 2

x

2 n ?1

1 2 当 x ? 1, 2

即 x ? 2时,
?

级数发散,

当x ? 2时, 级数为?
n?1

1 , 2

级数发散,

?1 当x ? ? 2时, 级数为? , 级数发散, n ?1 2
原级数的收敛区间为 ( ? 2 , 2 ).

?

三、幂级数的运算
1.代数运算性质:

设? an x 和? bn x 的收敛半径各为R1和R2 ,
n n

?

?

R ? min?R1 , R2 ?
(1) 加减法

n? 0

n? 0

?a
n? 0

?

n

x ? ? bn x ? ? cn x .
n n
n

?

?

x ? ?? R, R ?

n? 0

n? 0

(其中 cn ? an ? bn )

(2) 乘法

( ? a n x n ) ? ( ? bn x n )? ? cn x n . x ? ?? R, R ?
n? 0 n? 0
n? 0

?

?

?

(其中 cn ? a0 ? bn ? a1 ? bn?1 ? ? ? an ? b0 )

柯 西 乘 积

1 a0 b0
a1b0
a 2 b0 a 3 b0
?

x a0 b1
a1b1

x2 x3 ? a0 b2 a0 b3 ?
a1b2 a1b3 ? a 2 b3 ? a 3 b3
? ? ?

a 2 b1 a 2 b2 a 3 b1 a 3 b2
? ?

(3) 除法
n a x ? n n b x ? n n? 0 n? 0 ? ?

(收敛域内 ? bn x ? 0)
n n? 0

?

? ? cn x . (相除后的收敛区间比原来
n n? 0

?

两级数的收敛区间小得多)

2.和函数的分析运算性质:
(1) 幂级数
n a x ? n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n?0 ?

( ? R , R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.

(2) 幂级数

n a x ? n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n? 0

?

( ? R , R ) 内可积,且对?x ? ( ? R , R ) 可逐项积分.

即 ? s( x )dx ? ? ( ? a n x )dx
x x n 0 0 n? 0

?

? ??
n? 0

?

x

0

a n n ?1 x . a n x dx ? ? n? 0 n ? 1
n

?

(收敛半径不变)

(3) 幂级数

n a x ? n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n? 0

?

( ? R , R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.

即 s?( x ) ? ( ? a n x n )?
n? 0
n ?1 ? ? na x ? ? (an x ) ? n .

?

?

n

?

n? 0

n ?1

(收敛半径不变)

例 4 求级数

n?1 ( ? 1 ) ? n?1
?

?

xn 的和函数. n
n

x 显然 s(0) ? 0, 解 ? s( x ) ? ? ( ?1) , n n ?1 1 2 s ?( x ) ? 1 ? x ? x ? ? ? , ( ?1 ? x ? 1) 1? x
n ?1

两边积分得

?

x

0

s?( t )dt ? ln(1 ? x )

即 s( x ) ? s(0) ? ln(1 ? x )

? s( x ) ? ln(1 ? x ),
又 x ? 1 时,

? (?1)
n ?1

?

n ?1

1 收敛. n

? ? ( ?1)
n ?1

?

n ?1

x ? ln(1 ? x ). ( ?1 ? x ? 1) n

n

n( n ? 1) 例 5 求? 的和. n 2 n ?1


?

考虑级数 ? n( n ? 1)x n , 收敛区间(-1,1),
?
n ?1

?

则 s( x ) ? ? n( n ? 1) x ? x( ? x
n

?

n ?1

)??

2x x , ? x( )?? ? 3 (1 ? x ) 1? x
n( n ? 1) 1 故? ? s( ) ? 8. n 2 2 n?1
?

n?1

2

n?1

常用已知和函数的幂级数
1 n (1) ? x ? ; 1? x n? 0 ( 3) ? ax
n? 0
?

?

( 2) ? ( ?1) x
n n? 0

?

2n

1 ? ; 2 1? x

?

2n

a ? ; 2 1? x

xn ( 4) ? ? e x ; n? 0 n!

?

2 n ?1 x (5) ? ( ?1)n?1 ? sin x; ( 2n ? 1)! n ?1

x (6) ? ( ?1) ? ln(1 ? x ); n?1 n? 0
n

?

n ?1

四、小结
1.函数项级数的概念: 2.幂级数的收敛性: 收敛半径R 3.幂级数的运算: 分析运算性质

思考题
幂级数逐项求导后,收敛半径不变,那 么它的收敛域是否也不变?

思考题解答
不一定.

xn 例 f ( x) ? ? 2 , n ?1 n ( n ? 1) x f ??( x ) ? ? n n? 2
?

?

x n ?1 f ?( x ) ? ? , n ?1 n
? n? 2

, 它们的收敛半径都是1,

但它们的收敛域各是 [?1,1], [?1,1), ( ?1,1)

练 习 题
一、求下列幂级数的收敛区间: x x2 xn 1、 ? ??? ? ?; 2 2?4 2 ? 4 ? ? ? ( 2n) 2 22 2 2n x ??? 2 x n ? ?; 2、 x ? 2 5 n ?1 ? 2n ? 1 2 n ? 2 x 3、 ? ; n 2 n ?1 ? xn 4、 ? n ( a ? 0 , b ? 0) . n n ?1 a ? b

二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数: 1 、? nx n ?1 ;
x3 x5 x 2 n ?1 ? ??? ? ?. 2、 x ? 3 5 2n ? 1
n ?1 ?

练习题答案
一、1、( ?? ,?? ) ; 1 1 2、[ ? , ]; 2 2 3、( ? 2 , 2 ) ; 4、( ? c , c ) ,其中c ? max ?a , b? ? 0 . 1 ( ?1 ? x ? 1) ; 二、1、 2 (1 ? x ) 1 1? x ( ?1 ? x ? 1) . 2、 ln 2 1? x


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