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2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修1_1

2017_2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案北师大版选修1_1

3.1 学习目标 双曲线及其标准方程 1.了解双曲线的定义、 几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方 程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 思考 1 如图,取一条拉链,拉开它的一部分,在拉开的两边上各选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,拉开或闭拢拉链,笔尖经过的点可画出一条曲线,那么曲线 上的点应满足怎样的几何条件? 思考 2 已知点 P(x, y)的坐标满足下列条件, 试判断下列各条件下点 P 的轨迹是什么图形? (1)| (2) x+ x+ 2 2 +y - 2 2 x- x- 2 2 +y |=6; 2 2 +y - +y =6. 梳理 把平面内到两定点 F1,F2 的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的 集 合 叫 作 双 曲 线 . 定 点 F1 , F2 叫 作 ________________ , 两 个 焦 点 之 间 的 距 离 叫 作 ________________. 知识点二 双曲线的标准方程 思考 1 双曲线的标准形式有两种,如何区别焦点所在的坐标轴? 1 思考 2 如图,类比椭圆中 a,b,c 的意义,你能在 y 轴上找一点 B,使|OB|=b 吗? 类型一 双曲线的定义及应用 命题角度 1 双曲线中的焦点三角形问题 例 1 (1)如图,已知双曲线的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),点 A,B 均在双曲线的右支上, 线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2, |AB|=m, F1 为双曲线的左焦点, 则△ABF1 的周长为________. x2 y2 a b 2 引申探究 本例(2)中若∠F1PF2=90°,其他条件不变,求△F1PF2 的面积. (2)已知双曲线 - =1 的左、 右焦点分别是 F1、 F2, 若双曲线上一点 P 使得∠F1PF2=60°, 9 16 则△F1PF2 的面积为________. 反思与感悟 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)方法一:①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a; ②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值; 1 ④利用公式 S△PF1F2= ×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 求得面积. 2 1 (2)方法二:利用公式 S△PF1F2= ×|F1F2|×|yP|(yP 为 P 点的纵坐标)求得面积. 2 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2|| =2a 的变形使用,特别是与|PF1| +|PF2| ,|PF1|·|PF2|间的关系. 跟踪训练 1 已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|, 则 cos ∠F1PF2 等于( 1 3 A. B. 4 5 3 C. 4 4 D. 5 ) 2 2 2 2 x2 y2 命题角度 2 由双曲线定义求轨迹方程 例 2 已知在△ABC 中,三边长分别为 a,b,c,B(-1,0),C(1,0),求满足 sin C-sin B 1 = sin A 的顶点 A 的轨迹. 2 反思与感悟 定义法求双曲线方程的注意点 (1)注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值. (2)当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. (3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上. 3 跟踪训练 2 已知动圆 M 与圆 C1:(x+4) +y =2 外切,与圆 C2:(x-4) +y =2 内切,则 动圆圆心 M 的轨迹方程为( A. - =1(x≥ 2) 2 14 C. - =1 14 2 类型二 求双曲线的标准方程 例 3 求下列双曲线的标准方程. (1)与椭圆 + =1 有公共焦点,且过点(-2, 10); 25 16 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); 15 16 (3)过点 P(3, ),Q(- ,5),且焦点在坐标轴上. 4 3 ) B. - =1 2 14 D. + =1 2 14 2 2 2 2 x2 y2 x2 x2 y2 y2 x2 y2 y2 x2 反思与感悟 待定系数法求方程的步骤 (1)定型:即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴. (2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式. ①若不知道焦点的位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为 Ax +By =1(AB<0); ②与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)共焦点的双曲线的标准方程可设为 <k<a ). (3)计算:利用题中条件列出方程组,求出相关值. (4)结论:写出双曲线的标准方程. 跟踪训练 3 根据条件求双曲线的标准方程. (1)c= 6,经过点 A(-5,2),焦点在 x 轴上; (2)经过点 P(4,-2)和点 Q(2 6,2 2); (3)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且过点( 15,4). 27 36 4 2 2 2 x2 y2 a b x2 2 a -k b +k - y2 2 =1(-b 2 x2 y2 类型三 由双曲线标准方程求参数 例 4 已知曲线 - =1. 16-m m (1)当曲线为椭圆时,求 m 的取值范围,并写出焦点坐标; (2)当曲线为双曲线时,求 m 的取值范围,并写出焦点坐标. x2 y2 反思与感悟 (1)对于方程 + =1,当 mn<0 时表示双曲线.进一步,当 m>0,n<0 时表示 焦点在 x 轴上的双曲线;当 m<0,n>0 时表示焦点在 y 轴上的双曲线. (2)对于方程 - =1,则当 mn>0 时表示双曲线.且当 m>0,n>0 时表示焦点在 x 轴上的双 曲

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